安徽省池州市名校联考2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

2023-2024年池州名校开学考九年级

数学试题（沪科版）

注意事项：

1.数学试卷满分150分，考试时间共120分钟。

2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。

4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）

1.若有意义，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数是（    ）

A.7   B.8   C.9   D.10

3.用配方法将方程化成的形式，则的值是（    ）

A.1   B.-1   C.4   D.-4

4.下列计算结果正确的是（    ）

A.    B.

C.   D.

5.在中，，，的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ）

A.    B.

C.      D.

6.关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（    ）

A.有两个不相等的实数根  B.有两个实数根

C.有两个相等的实数根   D.无实数根

7.如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则的面积为（    ）

A.6   B.8   C.12   D.24

8.“多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：

关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（    ）

A.众数是6   B.平均数是4

C.中位数是3   D.方差是1

9.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，连接BF，DE，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.一元二次方程的两根之和为_________.

12.如图，在平行四边形ABCD中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为_________.

13.如图，点E，F分别在AB，CD上，，垂足为O，.若，，则点F到直线AB的距离为__________.

14.已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：

（1）当时，__________；

（2）当时，___________.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：.

16.已知代数式.

（1）化简M；

（2）若a是方程的根，求M的值.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE.

（1）求证：；

（2）若，，求的周长.

18.观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

…

（1）请你根据上述规律写出第5个等式：_____________；

（2）请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，在四边形ABCD中，，BD是的平分线，E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，连接AF，EF.

（1）求证：四边形ABEF为菱形；

（2）连接AE交BD于点G，若，，求四边形ABEF的面积.

20.把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：的形式.

我们规定：一个整数能表示成（m，n是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，25是“和谐数”，理由：因为，所以25是“和谐数”。

解决问题：

（1）下列各数中，是“和谐数”的是___________；（填序号）

①20   ②23   ③38   ④52

探究问题：

（2）若（a，b为常数），求ab的值；拓展应用：

（3）已知实数m，n满足，求的最小值.

六、（本题满分12分）

21.2023年4月24日中国航天日主场活动暨中国航天大会在合肥市开幕，今年中国航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.某学校为了解八年级学生对航空航天知识的了解情况，组织了一次知识竞赛活动，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A. ，B. ，C. ，D. ）

八年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84.

八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92.

通过数据分析，列表如下：

八年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：_________，__________，__________；

（2）学校欲选派成绩比较稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级?请说明理由；

（3）已知八年级两个班共120人参加了此次竞赛活动，估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是多少?

七、（本题满分12分）

22.近年来振兴乡村经济，助农直播带货发展迅猛.一种农副产品每盒进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒.设每盒农副产品降价元.

（1）每天销售量增加__________盒，每盒农副产品盈利__________元（用含的代数式表示）；

（2）在让利于顾客的情况下，每盒农副产品降价多少元时，商家每天能盈利1200元?

（3）商家能达到每天盈利1500元的目标吗?请说明你的理由，

八、（本题满分14分）

23.如图，在平行四边形ABCD中，，于点E，过点C作于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且，连接DN，延长AD到点G，使，连接CG.

（1）求证：；

（2）试判断的形状，并说明理由.

（3）若，，求DN的长.

2023-2024年池州名校开学考九年级

数学（沪科版）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.B  2.C  3.C  4.C  5.A  6.B  7.A  8.B  9.C

10.D【解析】如图1，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，∴，.又∵，∴，∴，∴的最小值等于的最小值.如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E.根据对称性可知，，∴.在中，，，由勾股定理得，∴的最小值为.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.3  12.4  13.

14.（1）-6（2分）  （2）2（3分）

【解析】（1）∵，，∴，.

∵，∴.

∵，∴m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，∴.

（2）∵，，∴，.

∵，∴，

∴m，n是一元二次方程的两个实数根，且，

∴，，

∴，∴.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.解：原式.

16.解：（1）

.

（2）∵是方程的根，

∴，

∴.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（1）证明：∵D是斜边BC的中点，，

∴DE是线段BC的垂直平分线，

∴.

在中，由勾股定理得，

∴，

即.

（2）解：∵D是斜边BC的中点，，

∴.

在中，由勾股定理得，

∴.

又∵，∴，

∴的周长为.

18.解：（1）.

（2）第个等式：.

理由：左边.

∵为正整数，

∴左边.

又∵右边，

∴左边=右边，即等式成立.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（1）证明：∵E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，

∴EF是的中位线，

∴，，.

∵，∴，.

∵是的平分线，

∴，∴，∴，∴，

∴四边形ABEF是平行四边形.

又∵，∴四边形ABEF为菱形.

（2）解：∵四边形ABEF为菱形，，

∴，，.

在中，，

∴，

∴四边形ABEF的面积为 .

20.解：（1）①④

（2）∵，

∴，，∴.

（3）∵，

∴，∴.

∵，∴的最小值为8，

即的最小值为8.

六、（本题满分12分）

21.解：（1）40  94  96

【解析】∵八年级（2）班组占的百分比为：，

∴，∴；

∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数是92和96，∴；

∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，∴众数.

（2）学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.

理由：∵在平均数相同的情况下，八年级（2）班的方差50.4大于八年级（1）班的方差43.4，

∴八年级（1）班学生的竞赛成绩比较稳定，

∴学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.

（3）（人）.

答：估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是78人.

七、（本题满分12分）

22.解：（1） 

（2）由题意，得，

整理，得，

解得，.

又∵需要让利于顾客，

∴.

答：每盒农副产品降价20元时，能让利于顾客并且商家每天能赢利1200元.

（3）商家不能达到每天盈利1500元的目标.

理由：由题意，得，整理，得.

∵，∴此方程无解，

即商家不能达到每天盈利1500元的目标.

八、（本题满分14分）

23.（1）证明：∵于点，于点，

∴，∴.

∵，，∴，∴.

在和中，

∴，

∴.

（2）解：是等腰直角三角形.

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，，，

∴.

∵，∴，，

∴，.

∵，，

∴.

∵，，∴.

在和中，

∴，∴，，

∴，

∴是等腰直角三角形.

（3）解：∵，，

∴.

∵，，

∴，

∴.

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴.