苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理优秀同步达标检测题

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一、二项式定理及相关概念
1、定义：公式称为二项式定理
（1）二项展开式：
（2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数
（3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：
（4）在二项式定理中，若设，，则得到公式
2、二项展开式的特点
（1）展开式共有项；
（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数；
（3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。
3、对通项公式的两点说明
（1）通项公式是的展开式中的第项，这里；
（2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。
二、二项式定理的性质
1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即，，…，
2、增减性与最大值
当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；
三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法
求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（）
（1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解；
（2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；
（3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解；
【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。
四、求形如展开式中特定项的求解方法
1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题；
2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题；
3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。
五、求形如的式子中与特定项相关的量
第一步：分别写出与的二项展开式的通项；
第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）；
第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。
六、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
1、求二项式系数和：
（1）令，则
（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即
2、求各项系数和
（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；
（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；
（3）若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为
七、二项式系数的最值与项的系数的最值问题
1、二项式系数的最值问题
如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，
它们的二项式系数和相等且最大；
2、项的系数的最值问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可
八、应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。
【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。
题型一 二项式定理的正用和逆用
【例1】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．
【答案】
【解析】展开式的通项为，
展开式为.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由得
则，即，解得.故选：B.
【变式1-2】（2022春·江苏·高二校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选：B
【变式1-3】（2022·高二课时练习）化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故该多项式为的展开式，
化简．故选：D.
题型二 二项展开式中的特定项
【例2】（2022春·云南文山·高二统考期末）在的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】展开式通项为，
令，即得：，即的系数为.故选：D.
【变式2-1】（2022秋·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）展开式中的常数项是（ ）
A．-160 B．-140 C．160 D．140
【答案】A
【解析】展开式通项为，
令，所以，所以常数项为，故选：A.
【变式2-2】（2022秋·黑龙江·高二哈九中校考期末）求的展开式中的系数________.
【答案】
【解析】求的展开式中含的项为，
即的展开式中的系数为.
【变式2-3】（2022春·浙江·高二期中）若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式的第项
令则（）所以为偶数故选：A
题型三 三项展开式中的特定项
【例3】（2022秋·江西·高二景德镇一中校考期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．51 B．50 C．－51 D．－50
【答案】C
【解析】的展开式通项为：
，且，
令，则，或者，或者；
故的系数为：，故选：C
【变式3-1】（2022春·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】的通项公式，
令，则，
所以的系数为，故选：B
【变式3-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）展开式中，的系数为（ ）
A． B．320 C． D．240
【答案】A
【解析】因为，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，
因此项的系数为：，故选：A.
【变式3-3】（2022春·福建·高二校联考期末）的展开式中，常数项是______．
【答案】
【解析】，
展开式的通项为，
当，即时，可得展开式的常数项为.
题型四 两个多项式积的特定项
【例4】（2022春·广东肇庆·高二校联考阶段练习）的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【解析】，
展开式的通项为：，
当即时， ，
所以的展开式中，常数项为.故选：D.
【变式4-1】（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式的通项，
当时，；当时，；
，解得：.故选：A.
【变式4-2】（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）的展开式中的系数为_____．
【答案】24
【解析】展开式中项为，
∴的系数为24．
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中含有项，求的系数．
【答案】-70
【解析】展开式的通项为，
的展开式中含有项包含两种情况：
一种情况是，
令，，得，则该项为；
另一种情况是，
令，，即，，则该项为．
因此的展开式中的系数为10-80=；
综上，的系数为-70.
题型五 二项展开式的系数和问题
【例5】（2022春·江苏苏州·高二统考期中）若，则（ ）
A．6562 B．3281 C．3280 D．6560
【答案】B
【解析】令有，
令有，
故，故选：B
【变式5-1】（2022春·江西抚州·高二统考期末）已知，则（ ）
A．605 B．607 C．1210 D．1214
【答案】A
【解析】令，则，
令，则.
令，则，
令，则，
所以，
所以.故选：A.
【变式5-2】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若，则的值为（ ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【答案】A
【解析】，时，
，时，
，
故选：A.
【变式5-3】（2022春·重庆·高二校考阶段练习）（多选）若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依令，，
A不正确；
，
，
则，B正确；
显然，，
则，C正确；
，
D不正确.故选：BC
题型六 二项式系数与项的系数最值
【例6】（2022秋·福建莆田·高二校考期末）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____．
【答案】60
【解析】∵在二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
∴展开式中第4项是中间项，共有7项，∴，
所以展开式的通项公式为，
令，得，
∴展开式中含项的系数是.
【变式6-1】（2022春·湖南益阳·高二统考期末）（多选）在的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【解析】已知的展开式中第5项的二项式系数最大，
则，或，或，故选：ABC．
【变式6-2】（2022春·江苏常州·高二校联考期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
【答案】B
【解析】二项式的通项公式为：，
设第项的系数绝对值最大，
所以有，
因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，故选：B
【变式6-3】（2022春·陕西咸阳·高二校考期中）求二项式的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项和系数最小的项．
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，
所求项为T4＋1＝ ()44＝.
（2）由题知得展开式的通项公式
求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则
即∴，即第6项和第7项的系数绝对值最大．
由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，
∴第7项是系数最大的项，这一项为；
第6项是系数最小的项，这一项为.
题型七 整除和求余问题
【例7】（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）被9除的余数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为
所以
因为为9的整数倍，
所以被9除的余数与被9除的余数相同，
又，1024被9除的余数为7，故被9除的余数为7，故选：C.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则被12整除的余数为______.
【答案】0
【解析】在已知等式中，取得，①
取得，②
①②得：，
因为
所以，
所以能被12整除，
所以被12整除的余数为
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】,
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，
则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，
其他选项均不符合题意，故选：D
【变式7-3】（2022秋·江苏南通·高三期末）今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是__________.
【答案】星期五
【解析】根据题意，周期为，，
所以除以的余数为1，即
经过天后，为星期五.
题型八 近似计算问题
【例8】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
【变式8-1】（2022·高二课时练习）求的近似值，使误差小于0.001．
【答案】0.988
【解析】．
∵，
且第3项以后的项的绝对值都远小于0.001，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计，
∴．
【变式8-2】（2021春·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【解析】原式+
．故选：A．
【变式8-3】（2023·全国·高二专题练习）已知为正整数，若，则的值为（ ）（人A6.3.2）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；故选：C.