陕西省西安市新城区爱知初级中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

这是一份陕西省西安市新城区爱知初级中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2023年初“甲流”突发，下列关于防范“甲流”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 戴口罩B. 勤洗手
C. 早就医D. 少聚集
2. 若a>b，则下列各式中错误的是( )
A. 3a>3bB. a3>b3C. 3+a>3+bD. 3−a>3−b
3. 下列各式由左边到右边的变形中，因式分解正确的是( )
A. 9x−6y+3=3(3x−2y)B. x2−4=(x+4)(x−4)
C. x2−4x+4=(x−2)2D. x2−6x+8=x(x−6)+8
4. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移n个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，若△A′B′C为等边三角形，则n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5. 在数轴上表示不等式2x−1<−3的解集，正确的是( )
A. B.
C. D. 更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 6. 如图，在△ABC中，∠C=68°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠BC′B′的度数为( )
A. 44°B. 46°C. 54°D. 56°
7. 如果关于x的不等式(k+1)x>k+1的解集为x<1，则k的值可以是( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
8. 如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，过P作PM⊥OB于点M，PN//OB交OA于点N，若PN=4，则PM的长为( )
A. 2B. 2 3C. 4D. 4 3
9. 把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②)，此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为( )
A. 6 2B. 10C. 12D. 85
10. 若关于x的一元一次不等式组x−2<012x+m≥2有4个整数解，则m的取值范围为( )
A. −3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：x2−x=______．
12. 在平面内，把线段AB通过平移得到线段A′B′，已知点A坐标为(2,−3)，点B坐标为(3.1)，点A的对应点A′坐标为(4,−2)，则点B′的坐标为______ ．
13. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a14. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB>AC，斜边BC的垂直平分线交AB边于点E，交BC边于点D，若AC=3，BC=3 10，则AE长是______ ．
15. 初二(1)班部分同学去延安研学旅行，晚上需安排住宿，由于房间有限，女生已全部安排完毕，现将男生安排到剩余房间，如果每个房间住2人.则多8人；如果每个房间住4人，则有一个房间有人住，但没住满4人，那么共有男生______ 人.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，DE是AB边上的两个动点，满足AD=BE，连接CD、CE，求CD+CE的最小值______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式：
(1)6x+1≤2x−3；
(2)2(x+3)−4x>−(x−3)．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：
(1)5x−3>2x2(2x−1)<3x．
(2)x−2≤3x2x+1519. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)3x2−6x+3．
(2)9(a+b)2−(a−b)2．
20. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°.请用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到直线BC的距离等于AD.(要求：保留作图痕迹，不写作法)．
21. (本小题7.0分)
如图，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF.求证：△ABC是等腰三角形．
22. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3)．
(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)若△ABC绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．
23. (本小题8.0分)
某学校开展课本剧展示活动，计划购买A、B两种奖品，已知购买3件A奖品和2件B奖品，共需费用390元；4件A奖品比5件B奖品的费用多60元．
(1)求A奖品和B奖品每件各需多少元；
(2)若学校计划购买A、B两种奖品共30件，且A奖品的数量不少于B奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过2170元，该校怎校采购可使总费用最低？最低费用是多少元？
24. (本小题10.0分)
已知DH是BC边的垂直平分线，AD是△ABC的外角∠BAG的角平分线，两线交于D点，DF⊥AB，垂足为F，DE⊥CG，垂足为E．
(1)求证：BF=CE；
(2)若AC=4cm，AB=8cm，求AE的长．
25. (本小题12.0分)
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC=5cm，BC=2cm．

【解决问题】
(1)勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放(点A，C，B在同一条直线上)，连接AE，BD.发现AE=DB，请你给予证明；
(2)如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；
【拓展题伸】
(3)如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：在(2)题的位置处，将△BCE的CE边放在线段CD上滑动，并带动△BCE一起在线段CD上来回滑动，记作△B′C′E′.点B′在线段CD右侧，连接AB′，求线段AB′的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b，
∴3a>3b，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a3>b3，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴3+a>3+b，
故C不符合题意；
D、∵a>b，
∴−a<−b，
∴3−a<3−b，
故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：9x−6y+3=3(3x−2y+1)，则A不符合题意；
x2−4=(x+2)(x−2)，则B不符合题意；
x2−4x+4=(x−2)2，则C符合题意；
x2−6x+8=(x−2)(x−4)，则D不符合题意；
故选：C．
将各项因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC沿射线BC方向平移n个单位后，得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=4，
∵△A′B′C为等边三角形，
∴A′B′=B′C=A′C=4，
∵BC=6，
∴BB′=BC−B′C=6−4=2，
即n=2，
故选：A．
根据平移的性质得BB′=n，A′B′=AB=4，由△A′B′C为等边三角形，得A′B′=B′C=A′C=4，即可计算出B′B′的值．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
5.【答案】B
【解析】解：2x−1<−3，
移项及合并同类项，得：2x<−2，
系数化为1，得：x<−1，
其解集在数轴上表示如下所示，
，
故选：B．
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠C=∠AC′B′=68°，
∴∠C=∠AC′C=68°，
∴∠BC′B′=180°−∠AC′C−∠AC′B′=44°，
故选：A．
由旋转的性质可得AC=AC′，∠C=∠AC′B′=68°，由等腰三角形的性质可得∠C=∠AC′C=68°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵关于x的不等式(k+1)x>k+1的解集为x<1，
∴k+1<0，
解得k<−1，
故选：D．
由于关于x的不等式(k+1)x>k+1的解集为x<1，由此可以得到k+1<0，解得即可．
本题考查了解简单不等式的能力，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：过点P作PC⊥OA，垂足为C，

∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠POB=12∠AOB=15°，
∵PM⊥OB，PC⊥OA，
∴PM=PC，
∵PN//OB，
∴∠NPO=∠POB，
∴∠AOP=∠NPO，
∴NO=NP，
∴∠AOP=∠NPO=15°，
∴∠ANP=∠AOP+∠NPO=30°，
∴PN=2PC=4，
∴PC=2，
∴PM=2，
故选：A．
过点P作PC⊥OA，垂足为C，利用角平分线的定义可得∠AOP=∠POB=15°，再利用角平分线的性质可得PM=PC，然后利用平行线的性质可得∠NPO=∠POB，从而可得∠AOP=∠NPO，进而可得NO=NP，最后利用等腰三角形的性质可得∠AOP=∠NPO=15°，从而利用三角形的外角性质可得∠ANP=30°，进而利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，△ACB是等腰直角三角形，
∵把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1，
∴CD=C1D=14，∠BCE1=15°，
∴∠BCO=45°=∠ABC，
∴∠BOC=90°，
即CO⊥AB，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO=BO=6=CO，
∴OD1=8，
∴AD1= AO2+D1O2= 36+64=10，
故选：B．
由旋转的性质可得CD=C1D=14，∠BCE1=15°，由等腰直角三角形的性质可求AO=BO=6=CO，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：解不等式x−2<0，得：x<2，
解不等式12x+m≥2，得：x≥4−2m，
∵不等式组有4个整数解，
∴这4个整数解为1、0、−1、−2，
则−3<4−2m≤−2，
解得3≤m<72，
故选：D．
先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
本题主要考查的是不等式的解集，由不等式组有4个整数解得出关于m的不等式组是解题的关键．
11.【答案】x(x−1)
【解析】解：x2−x=x(x−1)．
故答案为：x(x−1)．
提取公因式x即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
12.【答案】(5,2)
【解析】解：∵线段AB平移后，点A(2,−3)的对应点A′的坐标为(4,−2)，
∴将线段AB向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段A′B′，
∴点B(3,1)的对应点B′的坐标为(3+2,1+1)，即(5,2)．
故答案为：(5,2)．
根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1．
故答案为x>1．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1；
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠A=90°，AC=3，BC=3 10，AB>AC，
∴AB= BC2−AC2= (3 10)2−32=9，
连接EC，
∵ED垂直平分BC，
∴EB=EC，
设AE=x，则EB=EC=9−x，
∵∠A=90°，
∴AE2+AC2=EC2，
即x2+32=(9−x)2，
解得x=4，
即AE的长为4，
故答案为：4．
先根据勾股定理求得AB的长，再根据垂直平分线的性质可以得到EB=EC，然后再根据勾股定理即可求得AE的长．
本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，求出AB的长．
15.【答案】18
【解析】解：设剩余x间房间，则共有男生(2x+8)人，
根据题意得：2x+8>4(x−1)2x+8<4x，
解得：4又∵x为正整数，
∴x=5，
∴2x+8=2×5+8=18，
∴共有男生18人．
故答案为：18．
设剩余x间房间，则共有男生(2x+8)人，根据“如果每个房间住4人，则有一个房间有人住，但没住满4人”，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可确定x的值，再将其代入(2x+8)中，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】解：如图，以AC，BC为邻边构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，

