河南省驻马店市汝南县2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店市汝南县2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学
一、选择题
1．下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．夷人多封锁，国人当自强．国内某大学开设了芯片研究学院，研发某种芯片的厚度约为米，其中“”用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．下列等式分别是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，此时测得的长就是A，B两点间的距离，那么判定的理由是（ ）
A．B．C．D．
6．多项式中各项的公因式是（ ）
A．B．C．D．
7．四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.2个单位B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.2个单位D．将C向左平移4.2个单位
8．如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在中，，又，则的度数等于（ ）

A．10°B．20°C．30°D．40°
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．要使分式有意义，则应满足的条件是 ．
12．如图：、相交于点O，，请你再补充一个条件，使，你补充的条件是 ．
13．若是x的完全平方式，则
14．如图，在中，，，于点D，于点M，与交于点P，则 ．
15．如图，已知中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当点的速度是 时，与全等．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）计算：
（3）分解因式：
（4）分解因式：
17．解分式方程
（1）
（2）
18．先化简，再求值：
(1)，其中，
(2)，其中
19．如图，已知，点B在线段上．求的度数．
20．如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD
(1)用尺规作出∠ACB的平分线CP(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在（1）中，设CP与AB相交于点E ,连接DE求证：BE =DE
21．某水果超市在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用1452元所购买的质量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．设第一次购进的水果的进价是x元/千克．
(1)第二次购进水果的进价是______元/千克，第一次、第二次购进水果的质量分别为______千克和______千克，（用含有x的式子表示）；
(2)求第一次购买的水果的进价是每千克多少元？
(3)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
22．阅读理解：
解决问题：
(1)若，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是的三边长且满足，
①直接写出 ， ；
②若c是中最短边的边长（即；），且c为整数，求出c的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的BC边在轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OB=a，，△ABC的面积为36.
（1）求点的坐标；
（2）动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为，求为何值时，过两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍；
（3）设点为的中点，连接，在x轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】A．﹣3x不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误；
B．的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误；
C．分母中含有字母，因此是分式，故本选项正确；
D．的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．B
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查积的乘方，同底数幂相乘．根据积的乘方，同底数幂相乘计算即可．
【详解】．
故选：D
4．D
【分析】根据方程两边同乘即可．
【详解】解：去分母得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程—去分母，方程两边同乘进行去分母是解题的关键．
5．A
【分析】利用全等三角形的判断方法进行分析即可．
【详解】解：在和中，
，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，解题关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法．
6．A
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数幂即可求解．
【详解】解：多项式中各项的公因式是，
故选：A．
【点睛】本题考查公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法是解答的关键．
7．C
【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点向左平移到，平移5.2个单位，或可以将向左平移到，平移5.2个单位．
【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵，，
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，
∵，，
∴可以将点向左平移到，平移5.2个单位，
或可以将向左平移到，平移5.2个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
8．B
【分析】先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以，然后根据三角形的内角和定理得到的度数．
【详解】解：在长方形中，
∵，，
∴，
由作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．
9．B
【分析】根据三角形的内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出，求出的度数即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应角相等，是解题的关键．
10．B
【分析】首先解不等式组，根据不等式组解集的确立方法对应求出的取值范围；然后解分式方程，得到的结果，然后根据条件知：且，求出的范围，综合以上两个范围确定的整数值即可．
【详解】解：不等式组
解得
不等式组的解集为
分式方程
方程的解为非负整数且
或或
综上，或
整数的和为
故选B
【点睛】本题考查了不等式组解集的确定，分式方程的解法以及相关字母的求解，注意分母不为零是本题做对的关键．
11．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，列式解出即可．
【详解】解：当1-x≠0时，分式有意义，即当x≠1时，分式有意义．.
故答案为x≠1．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．或
【分析】由图可知：，知道一组对应角相等，这组对应角的对边相等，可以用证明，添加条件即可．
【详解】解：∵，，
∴可以选择证明，
∴可以添加的条件为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．注意，对顶角是对应角．
13．9
【分析】本题考查了完全平方式，先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式求解即可，熟记完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：9．
14．##110度
【分析】三角形内角和求出，推出，利用同角的余角相等，得到，证明，得到，进而得到，利用即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等角对等边，证明三角形全等是解题的关键．
15．或
【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论，当和时，利用全等三角形对应边相等，求解即可．
【详解】解：∵
∴，
点为的中点，则
设点的速度是，运动时间为秒时，与全等，则，，
与全等有两种情况，和
当时，，
即，
解得，；
当时，，
即，
解得，
综上，当点的速度是或时，与全等．
故答案为：或
16．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查积的乘方，整式的除法，因式分解．
（1）根据积的乘方计算，再合并同类项即可；
（2）根据整式的除法法则计算；
（3）先提公因式后，再用平方差公式分解因式；
（4）先提公因式后，再用完全平方公式分解因式．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（1）；（2）
【分析】（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：（1）去分母得：2x+4=3x，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）-1=（x+2）（x-2），
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．(1)；
(2)；
【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，化简求值．
（1）先运用整式的混合运算化简后，代入求值即可；
（2）先运用分式的混合运算化简后，代入求值即可．
【详解】（1）
，
当，时，
原式．
（2）
，
当时，
原式．
19．
【分析】根据，可得，再利用证明，可得，从而
得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据题意证得是解题的关键．
20．（1）作图见解析（2）证明见解析
【分析】根据角平分线的做法作出图形；根据角平分线的性质得出∠DCE=∠BCE，结合BC=CD，CE=CE得出△DCE和△BCE全等，从而得出答案.
