2023-2024学年河南省驻马店市上蔡县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市上蔡县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几个数中，属于无理数的数是( )
A. 4B. 3−8C. 0.101001D. 2
2.在数字“2.71828182845”中“8”出现的频数和频率分别是( )
A. 4，13B. 13，4C. 12，4D. 5，23
3.下列说法中，正确的是( )
A. 25=±5B. 3−64=−4
C. −32的算术平方根是3D. 0.01的平方根是0.1
4.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A. 80°或20°B. 80°C. 80°或50°D. 20°
5.下列各命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 相等的角是同位角D. 等边三角形的三个内角都相等
6.对于命题“若x2=16，则x=4”，如果要举反例说明它是假命题，则所取的数可以是( )
A. x=3B. x=−3C. x=4D. x=−4
7.如图，AB=AC，点D是AB边中点，DE⊥AB.若∠A=48°，则∠EBC的大小为( )
A. 18°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
8.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为( )
A. 2m+6B. 3m+6C. 2m2+9m+6D. 2m2+9m+9
9.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，这块菜地的面积是( )
A. 48m2
B. 114m2
C. 122m2
D. 158m2
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，点D在AC上，点E在BC上，且∠DOE=90°.则下列结论：①OA=OB=OC；②CD=BE；③△ODE是等腰直角三角形；④四边形CDOE的面积等于△ABC的面积的一半.其中正确的有( )
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算(x+y)(x−4y)= ______．
12.如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC=FD，AB=DE，当添加条件______时，就可得到△ABC≌△DEF(只需填写一个你认为正确的条件即可)．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E，已知AB=10，S△ABE=20，则CE的长为______．
14.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ．
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒(t>0).若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，则t的值为______秒.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
(1)计算：
①a2⋅a4+(2a3)2−3a7÷a；
②(3x−y)2−(3x+2y)(3x−2y)；
(2)分解因式：
①2am2−8a；
②4a2−3b(4a−3b)．
17.(本小题7分)
张老师在黑板上布置了一道题：
已知y=−1，求代数式[(x+2y)2+(x+y)(y−x)−5y2]÷(2x)的值，小白和小红展开了下面的讨论：

根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
18.(本小题9分)
2022年11月29日23时08分，随着“神舟十五号”成功发射，拥有“三室三厅”的中国“天宫”也创下首次同时容纳6名航天员的纪录.对此，某学校想了解本校八年级学生对中国空间站相关知识的了解情况，组织开展了“中国空间站知多少”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成五个等级(A：90～100分；B：80～89分；C：70～79分；D：60～69分；E：59分及以下)进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生的成绩；
(2)扇形统计图中D对应的圆心角度数是______．
(3)补全条形统计图；
(4)若该校有800名学生参加此次竞赛，竞赛成绩为80分及其以上为优秀，请估计该校竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？
19.(本小题8分)
生活中的数学：
(1)如图①，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是______；
(2)如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB=CD，连接BC、AD交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=12BC．
求证：AB平分∠EAD．
21.(本小题9分)
如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.已知A、B、C都是格点．
(1)小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
小明的思路：先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB2=10，BC2= ______，AC2= ______.从而可得AB、BC、AC之间的数量关系是______，根据______，可得∠ABC是直角．
(2)请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
22.(本小题10分)
阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．

(1)根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2根据图②能得到的数学公式是______；
(2)如图③，请写出(a+b)、(a−b)、ab之间的等量关系是______；
(3)利用(2)的结论，解决问题：已知x+y=8，xy=2，求(x−y)2的值；
(4)根据图④，写出一个等式：______．
23.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．
(2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D点在边BC的延长线上，连接CE.请判断：
①∠ACE的度数为______．
②线段BC，CD，CE之间的数量关系是______．
(3)问题解决：在(2)中，如果AB=AC= 2，CD=1，求线段DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：A. 4=2是整数，是有理数，选项错误；
B. 3−8=−5是整数，是有理数，选项错误；
C. 0.101001是有限小数、是分数，是有理数，选项错误；
D. 2是无理数，选项正确．
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，8出现了4次，即频数为4，
∵总数为12，
∴频率=412=13，
故选：A．
频数是数据在样本中出现的次数，频率指频数与样本总数的比值．
本题考查了频数和频率的概念，熟练掌握频数的概念和频率的计算公式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 25=5，故本选项不合题意；
B、3−64=−4，故本选项符合题意；
