2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（上）期中数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（上）期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14
C．0.1010010001 D．
2．（3分）在下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25
C．4，5，6 D．1，，2
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．+＝ C．＝﹣2 D．•＝2
4．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，1），则正比例函数的解析式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
5．（3分）的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
6．（3分）已知P（a，2）和Q（1，b）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．32021 D．﹣32021
7．（3分）已知一次函数y＝（m+1）x+2m，则m＜﹣2时它的图象必过（　　）
A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．二，三，四象限 D．一，三，四象限
8．（3分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．6
9．（3分）如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN⊥x轴于点N，点P是y轴上的动点，MP⊥NP，且△PMN为等腰三角形时点MP的长为（　　）

A．3或 B． C．或3 D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（4，0），B（4，2），C（0，2），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则点D的纵坐标为（　　）

A． B． C． D．4
二、填空题（共6小题，每题3分共18分）
11．（3分）的倒数为 　 　．
12．（3分）比较大小：　 　5．
13．（3分）如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，BC＝1，点M在数轴﹣1处，点C在数轴上1处，MA＝MB，则数轴上点A对应的数是 　 　．

14．（3分）已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，请用“＞”连接y1、y2、3 　 　．
15．（3分）已知a，b，c为三角形的三边，当代数式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值时﹣b＝　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB＝2，点C的坐标为（1，0）．点P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为　 　．

三、解答题：（共9小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）+；
（2）；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）．
18．（6分）求下列式子中的x：
（1）25（x﹣）2＝49；
（2）（x+1）2＝32．
19．（6分）已知正实数x的平方根是m和m+n．
（1）当n＝6时，求m的值；
（2）若m2x+（m+n）2x＝32，求x的值．
20．（6分）已知，△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向下平移2个单位后得到△A2B2C2，求点A2的坐标；
（3）计算AA2的长．

21．（7分）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．

22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2过点A（﹣3，m）且与y轴交于点B，点A关于y轴的对称点为点C，过点C且与直线y＝x平行的直线交y轴于点D，连接AD．
（1）求m的值及直线CD的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△ODP的面积是△ABD面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

23．（6分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆低端的距离或者∠1的大小来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．
（1）当BD＝120cm，求交叉点O离地面的高度；
（2）当∠1＝90°时，较高支撑杆的高AE多高？

24．（8分）像＝3、＝a（a≥0）、＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
（1）请写出以下代数式的一个有理化因式：
（a≥0，b≥0）　 　，　 　；
（2）化简：+…+；
（3）当2≤a≤4时，直接写出代数式的最大值：　 　．
25．（10分）阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．
牛刀小试：
（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝　 　；
活学活用：
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；
问题解决：
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形ABCD，其中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD＝6千米，要在公园的B、D之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当BD最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？



2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14
C．0.1010010001 D．
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．
2．（3分）在下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25
C．4，5，6 D．1，，2
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故选项不符合题意；
B、72+242＝252，是勾股数，故选项符合题意；
C、42+52≠62，不是勾股数，故选项不符合题意；
D、因为不是整数，所以不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．+＝ C．＝﹣2 D．•＝2
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，1），则正比例函数的解析式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
【分析】把点（﹣3，1）代入y＝kx（k≠0）可得k的值，进而可得函数的解析式．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，1）．
∴1＝﹣3k，
解得：k＝﹣，
∴这个函数的解析式为y＝﹣x，
故选：D．
【点评】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，关键是把点（﹣3，1）代入y＝kx（k≠0）可得k的值解答．
5．（3分）的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【分析】先计算，再求4的平方根．
【解答】解：∵，
∴的平方根是±．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
6．（3分）已知P（a，2）和Q（1，b）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．32021 D．﹣32021
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．
【解答】解：∵点P（a，2）与点Q（1，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1，
∴（a+b）2021＝12021＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（3分）已知一次函数y＝（m+1）x+2m，则m＜﹣2时它的图象必过（　　）
A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．二，三，四象限 D．一，三，四象限
【分析】先确定m+1和2m的符号，即可确定函数图象经过的象限．
【解答】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜﹣1，2m＜﹣4，
∴一次函数y＝（m+1）x+2m的图象经过第二、三、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象，根据题意确定m+1和2m的符号是解决本题的关键．
8．（3分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．6
【分析】过B作BC⊥EF于C，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，过B作BC⊥EF于C，
在Rt△ABC中，BC＝2cm，AC＝4+2＝6cm，
∴AB＝＝＝2（cm），
∴从点A爬到点B的最短路径是2cm，
故选：A．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，将平面展开，组成一个直角三角形是解题的关键．
9．（3分）如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN⊥x轴于点N，点P是y轴上的动点，MP⊥NP，且△PMN为等腰三角形时点MP的长为（　　）

