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2024届上海市静安区回民中学高三上学期12月阶段性测试数学试题含答案
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这是一份2024届上海市静安区回民中学高三上学期12月阶段性测试数学试题含答案,共19页。试卷主要包含了填空题,单选题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、填空题
1.已知向量,向量,则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据题意,求得,结合投影向量公式,求得,即可求解.
【详解】由向量,,可得,可得,
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为:.
2.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图,则由图形中的数据,可知其分位数为 .
【答案】14
【分析】根据频率分布直方图,计算即可.
【详解】由图可知第一组的频率为,前两组的频率之和为,则可知其分位数在内,设为,
则,解得.
故答案为:14
3.已知集合,则 .
【答案】
【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合,利用对数函数的定义域以及分式不等式的解法化简集合,由交集的定义可得结果.
【详解】因为,
所以,
因为,
所以,
所以,故答案为.
【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
4.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,是与的一个公共点,则的面积为 .
【答案】6
【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值,根据椭圆与双曲线定义可求出的值,根据三边关系即可求出面积.
【详解】由题可知,的离心率为2,则的离心率为,则.
根据对称性,不妨设在第一象限,则,解得,
则,所以为直角三角形,
则的面积为.
故答案为:6.
5.设、是实数,且,则的最小值是 .
【答案】
【详解】根据基本不等式的性质,有
又由 则 当且仅当即时取等号.
【点睛】本题考查基本不等式的性质与运用,正确运用公式要求“一正、二定、三相等”,解题时要注意把握和或积为定值这一条件
6.密切圆(Osculating Circle),也称曲率圆,即给定一个曲线及其上一点P,会有一个圆与曲线切在P点,而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆,换言之,没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切,此圆称为曲线在点P处的密切圆,密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的(比如在抛物线顶点处的内切圆),曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线C:在顶点处的(曲率半径为 .
【答案】
【详解】如图,设在抛物线顶点处的内切圆的方程为,
由消去y并化简得,
由曲率圆的定义知,圆与抛物线只有一个交点,于是方程组有且只有一个解,
则,所以曲率半径为.
故答案为:
7.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为,小正方形的面积为,若,则的值为
【答案】/
【分析】设直角三角形的最短直角边为,则最长直角边为,由,结合,求得,再利用三角函数的定义即可求解.
【详解】设直角三角形的最短直角边为,则最长直角边为,
由题意有,又,整理得,
解得,
又,
故答案为:.
8.2023年1月底,由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国,迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数,表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为,则学习率衰减到以下(不含)所需的训练迭代轮数至少为 .(参考数据:)
【答案】74
【分析】根据题意,建立指数函数模型,然后结合指数,对数的运算,代入计算,即可得到结果.
【详解】根据题意可得,该指数衰减的学习模型为,
当时,代入得,,解得,
由学习率衰减到以下(不含),可得,即,
所以,因为,
所以,则取.
故答案为:
9.剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形内多余的部分(如图所示阴影部分),记为一次裁剪操作,……重复上述裁剪操作n次,最终得到该剪纸.则第4次裁剪操作结束后所得的面积为 ;第n次操作后,所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 .
【答案】 /
【分析】设的半径为,分析正方形边长与半径的关系可得,进而可得的面积为,从而得到的面积;再分析第次裁剪操作的正方形边长与在该正方形的圆半径,进而可得每次操作减去的面积,再求和即可.
【详解】设的半径为,则,则第次裁剪操作得到的正方形边长为,
的半径为,即,故,
的面积为,故的面积为.
又第次裁剪操作的正方形边长为,在该正方形的圆半径为,
故第次裁剪操作裁剪掉的面积为
,所以第次裁剪操作裁剪掉的面积之和为.
故答案为:;
10.已知为实数,用表示不大于的最大整数.对于函数,若存在且,使得,则称是“函数”.若函数是“函数”,则正实数的取值范围是
【答案】且
【分析】由函数定义得且,,且,,进而有能成立,即有结合分类讨论,求参数范围.
【详解】由题设,且,,且,,
所以能成立,即能成立,则,
所以,显然,不存在满足题设;
若,则满足题设;
若,则满足题设;
若,则满足题设;
若,则满足题设;
故正实数的取值范围是且.
