安徽省安庆市迎江区安庆市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份安徽省安庆市迎江区安庆市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式，则a的取值范围是（ ）
A. a≤2B. a≤﹣2C. a＞2D. a＜0
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件确定出a的范围即可．
【详解】二次根式有意义，可得2﹣a≥0，
解得：a≤2，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列各式中表示二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
【详解】解：A、，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、，是二次函数，故此选项正确；
C、含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、，是一次函数，故此选项错误．
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，且k≠0；即可解得答案.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根
a=k，b=-2，c=1，
∴△=b2- 4ac=(-2)2-4 k=4-4k＞0
∴k＜1,
∵k是二次项系数不能为0，即k≠0，
∴即k＜1且k≠0
故选B.
【点睛】本题主要考查二次函数的根与判别式△=b2-4ac的符号关系；熟记二次函数①有两个不相等的实数根时，△=b2-4ac＞0；②二次函数有实数根时，△=b2-4ac≥0；③二次函数有两个相等的实数根时△=b2-4ac=0，④二次函数无实数根时，△=b2-4ac＜0，是解答本题的关键.
4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】设多边形有n条边，则内角和为，再根据内角和等于外角和3倍可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数为8，
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关键．
5. 若直角三角形的两直角边长是4和12，则它的斜边长为（ ）
A. 160B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接运用勾股定理解答即可．
【详解】解：该直角三角形的斜边长为: ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边平方的和等于斜边的平方．
6. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A. 88.5B. 86.5C. 90D. 90.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【详解】根据题意得：95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分），
即小彤这学期的体育成绩为88.5分．
故选A．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键.
7. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，在处进行；上加下减，在函数值处进行．
【详解】解：根据抛物线的平移规律，抛物线向右平移1个单位，
得：，
再向下平移2个单位后，
得：
整理得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线平移问题，解题的关键是：掌握平移的规律，左加右减，在处进行；上加下减，在函数值处进行．
8. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质．
9. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③；④若，，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与轴的交点即可对①进行判断；根据抛物线的对称轴得，则，则可对②进行判断；由于当时，，则得到，则可对③进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，所以②正确；
对称轴是直线，且过点，
图象与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
∴当时，，
，所以③错误；
点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，
，所以④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象性质，二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
10. 如图，菱形OABC的顶点O(0，0)，A(﹣2，0)，∠B＝60°，若菱形绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形OA2020B2020C2020，那么点C2020的坐标是（ ）
A. (，1)B. (1，﹣)C. (﹣，﹣1)D. (﹣1，)
【答案】D
【解析】
【分析】如图（见解析），作于D，先根据菱形的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，从而可得点C的坐标为，然后菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，从而可得点与C重合，由此即可得出答案．
【详解】如图，作于点D，则，
∵四边形OABC是菱形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，旋转2020次为（周），
∴绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，
∴点与C重合，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、图形的旋转，根据图形的旋转方式，正确得出一般规律是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
12. 抛物线的顶点坐标为______________________________．
【答案】(1，8)
【解析】
【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
13. 若是方程的两根，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将恒等变形，代值求解即可．
【详解】解：已知是方程的两个根，
则，，
∵
，
∴原式
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键．
14. 如图，正方形ABCD中，，点E在CD边上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则______，______．
【答案】 ①. 45° ②.