A．3或 B． C．或3 D．
【分析】先根据MP⊥NP，且△PMN为等腰三角形，可知△PMN为等腰直角三角形，得∠MNP＝45°，易得△NPO是等腰直角三角形，设OP＝m，表示出M点坐标，代入直线解析式，求出m的值，即可求出MP的长．
【解答】解：如图所示：

∵MP⊥NP，且△PMN为等腰三角形，
∴△PMN为等腰直角三角形，
∴∠MNP＝45°，
∵MN⊥x轴，
∴∠PNO＝45°，
∴△PNO为等腰直角三角形，
∴OP＝ON，
设OP＝ON＝m，
根据勾股定理，得NP＝，MN＝2m，
①M（﹣m，2m），代入直线y＝2x+3，
得2m＝﹣2m+3，
解得m＝，
∴MP＝NP＝＝，
②M（m，2m），代入直线y＝2x+3，
得2m＝2m+3，
此方程无解．
综上所述：MP＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（4，0），B（4，2），C（0，2），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则点D的纵坐标为（　　）

A． B． C． D．4
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB＝∠EBO，进而可得出OE＝BE，设点E的坐标为（m，2），则OE＝BE＝4﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，过点D作DF⊥CB轴于点F，利用S△DEB＝BD•DE＝BE•DF，可以求出DF的长，进而可以解决问题．
【解答】解：∵A（4，0），B（4，2），C（0，2），O（0，0），
∴四边形OABC为矩形，
∴∠EBO＝∠AOB．
∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE．
设点E的坐标为（m，2），则OE＝BE＝4﹣m，CE＝m，
在Rt△OCE中，OC＝2，CE＝m，OE＝4﹣m，
∴（4﹣m）2＝22+m2，
∴m＝，
∴点E的坐标为（，2）．
∴OE＝BE＝4﹣m＝，
∴DE＝OD﹣OE＝4﹣＝，
如图，过点D作DF⊥CB轴于点F，

由翻折可知：BD＝AB＝2，∠BDE＝∠BAO＝90°，
∴S△DEB＝BD•DE＝BE•DF，
∴2×＝DF，
∴DF＝，
∴DF+OC＝+2＝，
则点D的纵坐标为．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、坐标与图形变化﹣对称，等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每题3分共18分）
11．（3分）的倒数为 　　．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的倒数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12．（3分）比较大小：　＜　5．
【分析】通过估算进行分析求解．
【解答】解：∵，
∴4＜＜5，
即3＜5，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，理解二次根式的性质，掌握无理数的估算的常用方法——夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
13．（3分）如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，BC＝1，点M在数轴﹣1处，点C在数轴上1处，MA＝MB，则数轴上点A对应的数是 　﹣1+　．

【分析】通过勾股定理求出线段MB，而线段MA＝MB，进而知道点A对应的数，减去1即可得出答案．
【解答】解：在Rt△MBC中，∠MCB＝90°，
∴MB＝＝，
∴MA＝，
∵点M在数轴﹣1处，
∴数轴上点A对应的数是﹣1+．
故答案为：﹣1+．
【点评】题目考查了实数与数轴，通过勾股定理，在数轴寻找无理数．题目整体较为简单，与课本例题类似，适合随堂训练．
14．（3分）已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，请用“＞”连接y1、y2、3 　y1＞3＞y2　．
【分析】首先求出函数解析式，再把（﹣3，y1）、（2，y2）代入可得y1，y2的值，然后可得答案．
【解答】解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上，
∴3＝k+5，
解得：k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣2x+5，
∵点（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，
∴y1＝6+5＝11，
y2＝﹣4+5＝1，
∵11＞3＞1，
∴y1＞3＞y2，
故答案为：y1＞3＞y2．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
15．（3分）已知a，b，c为三角形的三边，当代数式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值时﹣b＝　﹣　．
【分析】根据题意得+|b2﹣18|+（c2﹣8）2＝0，再根据非负数的性质得a2＝2，b2﹣18＝0，c2﹣8＝0，求出a、b、c的值，代入﹣b计算即可．
【解答】解：∵代数式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值，
∴代数式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2＝0，
∴a2＝2，b2﹣18＝0，c2﹣8＝0，
解得：a＝±，b＝±3，c＝±2，
∵a，b，c为三角形的三边，
∴a＝，b＝3，c＝2，
∴﹣b
＝﹣3
＝﹣3
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二次根式的应用、三角形三边关系、非负数的性质，掌握这三个知识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB＝2，点C的坐标为（1，0）．点P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为　　．

【分析】作C关于OB的对称点C′，连接AC′交OB于P，连接OC′，则此时PA+PC的值最小，根据勾股定理求出AC′，即可得出答案．
【解答】解：作C关于OB的对称点C′，连接AC′交OB于P，连接OC′，此时PA+PC＝AC′，PA+PC的值最小，
∵△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，
∴∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴∠BOC′＝∠BOC＝30°，
∴∠AOC′＝90°，
∵点C的坐标为（1，0）．
∴OC′＝OC＝1，
∵OA＝AB＝2，
∴AC′＝＝＝，
即PA+PC的最小值是．
故答案为：．

【点评】本题考查了对称﹣最短路线问题，勾股定理，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
三、解答题：（共9小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）+；
（2）；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）．
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义可解答；
（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（3）根据绝对值，零次幂，负整数指数幂的定义可解答；
（4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）+
＝4+2
＝6；
（2）
＝
＝；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
＝﹣1+1+2
＝+2；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）
＝9﹣12+20﹣（4﹣5）
＝29﹣12+1
＝30﹣12．
【点评】本题考查了实数的运算和二次根式的混合运算，解题的关是熟练运用零指数幂和负整数指数幂的意义、完全平方公式、二次根式的性质，本题属于基础题型．
18．（6分）求下列式子中的x：
（1）25（x﹣）2＝49；
（2）（x+1）2＝32．
【分析】（1）根据平方根的概念解方程；
（2）根据平方根的概念解方程．
【解答】解：（1）25（x﹣）2＝49，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝﹣；
（2）（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32÷，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x1＝7，x2＝﹣9．
【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．
19．（6分）已知正实数x的平方根是m和m+n．
（1）当n＝6时，求m的值；
（2）若m2x+（m+n）2x＝32，求x的值．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到（m+n）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+n）2x＝32即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+n，
∴m+m+n＝0，
∵n＝6，
∴2m+6＝0
∴m＝﹣3；
（2）∵正实数x的平方根是m和m+n，
∴（m+n）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+n）2x＝32，
∴x2+x2＝32，
∴x2＝16，
∵x＞0，
∴x＝4．
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
20．（6分）已知，△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向下平移2个单位后得到△A2B2C2，求点A2的坐标；
（3）计算AA2的长．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可将△A1B1C1向下平移2个单位后得到△A2B2C2，进而可得点A2的坐标；
（3）根据勾股定理即可计算AA2的长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标为（2，1）；
（3）AA2＝＝2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．（7分）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．