C、−32=−9<0，所以−32没有算术平方根，故本选项不合题意；
D、0.01的平方根是±0.1，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据算术平方根的定义，立方根的定义以及平方根的定义逐一判断即可．
本题主要考查了平方根与立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：A．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
5.【答案】D
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题为“相等的角为对顶角”，此命题为假命题，故本选项错误；
B、全等三角形的对应角等的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，此命题为假命题，故本选项错误；
C、相等的角是同位角的逆命题为“如果两个角的同位角，那么这两个角为相等”，此命题为假命题，故本选项错误；
D、等边三角形的三个内角都相等的逆命题为“如果三个角相等，那么这个三角形是等边三角形”，此命题为真命题，故本选项正确；
故选：D．
分别写出各命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可．
本题考查了命题与定理的知识，解答本题需要掌握一个命题逆命题的书写方法．
6.【答案】D
【解析】解：说明命题“若x2=16，则x=4”是假命题的一个反例可以是x=−4．
故选：D．
根据有理数平方的意义解答即可．
本题主要考查了有理数平方的意义，熟练掌握相关内容是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠A=48°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−48°)=66°，
∵点D是AB边中点，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠A=∠BEA=48°，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=66°−48°=18°，
故选：A．
根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再利用垂直平分线的性质得到EA=EB，从而求出∠A=∠BEA=48°，利用∠EBC=∠ABC−∠EBA可得结论．
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案．
【解答】
解：∵(2m+3)2=4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，
∴[4m2+12m+9−(m+3)2]÷m=3m+6．
故另一边长为：3m+6．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC= AB2+BC2= 92+122=15(m)，
∵CD=8m，AD=17m，
∴AC2+CD2=152+82=289，AD2=172=289，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×9×12+12×15×8
=54+60
=114(m2)，
∴这块菜地的面积为114m2，
故选：B．
连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，最后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，
∴OC⊥AB，∠OAD=∠ACO=∠B=∠OCE=45°，
∴OA=OB=OC，①正确；
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△AOD与△COE中，
∵∠OAD=∠OCE=45°，OA=OC，∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，AD=CE，
∴CD=BE，△ODE是等腰直角三角形，②③正确；
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边性CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=12S△ABC.④正确．
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质来判定①；证明△AOD≌△COE，来判定②③④，即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定、性质，全等三角形的判定和性质，正确记忆相关内容是解题关键．
11.【答案】x2−3xy−4y2
【解析】解：(x+y)(x−4y)=x2−4xy+xy−4y2=x2−3xy−4y2，
故答案为：x2−3xy−4y2．
根据多项式乘以多项式的运算法则准确计算即可．
本题考查了多项式乘以多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
12.【答案】BC=EF(答案不唯一)
【解析】解：可添加BC=EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；
可添加∠A=∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；
故答案为：BC=EF或∠A=∠D或AB//DE.(答案不唯一)
要使△ABC≌△FED，已知，AC=FD，AB=DE，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．注意本题答案不唯一．
13.【答案】4
【解析】解：如图，过点E作ET⊥AB于T．
由作图可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC，
∴S△ABE=12⋅AB⋅ET=12×10×CE=20．
∴CE=4，
故答案为：4．
如图，过点E作ET⊥AB于T.证明ET=EC，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
14.【答案】3
【解析】解：由图形可知，BC=5，BC边上的高为3，
∴△ABC的面积=12×5×3=152．
由勾股定理得，AC= 32+42=5，
则12×5×BD=152，
解得，BD=3，
故答案为：3．
根据题意求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】258或192
【解析】解：如图，P1P2是AB的垂直平分线，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC= 52−32=4(cm)，
①当P运动到P1时，
∵AP1=t，
∴P1C=4−t，P1B=AP1=t，
在Rt△P1CB中，由勾股定理得：P1C2+BC2=P1B2，
即：(4−t)2+32=t2，
解得：t=258，
②当P运动到P2时，
P2A=P2B=t−7，
即：t−7=52，
∴t=192，
综上所述，t的值为258秒或192秒．
故答案为：258或192．
点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，分两种情况进行讨论，即可得到t的值．
本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质的运用．利用分类讨论思想是解题的关键．
16.【答案】解：(1)①a2⋅a4+(2a3)2−3a7÷a
=a6+4a6−3a6
=2a6；
②(3x−y)2−(3x+2y)(3x−2y)
=9x2−6xy+y2−9x2+4y2
=−6xy+5y2；
(2)①2am2−8a
=2a(m2−4)
=2a(m+2)(m−2)；
②4a2−3b(4a−3b)
=4a2−12ab+9b2
=(2a−3b)2．
