29数列的概念与简单表示法专项训练——2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案解析）

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A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第4项或第5项
解析：选D ∵an＝(n−92)2－eq \f(81,4)－100，
∴n＝4或5时，an最小．
2．数列{an}：1，－eq \f(5,8)，eq \f(7,15)，－eq \f(9,24)，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n＋1eq \f(2n－1,n2＋n)(n∈N＋)
B．an＝(－1)n－1eq \f(2n＋1,n3＋3n)(n∈N＋)
C．an＝(－1)n＋1eq \f(2n－1,n2＋2n)(n∈N＋)
D．an＝(－1)n－1eq \f(2n＋1,n2＋2n)(n∈N＋)
解析：选D 观察数列{an}各项，可写成：eq \f(3,1×3)，－eq \f(5,2×4)，eq \f(7,3×5)，－eq \f(9,4×6)，故选D．
3．(2023·武汉模拟)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的首项为2，满足an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，则a2023＝( )
A．2B．－3
C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)
解析：选D 由题意可得：a2＝eq \f(a1－1,a1＋1)＝eq \f(1,3)，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝－3，a5＝2…，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的周期为4，a2023＝a3＝－eq \f(1,2)．故选：D．
4．已知数列{an}满足：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3－a）n－3，n≤7，,an－6，n>7))
(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.（94，3）B．[94，3）
C．(1，3) D．(2，3)
解析：选D 根据题意，an＝f(n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3－a）n－3，n≤7，,an－6，n>7))n∈N*，要使{an}是递增数列，必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,（3－a）×7－31，,a>2或a<－9，))综上可得25．(2023·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－3B．an＝2n＋3
C．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1,2n－3，n≥2)) D．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1,2n＋3，n≥2))
解析：选C 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．
6．(2023·贵阳模拟)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an＝eq \f(n－2,2n－17)，前n项和为Sn，则Sn取最小值时n的值为( )
A．6B．7
C．8 D．9
解析：选C an＝eq \f(n－2,2n－17)≥0可得，n≤2或n>eq \f(17,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，即n≤2或n≥9．
所以当3≤n≤8时，an<0．
又a9＝eq \f(9－2,2×9－17)＝7>0，
所以当n＝8时，Sn取最小值．故选：C．
7．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )
A．8B．6
C．4 D．2
解析：选D 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．
8．(多选)已知数列{an}满足a1＝－eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(1,1－an)，则下列各数是{an}的项的有( )
A．－2 B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．3
解析：选BD ∵数列{an}满足a1＝－eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(1,1－an)，∴a2＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(1,1－a2)＝3，a4＝eq \f(1,1－a3)＝－eq \f(1,2)＝a1，
∴数列{an}是周期为3的数列，且前3项为－eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，3，故选BD．
9．(2023·长沙雅礼中学一模)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝2，an＋1＝eq \f(3an－1,an＋1)，若eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x))表示不超过x的最大整数，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a10))＝( )
A．1B．2
C．3 D．5
解析：选A 因为a1＝2，an＋1＝eq \f(3an－1,an＋1)，
所以a2＝eq \f(3a1－1,a1＋1)＝eq \f(5,3)，a3＝eq \f(3a2－1,a2＋1)＝eq \f(3,2)，a4＝eq \f(3a3－1,a3＋1)＝eq \f(7,5)，a5＝eq \f(3a4－1,a4＋1)＝eq \f(4,3)，a6＝eq \f(3a5－1,a5＋1)＝eq \f(9,7)，a7＝eq \f(3a6－1,a6＋1)＝eq \f(5,4)，a8＝eq \f(3a7－1,a7＋1)＝eq \f(11,9)，
a9＝eq \f(3a8－1,a8＋1)＝eq \f(6,5)，a10＝eq \f(3a9－1,a9＋1)＝eq \f(13,11)，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a10))＝1．故选：A．
10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________．
解析：由已知得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝n，
∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝n－1，eq \f(1,an－1)－eq \f(1,an－2)＝n－2，…，eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝1，
∴eq \f(1,an)－eq \f(1,a1)＝eq \f(n（n－1）,2)，∴eq \f(1,an)＝eq \f(n2－n＋2,2)，
∴an＝eq \f(2,n2－n＋2)．
答案：eq \f(2,n2－n＋2)
11．(2023·襄阳期末)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an＝1＋eq \f(6,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))．
(1)判断数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的单调性，并证明你的结论；
(2)若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中存在an＝n的项，求n的值．
解：(1)因为an＝1＋eq \f(6,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是递减数列．
证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，an＝1＋eq \f(6,n)，
则an＋1＝1＋eq \f(6,n＋1)，
所以an＋1－an＝(1+6n+1)-(1+6n)＝eq \f(6,n＋1)－eq \f(6,n)＝－eq \f(6,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)))<0，
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是递减数列．
(2)若an＝n，即1＋eq \f(6,n)＝n，变形可得n2－n－6＝0，
解得：n＝3或n＝－2(舍去)，
故n＝3．
12．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*．
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，
故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*．
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2[12∙(32)n−2+a-3]，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·(32)n−2＋a－3≥0⇔a≥－9．
又a2＝a1＋3＞a1．
综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．