2024届广东省江门市新会第一中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届广东省江门市新会第一中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，且，则集合M的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法能够写出满足条件的集合M，由此能够求出结果.
【详解】∵集合，且，
∴满足条件的集合为，，，，
共有4个，
故选：D.
2．建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精神、推动全党大学习的有力抓手．某人近来加强学习，9月份的得分为，10月份的得分增长率为，11月份的得分增长率为，这两个月的得分的平均增长率为，增长率均以相邻的前一个月为参照，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得，结合均值不等式即可得到结果.
【详解】∵这两个月的得分的平均增长率为，
，，，.
，
∴，等号在，即时成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，解题关键是根据题意明确，考查学生分析问题解决问题的能力.
3．已知在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导，得到，从而得到函数的单调性，又因为在上不单调，从而得到关于的不等式.
【详解】由于，可得，
可得函数的极值点为：，，
由在上不单调，
可得或，
解得．
故选：D．
4．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质，利用特值法对错误选项进行排除，即可得出正确答案.
【详解】根据表达式的分子可以看出函数的两个零点，，排除C；
取，排除A；
取，，，故，排除B；
故选：D.
5．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据已知条件求出的周期，利用周期性和偶函数作出在区间的图象，以及的图象，数形结合即可求解.
【详解】因为满足，
所以图象关于直线对称，
因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称，
所以的周期为，
的图象关于直线对称，
由时，，作出图象如图和的图象
由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为，
且，，
所以，
所以与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是得出两个函数图象都关于对称，两个函数图象的交点应关于对称，数形结合判断出交点个数，利用对称性求交点的横坐标之和.
6．若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得到答案.
【详解】由，则切点为
求导，则切线斜率，
切线方程为，即
则
令，则，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故当时，函数取得最小值，即的最小值为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
7．已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.
【详解】已知函数，则
有且只有一个负整数解.
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
当时，取得最小值为.
设，则恒过点
在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示
显然，依题意得且即
且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数
与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.
8．若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的图象与性质求得的取值范围.
【详解】函数的开口向上，对称轴为，顶点为，
当时，；当时，，
画出函数的图象如下图所示，
由图可知，的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】因为集合，集合，
所以等价于即，
对比选项，、均为的充分不必要条件.
故选：BD.
【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.
10．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前n项和为
【答案】AD
【分析】由条件找到可判断A正确，由A可求得的通项公式，利用分组求和可得D正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD错误.
【详解】
又
数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确.
又
所以数列的前和为，故选项D正确.
又因为，
当，
当，，
故选项B错误.
所以数列不是等比数列.故选项C错误.
故选：AD
11．已知函数有两个极值点．则（ ）
A．的图象关于点对称B．的极值之和为
C．，使得有三个零点D．当时，只有一个零点
【答案】ACD
【分析】利用奇偶函数性质和平移法 判断A，利用极值和导数关系即可判断B，根据零点个数与导数、函数的关系即可判断D.
【详解】对A，设，定义域为，关于原点对称，
且，则为奇函数，
的图象可由奇函数的图象向上平移2个单位长度得到，
故的图象关于点对称，选项A正确．
对B，设的极值点分别为，令，则为方程两不等实数根，
根据韦达定理知，故，
即的极值之和为4，选项B错误．
对C，依题意，方程有两异根，则，，，
令，解得或，令，解得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间单调递增．
则时，的图象与轴有3个交点，
即有3个零点，此时，即，解得，故选项C正确．
对D，当时，，
，
此时只有一个零点，选项D正确．
故选：ACD.
12．已知定义域为的函数的导函数为，且，，则以下错误的有（ ）
A．有唯一的极值点
B．在上单调递增
C．当关于的方程有三个实数根时，实数的取值范围为
D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】构造，结合已知求的解析式，进而可得，再利用导数研究的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.
【详解】令，则，故，（为常数），
所以，而，故，
所以，则，
令，可得或，
在、上，递增；在上，递减；
所以有2个极值点，在上不单调，A、B错误；
由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷，
所以有三个实数根时的范围为，的最小值为，C错误，D正确；
故选：ABC
三、填空题
13．若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大；当时的最大值为 .