则OF=OC，OA=OB，AB=CF，
∵AD=BE，
∴OD=OE，
∴四边形CEFD为平行四边形，
∴DF=CE，
∴CD+CE=CD+DF≥CF，
即CD+CE的最小值为CF的长；
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∴CF=AB=8，
∴CD+CE≥8，
故答案为：8．
先以AC，BC为邻边构造矩形ACBF，连接DF，EF，证明CE=DF，再根据两点之间线段最短得到CD+CE的最小值为CF的长，求出CF的长即可．
本题考查了最短路径问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键．
17.【答案】解：(1)6x+1≤2x−3，
移项，得：6x−2x≤−3−1，
合并同类项，得：4x≤−4，
系数化为1，得：x≥−1；
(2)2(x+3)−4x>−(x−3)，
去括号，得：2x+6−4x>−x+3，
移项，得：2x−4x+x≥3−6，
合并同类项，得：−x≥−3，
系数化为1，得：x≤3．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：(1)由5x−3>2x得：x>1，
由2(2x−1)<3x得：x<2，
则不等式组的解集为1(2)由x−2≤3x得：x≥−1，
由2x+15−3，
则不等式组的解集为x≥−1．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)3x2−6x+3
=3(x2−2x+1)=3(x−1)2；
(2)9(a+b)2−(a−b)2=[3(a+b)+(a−b)][3(a+b)−(a−b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b)．
【解析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
(2)先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20.【答案】解：如图，点D即为所求．

【解析】作∠ABC的角平分线交AC于点D，点D即为所求．
本题考查尺规作图−作一个角的平分线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AE+BE=AF+CD，
即AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．
【解析】根据角平分线性质得到∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，利用HL判定Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得到AE=AF，进而得到AB=AC．
此题考查了角平分线的性质，利用角平分线性质得到∠AED=∠AFD=90°是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为(3,−2)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为(−1,−2)．

【解析】(1)根据平移的性质作图，可得出点B1的坐标．
(2)根据旋转的性质作图，可得出点B2的坐标．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设A奖品每件x元，B奖品每件y元，
由题意得：3x+2y=3904x−5y=60，
解得：x=90y=60，
∴A奖品每件90元，B奖品每件60元；
(2)设购买A奖品m件，则购买B奖品(30−m)件，
∵A奖品的数量不少于B奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过2170元，
∴m≥12(30−m)90m+60(30−m)≤2170，
解得：10≤m≤373，
设购买的总费用为w，
则w=90m+60(30−m)=30m+1800，
∵30>0，
∴w随m的增大而增大，
∵10≤m≤373，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值为30×10+1800=2100，
∴该校购买A奖品10件，B奖品20件总费用最低，最低费用为2100元．
【解析】(1)设A奖品每件x元，B奖品每件y元，根据“购买3件A奖品和2件B奖品，共需费用390元；4件A奖品比5件B奖品的费用多60元”可得关于x，y二元一次方程组，求解即可；
(2)设购买A奖品m件，则购买B奖品(30−m)件，根据“A奖品的数量不少于B奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过2170元”可得关于m的一元一次不等式组，解得10≤m≤373，设购买的总费用为w，则w=30m+1800，再根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质，理清题意，根据题中所蕴含的等量关系或不等关系列出方程组和不等式组是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵DF垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
∵DA平分∠BAG，DE⊥AG，DF⊥AB，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°，
∴Rt△DEC≌Rt△DFB(HL)，
∴CE=BF；
(2)解：∵AD=AD，DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，
∴AE=AF，
∴AE=AF=AB−BF=AB−CE=AB−AC−AE，
∴2AE=AB−AC=8−4=4(cm)，
∴AE=2cm．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质证明Rt△DEC≌Rt△DFB(HL)，可得CE=BF；
(2)证明Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，可得AE=AF，然后利用线段的和差即可解决问题．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴180°−∠ACD=180°−∠BCE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD；
(2)解：如图1，

作CF⊥BE于F，作BG⊥AC，交AC的延长线于G，
∴∠CFB=∠G=90°，
∵∠BEC=∠ACD=60°，
∴BE//AC，
∴∠FCE=180°−∠CFB=90°，
∴四边形CFBG是矩形，
∴CG=BF=12BC=1，BG=CF= BC2−BF2= 3，
∴S△ABC=12AC⋅BG=12×5⋅ 3=5 32；
(3)如图2，

∵B′到直线CD的距离是 3，
∴点B′在CD的右侧且离CD距离 3得直线l上运动，
当AB′⊥l时，AB′最小=AQ+QB′= 32AC+ 3=5 32+ 3=7 32，
当点C′在C时，AB′(图中AB″)最大，
由上图1知：AB= AG2+BG2= 62+( 3)2= 39，
∴7 32≤AB′≤ 39．
【解析】(1)证明△ACE≌△DCB，从而得出AE=BD；
(2)作CF⊥BE于F，作BG⊥AC，交AC的延长线于G，可证得四边形CFBG是矩形，从而求得CG=BF=1，BG=CF= BC2−BF2= 3，进而得出结果；
(3)可推出点B′在CD的右侧且离CD距离 3得直线l上运动，当AB′⊥l时，AB′最小，当点C′在C处时，AB′最大，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键确定B′运动轨迹．