故答案为:且
【点睛】关键点点睛:由新定义得到能成立,得,讨论的区间判断的存在性确定参数范围.
11.已知点P在正方体的表面上,P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等,且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等,则满足条件的点P的个数为 .
【答案】
【分析】确定在平面上,根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线,建立坐标系确定抛物线方程,计算交点得到答案.
【详解】若P到平面ABCD、距离相等,根据对称性知在平面上,
平面,平面,故平面平面,
故到平面的距离即到的距离,
设正方体的中心为,即,故的轨迹为平面内的一条抛物线,
不妨取正方体边长为,中点为,以所在的直线为轴,
以线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系,
抛物线方程为,时,,故抛物线与棱和相交,
故共有个点满足条件.
故答案为:
【点睛】关键点睛:本题考查了立体几何,抛物线的轨迹方程,意在考查学生的计算能力,空间想象能力和综合应用能力,其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键,
12.已知曲线的方程为,则下列说法中:
①无论取何值,曲线都关于原点中心对称;
②存在唯一的实数使得曲线表示两条直线;
③当时,曲线上任意两点间距离的最大值为;
④当时,曲线是双曲线.
所有正确的序号是 .
【答案】①③④
【分析】①设得到关于原点对称点为,代入方程判断;②由和判断;③④令,得到判断;
【详解】①设,则关于原点对称点为,则,故正确;
②当时,方程为,即,则或,当时,方程为,即,则或,故错误;
③当时,令,则,当时,,表示椭圆,则曲线上任意两点间距离的最大值为,故正确;
④当时,,则曲线是双曲线,故正确.
故答案为:①③④
二、单选题
13.“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可.
【详解】当直线与直线互相垂直时,
,得,解得或,
所以当时,直线与直线互相垂直,
而当直线与直线互相垂直时,或,
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,
故选:A
14.若不等式,当时总成立,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质求得的最大值,然后解相应不等式可得.
【详解】因为,
所以不等式,当时总成立等价于,
,,,所以,
故选:C.
15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵中,,且.下列说法错误的是( )
A.四棱锥为“阳马”
B.四面体为“鳖臑”
C.四棱锥体积的最大值为
D.过A点作于点E,过E点作于点F,则面AEF
【答案】C
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义,可判断A,B的正误;当且仅当时,四棱锥体积有最大值,求值可判断C的正误;根据题意可证平面,进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,
∴在堑堵中,,侧棱平面,
A选项,∴,又,且,则平面,
∴ 四棱锥为“阳马”,故A正确;
B选项,由,即,又且,
∴平面,∴,则为直角三角形,
又由平面,得为直角三角形,由“堑堵”的定义可得为直角三角形,为直角三角形,∴ 四面体为“鳖膈”,故B正确;
C选项,在底面有,即,当且仅当时取等号,
,最大值为,故C错误;
D选项,因为,,,所以平面,故D正确;
故选:C
16.对于数列,若存在正数,使得对一切正整数,恒有,则称数列有界;若这样的正数不存在,则称数列无界,已知数列满足:,,记数列的前项和为,数列的前项和为,则下列结论正确的是( )
A.当时,数列有界B.当时,数列有界
C.当时,数列有界D.当时,数列有界
【答案】B
【分析】当时, 构造新函数,利用导数判断其单调性,进而得出,由此判断A;
构造函数,判断其单调性,推出,进而得到,从而说明,判断B; 当 时,说明成立,从而判断C,D.
【详解】当时,
令,则,
当 时,,故 ,
因为,则,
所以 ,(这是因为),
令 ,则,
故时单调递增函数,
故,则,
假设 ,则,
故由归纳法可得成立,所以 ,
故数列无界,故A错;
又由,
设
则 ,
故递减,则,
所以 ,则 ,
则 ,
故 ,则,
故 ,
即当时,数列有界,故B正确
当 时,,由, ,
假设 ,则 ,即成立,
所以此时 都无界,故C,D错误;
【点睛】本题给定数列的新定义,要求能根据定义去判断数列是否符合要求,其中涉及到构造函数,并判断函数的单调性等问题,较为复杂,比较困难.
三、解答题
17.函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据图象易得和周期,结合可得结果;
(2)根据平移和伸缩变换可得,进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】(1)观察图象可得,函数的周期,解得,
即,由,得,
即,,
而,则,
所以函数的解析式是.