【答案】 8 15
【分析】由等差中项、下标定理结合前项和公式，可得结论.
【详解】∵，，
∴，，
∴时，的前项和最大；
∵，
，
∴当时的最大值为15.
故答案为：8；15.
14．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为 (填序号)．
①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞).
【答案】③④⑤
【分析】根据零点存在定理判断即可.
【详解】由表知f(2)·f(3)<0， f(3)·f(4)<0， f(4)·f(5)<0，所以存在零点的区间为③④⑤.
故答案为：③④⑤.
【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理，属于简单题.
15．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算可得，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，则，令，可得，然后将代入，可得，即，所以
，当且仅当时，取等号.
所以的最小值是.
故答案为：
16．已知函数若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】求出函数的导函数，得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图像，由，得到或，由图可知有一个实数根，则有两个实数根，即与有两个交点，结合函数图像即可得解；
【详解】因为当时，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，，，当时，当时，
当时，；
当时，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以在取得极大值，，当时，，
当时，；
所以的函数图像如下所示：
方程，即，即或，
因为方程有个不同的实数根，
由图可知有一个实数根，
所以有两个实数根，即与有两个交点，
所以，；
故答案为：
四、解答题
17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．
(1)求实数a的值；
(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．
【答案】(1)2
(2)，，，．
【分析】（1）方法一：根据题意可得与互为反函数，所以，再根据求解即可；
方法二：根据关于直线对称的性质可得求解即可；
（2）根据对数的运算可得，令，再根据对数函数的取值范围与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）方法一：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以（，且），又，所以．
方法二：因为的图象与的图象关于直线对称，且，所以，所以．
（2）．
令，，故，
则，
当时，，此时，
当时，，此时．
18．设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求解；
（2）利用裂项相消法求和，再结合不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1），
∴，，
∴,
∴当时，；
当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵
，
∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，
∴，不满足条件，
∴．
19．已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，有解，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在和单调递减；在和单调递增；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求导数，由确定增区间，由，确定减区间；
（Ⅱ）首先说明0不是不等式的解，这样不等式可分离参数变为，只要求得在上的最大值即得结论．这仍然由导数来确定单调性得最值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴
令解得，，.
当时，，当时，，
∴函数在和单调递减，在和单调递增.
（Ⅱ）有解即有解
当时，不成立
当时，原不等式化为在(0，2]有解
令
则
在(0，2]，，所以在(0，2]单调递增
∴
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式有解问题，解题关键是掌握由导数确定函数单调性的知识与方法，分离参数是解决范围问题的常用方法．
20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划旨在选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，学生需在校考中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立. 若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率依次为，其中，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为.
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.
【答案】（1）甲：，乙：；（2）.
【分析】（1）结合独立事件的乘法公式即可求出结果；
（2）设报将甲大学通过的科目数为，求出随机变量可能取值，及对应的概率，进而根据期望的概念求出期望；该考生报考乙大学通过的科目数为，根据题意可知服从二项分布，根据二项分布求出期望，进而得到，解之即可.
【详解】（1）该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，则；
设该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则，
（2）设报将甲大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为，则概率为：
，
，
，
，随机变量的分布列：
，
该考生报考乙大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，，则，
所以的范围为：.
21．已知数列是等差数列，，且、、成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求、、的值；
(2)设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明.
【答案】(1)，，
(2)单调递增数列，证明见解析
【分析】（1）设数列的公差为，根据已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式，结合题意可得出、、的值；
（2）由已知可得，求得，结合数列的单调性可得出结论.
【详解】（1）解：设数列的公差为，由、、成等比数列，得，
，整理可得，解得，
所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为.
（2）解：由（1）知，
，
对于恒成立，
为递增数列，即，即，
，，故数列是单调递增数列.
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．
欲证不等式成立，只需证．
因为，所以，只需证．
令，
所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．
［方法三］：硬算
因为，
所以有两个相异的正根（不妨设）．
则且即．
所以．
而，，所以．
设，则．
所以在上递减，，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．
由对数平均不等式可得，即．
故．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678