【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，

∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴AD2+CD2＝72+42＝65，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）S△ABC＝，
∴4×＝9×AE，
∴AE＝m．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用和三角形的面积，能根据勾股定理计算边的长，并利用面积法解决问题．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2过点A（﹣3，m）且与y轴交于点B，点A关于y轴的对称点为点C，过点C且与直线y＝x平行的直线交y轴于点D，连接AD．
（1）求m的值及直线CD的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△ODP的面积是△ABD面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求得A的坐标，即可求得C的坐标，根据题意设直线CD的解析式为y＝x+b，代入C的坐标，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象坐标特征求得B、D的坐标，设P（x，0），然后根据三角形面积公式列出关于x的方程，解方程即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2过点A（﹣3，m），
∴m＝﹣×（﹣3）+2＝3，
∴A（﹣3，3），
∵点A关于y轴的对称点为点C．
∴C（3，3），
∵直线CD与直线y＝x平行，
∴设直线CD的解析式为y＝x+b，
代入C（3，3）得，3＝×3+b，
解得b＝﹣2，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣2；
（2）在直线y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
在直线y＝x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，BD＝4，
∴S△ABD＝4×3＝6，
设P（x，0），
∵△ODP的面积是△ABD面积的，
∴S△ODP＝×2×|x|＝6，
∴|x|＝2，
∴x＝±2，
∴P（2，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积等，求得交点坐标是解题的关键．
23．（6分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆低端的距离或者∠1的大小来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．
（1）当BD＝120cm，求交叉点O离地面的高度；
（2）当∠1＝90°时，较高支撑杆的高AE多高？

【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设交叉点O离地面的高度为hcm，
∵BO＝DO＝80cm，BD＝120cm，
∴h＝＝20（cm），
答：交叉点O离地面的高度为20cm；
（2）∵∠1＝90°，OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵AE⊥BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝AO+BO＝150（cm），
∴AE＝AB＝75（cm），
答：较高支撑杆的高AE为75cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等边三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质，找出∠OBD＝60°是解题的关键．
24．（8分）像＝3、＝a（a≥0）、＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
（1）请写出以下代数式的一个有理化因式：
（a≥0，b≥0）　﹣　，　2+2　；
（2）化简：+…+；
（3）当2≤a≤4时，直接写出代数式的最大值：　2﹣　．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）利用有理化因式得到﹣＝，由于当a＝2时，+有最小值2+，所以有最大值2﹣．
【解答】解：（1）+的有理化因式为﹣；
2﹣2的的有理化因式为2+2；
故答案为﹣；2+2；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣
＝﹣1；
（3）﹣＝，
∵2≤a≤4，
∴当a＝2时，+有最小值，最小值为+＝2+，
此时的值最大，最大值为＝2﹣，
即代数式的最大值为2﹣；
故答案为2﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
25．（10分）阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．
牛刀小试：
（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝　5　；
活学活用：
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；
问题解决：
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形ABCD，其中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD＝6千米，要在公园的B、D之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当BD最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？


【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理求得AB的长为10，再根据“直角三角形上的中线等于斜边的一半”求出CD的长即可；
（2）连接BE、DE，因为∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，AC＝26，所以BE＝DE＝AC＝13，而点F是BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质得EF⊥BD，则∠BFE＝90°，在Rt△BEF中即可根据勾股定理求出EF的长；
（3）连接AC，取AC的中点E，连接BE、DE，先证明△ADC是等边三角形，根据勾股定理求得DE＝3千米，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE的长为3千米，则根据“两点之间，线段最短”可得到不等式BD≤DE+BE，所以当B、E、D在同一直线上时，BD的值最大，此时BD＝（3+3）千米，再根据跑道铺设成本每米200元计算出跑道铺设的总成本，即可判断出管理部门预算160万元是否够用．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5，
故答案为：5．
（2）如图2，连接BE、DE，
∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点，AC＝26，
∴BE＝AC＝13，
∵∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝13，
∴BE＝DE＝13，
∵点F是BD的中点，BD＝24，
∴BF＝DF＝BD＝×24＝12，EF⊥BD，
∴∠BFE＝90°，
∴EF＝＝＝5，
∴EF的长是5．
（3）如图3，连接AC，取AC的中点E，连接BE、DE，
∵AD＝CD＝6千米，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD＝6千米，
∴AE＝CE＝AC＝×6＝3（千米），
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝＝＝3（千米），
∵∠ABC＝90°，
∴BE＝AC＝3千米，
∵BD≤DE+BE，
∴BD≤（3+3）千米，
如图4，当B、E、D在同一直线上时，BD的值最大，此时BD＝（3+3）千米，
∵跑道铺设成本每米200元，
∴（3+3）×1000×200＝（600000+600000）元，
∴跑道铺设的总成本为（600000+600000）元，
∵600000+600000＞1600000，
∴管理部门预算160万元不够用．




【点评】此题考查勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、“两点之间，线段最短”等知识与方法，正确地作出辅助线构造直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
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