(2)将的图象向左平移个单位长度,
可得到函数的图象,
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,
得到函数的图象,则,
当时,,则,
所以,
因此在上的值域为.
18.已知椭圆的焦点是,,且,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C与直线交于M,N两点,且,求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意求出,进而得到,求出椭圆方程;
(2)联立直线与椭圆方程,根据根的判别式得到,得到两根之和,两根之积,利用弦长公式表达出弦长,得到方程,检验后求出答案
【详解】(1)由题意得:,,解得,
故,
故椭圆C的方程为;
(2)联立与得,,
,解得,
设,则,
故
,
又,
所以,解得,满足,
故实数的值为
19.南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景:若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形,如图所示)设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上(图中与直径垂直,与不重合),通过栈道把连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感.已知,栈道总长度为函数.
(1)求;
(2)若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台的位置,使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计),并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)在直角三角形中,由边角关系分别表达,进而求出,则可得栈道总长度;
(2)利用导数研究函数单调性求最值即可.
【详解】(1)由题意知,,,
则,,
所以.
所以栈道总长度为
(2)建造栈道的费用为,则,
令,得,又,解得,
当时, ,当时, ,
则在单调递减,在单调递增,
故,
此时,
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时,建造费用最小,最小费用为万元.
20.设是一个关于复数z的表达式,若(其中x,y,,为虚数单位),就称f将点“f对应”到点.例如将点“f对应”到点.
(1)若点“f对应”到点,点“f对应”到点,求点、的坐标;
(2)设常数,,若直线l:,,是否存在一个有序实数对,使得直线l上的任意一点“对应”到点后,点Q仍在直线上?若存在,试求出所有的有序实数对;若不存在,请说明理由;
(3)设常数,,集合且和且,若满足:①对于集合D中的任意一个元素z,都有;②对于集合A中的任意一个元素,都存在集合D中的元素z使得.请写出满足条件的一个有序实数对,并论证此时的满足条件.
【答案】(1)
(2)
(3),证明见解析
【分析】(1)根据题中的新定义求解即可;
(2)由题意可得,进而由条件得出关于的方程组,求解即可;
(3)满足条件的一个有序实数对为,即,,结合复数模的求法及复数的运算证明即可.
【详解】(1)由知,则,故;
设,则,
由知,则,即.
(2)直线l上的任意一点“对应”到点,
,且,
,即,
由题意,点仍在直线上,则,又,
则,
展开整理得,
则,解得,
所以,所求的有序实数对为.
(3)满足条件的一个有序实数对为,即,,证明如下:
设,则,,
∵,∴,
,即,满足条件①;
设,且,即,得,
由得,
则
,
则,满足条件②,
综上,满足条件的一个有序实数对为.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的:遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
21.已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若时恒成立,求实数a的取值范围.
(3)定义函数,对于数列,若,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
①已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
②已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
【答案】(1)单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)
(3)①证明见解析;②假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列,理由见解析.
【分析】(1)求导得,即可得到结果;
(2)根据题意,将问题转化为当时,恒成立,求导得,然后分,以及讨论,即可得到结果;
(3)①根据题意,构造函数,求导可得在恒成立,即可证明;②根据题意,结合“源数列”以及“生成数列”的概念,然后假设存在,代入计算,即可得到方程无解,故不存在.
【详解】(1)当时,,,
令,则,解得或,
当时,;
当时,;
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2),
令,依题意,当时,恒成立,
由,得,,
又因为,所以,
当时,,所以在单调递增,
,不合题意;
当时,令,解得,
当时,;当时,;
所以在单调递增,在单调递减.
若要使恒成立,则需,解得,
故此时;
当时,,
所以在单调递减,
所以,符合题意;
综上,实数a的取值范围为.
(3)①,,故,
构造函数,
,则
函数在上单调递增,,故在恒成立,单调递增,
故,即,,
当时,,
综上所述:恒成立,即.
②,则,,
设,即,则,
设函数,函数单调递增,对于任意,有唯一的与之对应,
即数列中每一项,都有中的项与之相等,单调递增,
故,
假设数列中存在连续三项构成等比数列,,,,
故,整理得到,无正整数解.
故假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列.
【点睛】关键点睛:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合,难度较大,解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念,再由导数与数列的知识进行解答.
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