【详解】(1)射线CP为所求
（2）证明：
∵CP是∠ACB的平分线
∴∠DCE=∠BCE
∵BC=CD，CE=CE
∴△DCE≌△BCE
∴BE =DE
【点睛】作图、三角形全等.
21．(1)1.1x，，
(2)6元
(3)总体上是盈利了，盈利了388元
【分析】（1）根据第二次购买时每千克的进价比第一次提高了可求出第二次购进水果的进价；再根据总钱数除以单价可用含有x的式子表示购进的数量；
（2）根据第二次所购买的质量比第一次多20千克列出分式方程，求解方程并检验即可得到结果；
（3）分别计算出两次售卖获利，进行比较即可
【详解】（1）第二次购进水果的进价是元/千克，第一次、第二次购进水果的质量分别为千克和千克，
故答案为：1.1x，，
（2）根据题意得，
解得．
检验：当时，
是原方程的解且符合题意．
答：第一次购买的水果的进价是每千克6元．
（3）第一次购买水果（千克）．第二次购买水果（千克）．
第一次利润为（元），
第二次利润为（元）．
所以两次共盈利（元）．
所以该果品店在这两次销售中，总体上是盈利了，盈利了388元．
【点睛】本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．(1)，
(2) 3 4；②2
【分析】（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；
（2）①根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；②根据a、b的值及，，即可求得结果．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
解得，；
（2）解：①，
，
，
解得，，
故答案为：3，4；
②，，
，
又是中最短边的边长，
，
为整数，
为2．
【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用完全平方式的非负性及三角形三边之间的关系是解决本题的关键．
23．（1）A(0，)，（2）t=6或t=18，（3）在x轴上存在点Q，Q1(，0)， Q2(，0) ，Q3(-12，0)，使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形．见解析.
【分析】（1）根据等边三角形三线合一，设CO=BO=a,由△ABC的面积为36，则可列出方程解出a的值，即可得到A点坐标；（2）分P在AB上和在AC上时两种情况作图，再利用△ABC是等边三角形分别进行计算即可；（3）先根据等边三角形的特点求得CD=OA，再分当CQ=CD时与DQ=DC时两种情况，根据含30°的直角三角形即可求出Q的坐标.
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC
∴ CO=BO=a
∵S△ABC=BC·OA=×2a×=
∵a＞0
∴a=6
∴OA=
∴A(0，)
（2）∵CO=BO=6
∴AB=AC=BC=12
①当P在AB上时（如图①），
BP=t，AP=AB-BP=12-t
∵OP分△ABC周长为1:2
∴(BP+BO):(AP+AC+OC)=1:2
∴(6+t):(12-t+12+6)=1:2
解得t=6
②当P在AC上时（如图②），
BA+AP=t，PC=24-t
则有（BO+BA+AP）:(PC+OC)=2:1
∴(6+t):(24-t+6)=2:1
解得t=18
∴t=6或t=18时，OP所在直线分△ABC周长为1:2.
（3）如图③∵点D为AB的中点，△ABC是等边三角形
∴ CD⊥AB ∠BCD=30°
∵S△ABC=BC·OA=AB·CD
∴ CD=OA=， BD=6
△DCQ是以CD为腰的等腰三角形，点Q在x轴上.分以下情况讨论：
① 当CQ=CD时，CQ=
∵OC=6 ，C(6，0)
∴ Q1(，0)Q2(，0)
②当DQ=DC时，∠DQB=∠DCQ=30°
又∵∠ABC=60°
∴∠QDB=∠ABC-∠DQC=60°-30°=30°
∴∠QDB=∠DQB
∴QB=BD=6
∴OQ=12
∴Q3(-12，0)
所以，在x轴上存在点Q，Q1(，0)， Q2(，0)，Q3(-12，0)使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形．
【点睛】此题主要考查直角坐标系与三角形结合的动点问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质、含30°的直角三角形及直角坐标系的坐标变换特点.
例：已知：，
求：m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．