陕西省西安市新城区爱知初级中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年初“甲流”突发，下列关于防范“甲流”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩 B. 勤洗手
C. 早就医 D. 少聚集

2.  若，则下列各式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式由左边到右边的变形中，因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在中，，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，若为等边三角形，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在数轴上表示不等式的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如果关于的不等式的解集为，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，是的角平分线上的一点，过作于点，交于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  把一副三角尺按如图所示位置放置，其中，，，斜边，，把三角尺绕点按顺时针方向旋转得到如图，此时与相交于点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  在平面内，把线段通过平移得到线段，已知点坐标为，点坐标为，点的对应点坐标为，则点的坐标为______ ．

13.  如图，直线与相交于点，已知点的坐标为，则关于的不等式的解集是______．

 

14.  如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，若，，则长是______ ．

15.  初二班部分同学去延安研学旅行，晚上需安排住宿，由于房间有限，女生已全部安排完毕，现将男生安排到剩余房间，如果每个房间住人则多人；如果每个房间住人，则有一个房间有人住，但没住满人，那么共有男生______ 人

16.  如图，在中，，，，是边上的两个动点，满足，连接、，求的最小值______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式：
；
．

18.  本小题分
解不等式组：
．
．

19.  本小题分
分解因式：
．
．

20.  本小题分
如图，在中，请用尺规作图在边上找一点，使点到直线的距离等于要求：保留作图痕迹，不写作法．

 

21.  本小题分
如图，已知平分，于点，于点，求证：是等腰三角形．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标；
若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出的坐标．

23.  本小题分
某学校开展课本剧展示活动，计划购买、两种奖品，已知购买件奖品和件奖品，共需费用元；件奖品比件奖品的费用多元．
求奖品和奖品每件各需多少元；
若学校计划购买、两种奖品共件，且奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元，该校怎校采购可使总费用最低？最低费用是多少元？

24.  本小题分
已知是边的垂直平分线，是的外角的角平分线，两线交于点，，垂足为，，垂足为．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．

【解决问题】
勤奋小组将和按图所示的方式摆放点，，在同一条直线上，连接，发现，请你给予证明；
如图，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；
【拓展题伸】
如图，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：在题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作点在线段右侧，连接，求线段的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
将各项因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：沿射线方向平移个单位后，得到，
，
为等边三角形，
，
，
，
即，
故选：．
根据平移的性质得，，由为等边三角形，得，即可计算出的值．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
其解集在数轴上表示如下所示，
，
故选：．
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕着点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，
解得，
故选：．
由于关于的不等式的解集为，由此可以得到，解得即可．
本题考查了解简单不等式的能力，利用不等式的解集得出关于的不等式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，是等腰直角三角形，
把三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
即，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有个整数解，
这个整数解为、、、，
则，
解得，
故选：．
先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
本题主要考查的是不等式的解集，由不等式组有个整数解得出关于的不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向右平移个单位，向上平移个单位得到线段，
点的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为；
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
连接，
垂直平分，
，
设，则，
，
，
即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
先根据勾股定理求得的长，再根据垂直平分线的性质可以得到，然后再根据勾股定理即可求得的长．
本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的长．
 

15.【答案】 

【解析】解：设剩余间房间，则共有男生人，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
，
，
共有男生人．
故答案为：．
设剩余间房间，则共有男生人，根据“如果每个房间住人，则有一个房间有人住，但没住满人”，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可确定的值，再将其代入中，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，以，为邻边构造矩形，连接，，交于点，

则，，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即的最小值为的长；
在中，
，，，
，
，
，
故答案为：．
先以，为邻边构造矩形，连接，，证明，再根据两点之间线段最短得到的最小值为的长，求出的长即可．
本题考查了最短路径问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，含角直角三角形的性质，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得；
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
本题考查尺规作图作一个角的平分线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
即是等腰三角形． 

【解析】根据角平分线性质得到，，利用判定≌，根据全等三角形的性质得到，进而得到．
此题考查了角平分线的性质，利用角平分线性质得到是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．
点的坐标为；
如图，即为所求．
点的坐标为．
 

【解析】根据平移的性质作图，可得出点的坐标．
根据旋转的性质作图，可得出点的坐标．
本题考查作图平移变换，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设奖品每件元，奖品每件元，
由题意得：，
解得：，
奖品每件元，奖品每件元；
设购买奖品件，则购买奖品件，
奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元，
，
解得：，
设购买的总费用为，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为，
该校购买奖品件，奖品件总费用最低，最低费用为元． 

【解析】设奖品每件元，奖品每件元，根据“购买件奖品和件奖品，共需费用元；件奖品比件奖品的费用多元”可得关于，二元一次方程组，求解即可；
设购买奖品件，则购买奖品件，根据“奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元”可得关于的一元一次不等式组，解得，设购买的总费用为，则，再根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质，理清题意，根据题中所蕴含的等量关系或不等关系列出方程组和不等式组是解题关键．
 

24.【答案】证明：垂直平分线段，
，
平分，，，
，，
≌，
；
解：，，，
≌，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质证明≌，可得；
证明≌，可得，然后利用线段的和差即可解决问题．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

25.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
解：如图，

作于，作，交的延长线于，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
；
如图，

到直线的距离是，
点在的右侧且离距离得直线上运动，
当时，，
当点在时，图中最大，
由上图知：，
． 

【解析】证明≌，从而得出；
作于，作，交的延长线于，可证得四边形是矩形，从而求得，，进而得出结果；
可推出点在的右侧且离距离得直线上运动，当时，最小，当点在处时，最大，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键确定运动轨迹．