【解析】
【分析】由“HL”可证Rt△ABG≌Rt△AFG，可得BG=GF，∠AGB=∠AGE，由勾股定理可求GF=BG=3，从而可求得CG=BC-BG=3，然后求出S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5，利用同高三角形面积关系得，即，即可求出S△GFC．
【详解】解：∵正方形ABCD
∴CD=BC =AB=6，∠D=∠B =∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，EC=4，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF=AB，DE=EF=2，∠D=∠AFE=90°，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠GAF，BG=GF，∠AGB=∠AGE，
∴∠GAF+∠FAE=∠BAG+∠DAE，即∠EAG=∠BAG+∠DAE，
∵∠EAG+∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠EAG=45°，
∵GE2=EC2+GC2，
∴（BG+2）2=16+（6-BG）2，
∴BG=3，
∴CG=BC-BG=6-3=3，
∵S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5，
∴，即，
∴S△GFC=，
故答案为：45°，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据绝对值意义，二次根式乘法法则，乘方法则计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
．
【点睛】本题考查实数混合运算，熟练掌握二次根据运算法则，负整指数幂、零指数幂的运算法则是解题的关键．
16. 解方程：3x2-5x+2=0
【答案】x1=1，x2=
【解析】
【分析】利用因式分解法即可解答．
【详解】解：3x2-5x+2=0
∴，
∴或
解得：x1=1，x2=
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是灵活选择方法解方程．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】设顶点式，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把（﹣2，﹣5）代入得，
解得：a＝﹣1，
所以抛物线解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解．
18. 如图，某公司(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．
【答案】312.5米
【解析】
【分析】作出点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得长，那么根据直角三角形的各边利用勾股定理即可求得物流站与车站之间的距离．
【详解】解：作于，
则米，米．
由勾股定理得：，
米．
∵在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，
∴，
设米，则米，
在直角三角形中，由勾股定理，得
即，
，
，
．
答：物流站与车站之间的距离为312.5米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根；
（2）求不等式的解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，再结合图象即可解答；
（3）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；
（4）方程有两个不相等的实数根，即二次函数与直线有两个交点，再根据二次函数平移的规律，解答即可．
【小问1详解】
由图象可知该二次函数图象与x轴交于点和，
∴方程的两个根分别为：，；
【小问2详解】
求不等式解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，
由图象可知当时，二次函数图象x轴上方，
∴不等式的解集为；
【小问3详解】
由图象可知该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴当y随x的增大而减小时，；
【小问4详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴即二次函数与直线有两个交点，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．利用数形结合思想是解题关键．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件易证得，可得，所以，所以可得四边形EGFH是平行四边形；
（2）因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以，因为，且，等量代换可得，所以点为中点，所以且，即可得出EG的长.
【详解】解：（1）四边形为平行四边形，
且，
，
点，分别是，的中点，
，
在与中，
,
四边形是平行四边形.
（2）如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，
，
，为中点，
为中点，
且
.
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定综合题型，做题时如果已知有平行四边形要想到该平行四边形的所有性质都可以当做已知条件应用，熟练掌握平行四边形的性质及判定是本题做题关键；涉及到求长度的，如果没有直角，则不考虑勾股定理，只考虑全等或线段的等量代换，有中点的话要想到特殊的中线以及中位线，验证题中是否可转化成这两个结论进行应用.
六、（本大题共12分）
21. 疫情防控，人人有责．为此某校开展了“新冠疫情”防控知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a、b、c的值：a＝ 、b＝ 、c＝ ．
（2）由以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠疫情”防控知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为1200人和1300人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生人数共有多少？
【答案】（1）1，94，99；（2）八年级成绩较好，八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高；（3）1630人
【解析】
【分析】（1）根据各个组的频数之和为10，可求出a的值，找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数；
（2）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好；
（3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可．
【详解】解：（1）a＝10﹣2﹣3﹣4＝1，
七年级竞赛成绩出现次数最多是99，共出现3次，因此众数是99，即c＝99，
八年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94，
故答案为：1，94，99；
（2）八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好；
（3）1200×+1300×＝1630（人），
答：在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生人数共有1630人．
【点睛】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键．
七、（本大题共12分）
22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）每件衬衫应降价20元；
（2）当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，得到y关于x的二次函数解析式，令，得到一元二次方程，解方程即可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【小问1详解】
解：设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则，
当时，，
解得，
但要尽快减少库存，
所以取，
答：每件衬衫应降价20元；
【小问2详解】
解：∵，
∵，
∴当时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．
八、（本大题共14分）
23. 如图，正方形ABCD中， AB＝4， 点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形．
(2)求AG＋AE的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
，
∵于，于，
，
∵，
四边形是矩形，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
c
52
八年级
92
b
100
50.4