山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末学业诊断数学试题

这是一份山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末学业诊断数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）直线y＝4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（ ）
A．，2B．，2C．，﹣2D．，﹣2
2．（3分）圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣1，﹣2），B．（1，2），C．（﹣1，﹣2），3D．（1，2），3
3．（3分）双曲线＝1的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x
4．（3分）两条平行直线l1：3x﹣y＝0与l2：间的距离等于（ ）
A．3B．0C．D．1
5．（3分）设抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，且点A（4，2）（ ）
A．B．4C．D．5
6．（3分）已知直线与双曲线相交于A，且A，B两点的横坐标之积为﹣4（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．8x﹣6y﹣7＝0B．3x+4y＝0
C．3x+4y﹣12＝0D．6x+8y﹣25＝0
8．（3分）如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点B，且|AB|＝3|BF|，则直线l的斜率为（ ）
A．B．2C．3D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（3分）已知直线l1：2x﹣y＝0与l2：x+y﹣3＝0交于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为
B．点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：（m+2）x﹣2y﹣1＝0都经过点P
D．（1，﹣1）是直线l2的一个方向向量的坐标
（多选）10．（3分）当α∈（0，π）时，方程x2csα+y2＝1表示的轨迹可能是（ ）
A．两条直线B．椭圆C．圆D．双曲线
（多选）11．（3分）椭圆C的方程为，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限．若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．|MF2|＝2
B．
C．点M到x轴的距离为
D．
（多选）12．（3分）已知O为坐标原点，双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为双曲线C上一点，MN平分∠F1MF2，且，|ON|＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程为
B．ON∥MF2
C．双曲线C的焦距为
D．点M到两条渐近线的距离之积为
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为 ．
14．（3分）已知圆C的一条直径的两个端点坐标分别为（﹣4，1），（2，3），则圆C的方程是 ．
15．（3分）已知A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，，则|OA|＝ ．
16．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足|F1P|＝a，且，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．
（1）求边AC所在直线的方程；
（2）判断△ABC的形状．
18．（10分）已知圆M的方程为x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0，点P（3，m）在圆M内．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求过点Q（1，0）且与圆M相切的直线l的方程．
19．（10分）已知双曲线C：的右焦点F2与抛物线y2＝8x的焦点重合．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求△ABF1的周长．
20．（10分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m），且|AF|＝3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G（﹣1，0），过点F的直线交抛物线于C、D两点，求证：∠CGF＝∠DGF．
21．（12分）已知椭圆M：的离心率为，且过点（斜率不为0）与椭圆M分别交于C、D两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）记椭圆M的左、右顶点分别为A，B，△ABC和△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
2023-2024学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）直线y＝4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（ ）
A．，2B．，2C．，﹣2D．，﹣2
【分析】根据已知条件，结合截距的定义，即可求解．
【解答】解：直线y＝4x+2，
令x＝8，解得y＝2，
y＝0，解得x＝，
故直线y＝4x+7在x轴和y轴上的截距分别为．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
2．（3分）圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣1，﹣2），B．（1，2），C．（﹣1，﹣2），3D．（1，2），3
【分析】直接利用圆的方程求出结果．
【解答】解：圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（﹣2，﹣2）和．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（3分）双曲线＝1的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x
【分析】由双曲线的渐近线方程y＝±x即可得到答案．
【解答】解：∵双曲线方程为，
∴其渐近线方程为：y＝±x＝±x，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．
4．（3分）两条平行直线l1：3x﹣y＝0与l2：间的距离等于（ ）
A．3B．0C．D．1
【分析】根据已知条件，结合平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：两条平行直线l1：3x﹣y＝7与l2：间的距离等于：．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
5．（3分）设抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，且点A（4，2）（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义转化求解．
【解答】解：如图，
点A（4，2）在抛物线内部，垂足为H，