【解析】(1)①先根据同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除计算，再合并，即可求解；②先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，即可求解；
(2)①先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解；②先整理，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算，多项式的因式分解，正确记忆相关知识点是解题关键．
17.【答案】解：我认为小红说的对，
理由：[(x+2y)2+(x+y)(y−x)−5y2]÷(2x)
=(x2+4xy+4y2+y2−x2−5y2)÷(2x)
=4xy÷(2x)
=2y，
∵化简后的结果不含x，
∴小红说的对，
当y=−1时，原式=2×(−1)=−2．
【解析】先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】100 36°
【解析】解：(1)本次调查共抽取了26÷26%=100名学生的成绩；
故答案为：100；
(2)10100×360°=36°；
故答案为：36°；
(3)C等级的学生为100×20%=20(名)．
故B等级的学生为100−26−20−10−4=40(名)．
补全条形统计图如图所示：
(4)800×26+40100=528(名)，
即估计该校竞赛成绩为优秀的学生共有528名．
(1)用A等级 人数除以其占比即可求出抽取的人数；
(2)D的人数除以总人数乘以360°即可；
(3)先求出B、C两个等级的人数，进而可补全统计图；
(4)利用样本估计总体的思想解答．
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键．
19.【答案】三角形的稳定性
【解析】解：(1)三角形具有稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
(2)这样做合适，
理由：∵AB/​/CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
在△AEB与△DEC中，
∠A=∠DAB=CD∠B=∠C，
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴AE=DE．
(1)根据三角形的稳定性解答即可；
(2)首先证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形的性质可得AE=DE．
此题主要考查了三角形的稳定性，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等．
20.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=12BC，AD⊥BC，
∵BE=12BC，
∴BD=BE，
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
【解析】根据等腰三角形的性质得到BD=12BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】10 20 AB2+BC2=AC2 勾股定理的逆定理
【解析】解：(1)小明的思路：先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB2=10，BC2=10，AC2=20.从而可得AB、BC、AC之间的数量关系是AB2+BC2=AC2，根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC是直角，
故答案为：10；20；AB2+BC2=AC2；勾股定理的逆定理；
(2)如图：
由题意得：∠ADB=∠CEB=90°，AD=BE，BD=CE，
∴△ADB≌△BEC(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠ABC=180°−(∠ABD+∠CBE)=90°，
∴∠ABC是直角．
(1)利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
(2)根据题意可得：∠ADB=∠CEB=90°，AD=BE，BD=CE，然后利用SAS证明△ADB≌△BEC，从而利用全等三角形的性质可得∠BAD=∠CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余可得：∠DAB+∠ABD=90°，从而利用等量代换可得∠ABD+∠CBE=90°，最后利用平角定义可得∠ABC=90°，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】(a−b)2=a2−2ab+b2 (a+b)2=(a−b)2+4ab (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【解析】解：(1)由图2中各个部分面积之间的关系可得(a−b)2=a2−2ab+b2，
故答案为：(a−b)2=a2−2ab+b2；
(2)由图3中，由于大正方形的面积为(a+b)2，小正方形的面积为(a−b)2，每个长方形的面积为ab，
所以(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(3)(x−y)2=(x+y)2−4xy=82−4×2=56；
(4)大正方形的面积为(a+b+c)2，内部9块的面积分别为a2，b2，c2，ab，ab，ac，ac，bc，bc所以有：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(1)由图2中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图3中，大正方形的面积为(a+b)2，小正方形的面积为(a−b)2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形(x−y)2=(x+y)2−4xy，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为(a+b+c)2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面积或体积与整体的关系得出答案是解题关键．
23.【答案】45° BC+CD=CE
【解析】(1)问题发现：
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，
且∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)类比探究：
①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
在△ACE与△ABD中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠B=45°，
故答案为：45°；
②∵△ACE≌△ABD，
∴BD=CE，
∴BC+CD=CE，
故答案为：BC+CD=CE；
(3)问题解决：
解：在(2)中，同(1)的方法可证：△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
在Rt△BAC中，AB=AC= 2，
∴BC= AB2+AC2=2，
又∵CD=1，由(2)得CE=BC+CD=3，
在Rt△BAC中，DE= CE2+CD2= 32+12= 10，
则线段DE的长是 10．
(1)问题发现：可得出∠BAD=∠CAE，根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
(2)类比探究：①证明△ACE≌△ABD可得出结论；
②证明△ACE≌△ABD即可；
(3)问题解决：
由(2)△ABD≌△ACE，则∠ACE=∠ABD=45°，求出BC=2，CE=3，则可求出DE的长．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．