此时|PA|+|PF|取的最小值为8﹣（）＝．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是基础题．
6．（3分）已知直线与双曲线相交于A，且A，B两点的横坐标之积为﹣4（ ）
A．B．C．D．
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出焦距．
【解答】解：由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，
由A，B两点的横坐标之积为﹣40×（﹣x3）＝﹣4，解得x0＝3，所以A（2，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以焦距为．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（3分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．8x﹣6y﹣7＝0B．3x+4y＝0
C．3x+4y﹣12＝0D．6x+8y﹣25＝0
【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【解答】解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x6，y2），
则，
①﹣②得：，
即，
∴．
∴以点为中点的弦所在的直线方程为y﹣，
整理得：8x+4y﹣12＝0．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦所在直线方程，是中档题．
8．（3分）如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点B，且|AB|＝3|BF|，则直线l的斜率为（ ）
A．B．2C．3D．
【分析】作BD垂直准线于D，根据抛物线的定义即可求解结论．
【解答】解：作BD垂直准线于D，
由抛物线的定义可得|BF|＝|BD|，
|AB|＝3|BF|，可得|AB|＝3|BD|，
故直线l的斜率k＝tan∠BFx＝tan∠DBA＝＝＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义应用，考查计算能力，属于基础题．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（3分）已知直线l1：2x﹣y＝0与l2：x+y﹣3＝0交于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为
B．点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：（m+2）x﹣2y﹣1＝0都经过点P
D．（1，﹣1）是直线l2的一个方向向量的坐标
【分析】直接利用直线的方程的交点，点到直线的距离公式，两点间的距离公式及直线的方向向量判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于直线l1：2x﹣y＝2与l2：x+y﹣3＝8交于点P，
故，解得，
对于A：点P到原点的距离d＝，故A正确；
对于B：点P（8，2）到直线x﹣y﹣1＝6的距离d＝；
对于C：直线l6：（m+2）x﹣2y﹣4＝0整理得（2x﹣5y﹣1）+mx＝0，故，解得3恒过点（8，﹣），故C错误；
对于D：由于直线l7：x+y﹣3＝0的方向向量为（5，﹣1）．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
（多选）10．（3分）当α∈（0，π）时，方程x2csα+y2＝1表示的轨迹可能是（ ）
A．两条直线B．椭圆C．圆D．双曲线
【分析】化简方程，然后根据α的范围以及余弦函数的性质，椭圆，双曲线，直线的定义即可判断．
【解答】解：方程化为：，
因为α∈（0，π）时，csα∈（0，则，此时曲线可能为椭圆；
当时，csα＝3，曲线表示两条直线；
当时，csα＜0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了轨迹方程，涉及到椭圆，双曲线以及直线的性质，属于基础题．
（多选）11．（3分）椭圆C的方程为，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限．若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．|MF2|＝2
B．
C．点M到x轴的距离为
D．
【分析】根据M位置可知|MF1|＝|F1F2|，根据椭圆定义可求出|MF1|，|MF2|，可判断A；通过余弦定理的求解，判断B；利用余弦定理解△MF1F2，从而可判断C，D是否正确．
【解答】解：a＝4，b＝，
∵M在椭圆上，∴|MF5|+|MF2|＝2a＝4，
∵M在第一象限，故|MF1|＞|MF2|，
∵△MF6F2为等腰三角形，则|MF1|＝|F3F2|＝2c＝8，故A错误；
∴|MF2|＝2，故A正确；
由余弦定理可得cs∠MF5F1＝＝，所以B不正确；
过M作MA⊥x轴于A，则|F2|＝|MF2|cs∠MF2F1＝，
∴|OA|＝，即M的横坐标为＝，故C正确；
＝×＝，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，三角形的解法，属于中档题．
（多选）12．（3分）已知O为坐标原点，双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为双曲线C上一点，MN平分∠F1MF2，且，|ON|＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程为
B．ON∥MF2
C．双曲线C的焦距为
D．点M到两条渐近线的距离之积为
【分析】不妨设M为双曲线E：的右支上一 点，延长MF2，F1N交于点G，进而得|MF1|＝|MG|，|NF1|＝|NG|，再结合双曲线的定义，中位线定理得a＝4，b＝2，进而判断ABC；设M（x1，y1），则，再直接计算点M到两条 渐近线的距离之积判断D．
【解答】解：不妨设M为双曲线E：的右支上一点2，F7N交于点G，如图，
因为MN平分∠F1MF2，且＝0，即⊥6N与Rt△MGN中，
，所以Rt△MF3N≌Rt△MGN，故|MF1|＝|MG|，|NF1|＝|NG|，
根据双曲线的定义得，|MF3|﹣|MF2|＝|MG|﹣|MF2|＝|GF3|＝2a，
在△F1GF7中，ON是其中位线2，所以ON∥MF2，|ON|＝5，所以．
因为双曲线E的渐近线方程为x±2y＝2，所以，c7＝b2+a2＝20，，
所以双曲线E的标准方程为，双曲线C的焦距为，B正确；
设M（x1，y2），则，即，
所以点M到两条渐近线的距离之积为，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为 ．
【分析】先将抛物线的方程化为标准方程形式y2＝﹣x，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为y2＝﹣x，
∴p＝，开口向左，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
14．（3分）已知圆C的一条直径的两个端点坐标分别为（﹣4，1），（2，3），则圆C的方程是 （x+1）2+（y﹣2）2＝10 ．
【分析】首先求出圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．
【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），b＝，
故半径r＝，
故圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：（x+1）8+（y﹣2）2＝10．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15．（3分）已知A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，，则|OA|＝ ．
【分析】由已知结合抛物线的定义可求得p，再根据余弦定理求解．
【解答】解：过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，B．
由题意∠BFA＝∠OFA﹣＝，
A点到准线的距离为：d＝|AB|+|BC|＝p+6＝4，
解得p＝2，则|OF|＝7．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题．
16．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足|F1P|＝a，且，则椭圆C的离心率为 ．
【分析】根据对称性不妨设P为上顶点，根据题意先求出Q点坐标，再将Q的坐标代入椭圆方程，即可求解．
【解答】解：根据对称性不妨设P为上顶点，则根据题意可得：
Q在第一象限，且|F2Q|＝|F1P|＝a，∠PF1O＝∠QF2x，
设∠PF6O＝∠QF2x＝θ，则csθ＝，
∴，
，
∴Q（，），又Q在椭圆C：上，
∴，∴，∴e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．
（1）求边AC所在直线的方程；
（2）判断△ABC的形状．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的点斜式方程，即可求解；
（2）结合直线垂直的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）A（﹣1，1），2）．
则，
故直线AC的方程为：，化简可得：x+3y﹣2＝2．
（2）B（3，3），4），
则kBC＝3，则kAC•kBC＝﹣1，
所以△ABC是直角三角形：
又，，则|AC|＝|BC|，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
18．（10分）已知圆M的方程为x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0，点P（3，m）在圆M内．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求过点Q（1，0）且与圆M相切的直线l的方程．
【分析】（1）利用点P（3，m）在圆内，得出MP|＜r，求解即可；
（2）斜率不存在时，则x＝1，符合题意；斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1），由，解得即可．
【解答】解：（1）因为x2+y2﹣2x﹣8y+21＝0，
所以（x﹣3）2+（y﹣4）7＝4，
即圆心为M（3，2），
因为点P（3，m）在圆内，
所以，MP|＜r，
即（3﹣3）2+（m﹣4）3＜22，
解得6＜m＜6，
所以m的取值范围为（2，4）．
（2）由题可知，切线经过点Q（1，
当切线的斜率不存在时，设圆M的切线方程为：x＝1；
当切线的斜率存在时，设圆M的切线方程为y＝k（x﹣8），
由，解得，
所以切线方程为，即3x﹣5y﹣3＝0，
综上所述：圆M的切线方程为x＝4或3x﹣4y﹣7＝0．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
19．（10分）已知双曲线C：的右焦点F2与抛物线y2＝8x的焦点重合．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求△ABF1的周长．
【分析】（1）由题意，根据抛物线的焦点坐标得到c的值，结合a，b，c之间的关系求出a的值，进而可得双曲线的方程；
（2）先得到直线AB的方程，设出直线AB的方程，将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及双曲线的定义再进行求解即可．
【解答】解：（1）易知抛物线y2＝8x的焦点坐标为（8，0），
因为双曲线C：的右焦点F2与抛物线y4＝8x的焦点重合，
所以c＝2，
因为a4+2＝4，
所以a3＝2，
则双曲线C的方程为；
（2）因为斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为，
不妨设A（x1，y6），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣6x+5＝0，
由韦达定理得x1+x5＝6，x1x3＝7，
所以|AB|＝
＝＝4，
又，
则△ABF3的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|＝5＝．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（10分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m），且|AF|＝3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G（﹣1，0），过点F的直线交抛物线于C、D两点，求证：∠CGF＝∠DGF．
【分析】（1）由抛物线定义可得：|AF|＝2+＝3，解得p，即可得抛物线E的方程；
（2）设直线CD的方程为x＝ty+1，，，联立直线CD和抛物线的方程可得y1•y2＝﹣4，又G（﹣1，0），可计算得kGC+kGD＝0，即可证明∠CGF＝∠DGF．
【解答】（1）解：由题意及抛物线定义可得：|AF|＝，
解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝2x．
（2）证明：设直线CD的方程为x＝ty+1，，，
由，得y2﹣4ty﹣4＝0，
∴y1•y6＝﹣4，
∵点G（﹣1，5），
∴kGC+kGD＝＝＝0，
∴kGC＝﹣kGD，故∠CGF＝∠DGF．
【点评】本题主要考查抛物线的定义及其性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆M：的离心率为，且过点（斜率不为0）与椭圆M分别交于C、D两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）记椭圆M的左、右顶点分别为A，B，△ABC和△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
【分析】（1）由题意列出方程，求出a，b的值，求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得A，B，F的坐标，设直线CD的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，求出两个三角形的面积之差的绝对值，分参数为0和不为0两种情况讨论，再由基本不等式的的性质，可得面积之差的绝对值的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知，解得a＝6，，
所以椭圆M的方程为：+＝5；
（2）由（1）知，A（﹣2，B（2，右焦点F（5，且斜率不为0，
由题意设直线CD的方程为x＝ty+1，C（x5，y1），D（x2，y7），
由，整理可得：（3t2+5）y2+6ty﹣6＝0，
因为Δ＞0，且，
所以|S3﹣S2|＝|AB|•||y1|﹣|y2||＝×4×|y8+y2|＝2•||，
当t＝0时，|S1﹣S7|＝0，
当t≠0时，，当且仅当时．
综上所述，|S4﹣S2|的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/5 9:03:53；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359