安徽省安庆市怀宁县高河中学2023-2024学年高二上册第三次月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省安庆市怀宁县高河中学2023-2024学年高二上册第三次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（ ）
A．B．
C．D．
2．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)
3．在数列中，已知，，且，则
A．-6B．6
C．-3D．3
4．过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
5．已知圆的方程，若抛物线过点且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
6．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A．B．2
C．3D．6
7．如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有
A．13项B．12项C．11项D．10项
8．如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线：与直线：之间的距离为2，则（ ）
A．3B．13C．D．7
11．已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
12．设数列的前和为，则关于数列下列说法正确的是（ ）
A．若则既是等差数列又是等比数列
B．若（，），则是等差数列
C．，，成等差数列的充要条件是
D．若是等差数列，则，，（）也成等差数列
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．等差数列5，8，11，…与等差数列3，8，13，…都有100项，那么这两个数列相同的项共有 项．
14．若直线3x＋4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .
15．等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为 ．
16．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
四、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分）
17．如果以，（），试写出数列的前3项，并猜想出它的一个通项公式．
18．如图，正方体中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
19．双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
20．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D-PC-A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离.
21．已知数列的前项和为，首项为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
22．已知椭圆的焦距为4，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值.
参考答案与解析
1．B
【分析】由直线平面，从而可知，设从而进行计算求解，即可得到答案.
【解答】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以，
又因为是单位向量，所以，解得，
所以，故B正确.
故选：B.
2．B
【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【解答】联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
3．C
【解析】根据题设条件，得到数列是以6项为周期的数列，其中，再由，即可求解.
【解答】由题意，数列中，，，且，
可得，
可得数列是以6项为周期的数列，其中，
所以.
故选：C.
【点评】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．C
【分析】根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论.
【解答】设，则.
对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴.
过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点.
若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条.
若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条.
故满足的直线有条.
故选：C
【点评】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.
5．C
【分析】设出切线方程,表示出圆心到切线的距离求得和的关系,设出焦点坐标,根据抛物线的定义求得点到准线的距离等于其到焦点的距离,然后两式平方后分别相加和相减,联立后求得和的关系式.
【解答】设切线,圆心到切线距离等于半径切线，
，，，
设抛物线的焦点坐标为，由抛物线定义得 ①，
②，
①②平方相加得:③，
①②平方相减得: ④,
④代入③得
即:
依题意焦点不能与共线，，
故抛物线的焦点轨迹方程为
故选：C.
6．A
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【解答】双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.
答案：A
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
7．A
【解答】试题分析：设这个数列有n项，则，因此
即，则，故；
考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n项和公式；
8．A
【解答】棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D点坐标为，选A.
9．AC
【分析】先求出直线与两坐标轴的交点坐标，再依次判断四个选项的焦点坐标和顶点坐标，得到答案.
【解答】中令得，令得，
故与两坐标轴的交点坐标为，
A选项，的两焦点坐标为，又为一个顶点，A正确；
B选项，的两焦点坐标为，B错误；
C选项，的两焦点坐标为，且为一个顶点，C正确；
D选项，的两焦点坐标为，D错误.
故选：AC
10．BC
【分析】根据两平行线距离公式列出方程，求出答案.
【解答】，解得或13.
故选：BC
11．BCD
【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式求出，得到直线方程，进而求出，计算出，得到答案.
【解答】圆的圆心为，半径为2，
故到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，
即，解得，
则点在直线，
故，
则，
故A错误，BCD正确.
故选：BCD
12．BCD
【分析】根据等差数列和等比数列定义及知识可对A判断；由可求出从而对B判断；利用等差数列的性质及定义可对C判断；利用等差数列前项和可对D判断.
【解答】对A：当时，，数列为等差数列但不是等比数列，故A错误；
对B：由，当时，，
当时，，
当时也适用，所以，满足为常数，故B正确.
对C：充分性：当为等差数列，则，得，
必要性：当时，得，从而得，即为等差数列，
所以为等差数列的充要条件是，故C正确.
对于D：数列为等差数列，则设首项为，公差为，，
则，，，
则，，故D正确.
故选：BCD.
13．20
【分析】由题意分别求出两数列的通项公式分别为，，然后求出它们共同项的数列，从而求解.
【解答】由题意知第一个数列的首项为，公差为，所以通项公式为，
第二个数列的首项为，公差为，所以通项公式为，
设它们共有多少相同的项形成数列，
则数列为等差数列，公差为，
所以，
又，，所以，
所以，又因为，所以，即数列共有项.
故答案为：.
14．
【解答】试题分析：因为，直线3x＋4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，所以，圆心（1，－2）到直线的距离大于半径1.即，
解得，实数m的取值范围是．
考点:直线与圆的位置关系，绝对值不等式解法．
点评：小综合题，题目虽小，但考查知识内容丰富，注意利用数形结合思想，明确“圆心到直线的距离大于半径“.
15．1200
【分析】由等差数列前项和性质可得成等差数列，列方程可得.
【解答】因为是等差数列，
则成等差数列，成等差数列，
即，解得.
故答案为：.
16．16
【解析】设出直线方程为，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长，用，代替得弦长，求出，用基本不等式求得最小值．
【解答】由题意抛物线焦点为，
显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，
由，得，所以，，
，
同理可得．
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：16．
【点评】关键点点评：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得，然后由弦长公式求得弦长．
17．，，，，理由见解析
【分析】根据，（）求出，，，并猜想出通项公式，并进行证明.
【解答】，（），
，即，解得，
同理可得：，，
猜想，理由如下：
变形为，（）,
由递推式及可得，
两边同除以得，
故是以首项为，公差为2的等差数列，
故，故.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；
（2）取中点O，连接OF，OA，则为异面直线与EF所成角，由余弦定理，可得结论；
【解答】（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2，
∵F为BCC1B1中心，E为AB中点，
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=，
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH，
∴，
所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为．
（2）取中点O，连接OF，OA，
则OF∥AE，且OF=AE，
∴四边形AEFO为平行四边形，∴AO∥EF，
∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角，
∵，
∴△AOA1中，由余弦定理得，
异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）设双曲线的方程为，利用焦点坐标可求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设，根据可得，联立直线方程和双曲线方程，消去后利用韦达定理化简后可求得斜率的值.
【解答】（1）设双曲线的方程为，则，
故，故双曲线的方程是.
（2）由，得，
由，且得，且，
设，因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，又，
所以，
所以解得.
【点评】本题考查双曲线方程的求法以及直线和双曲线位置关系中的参数的计算，前者注意方程形式的合理假设，后者注意利用韦达定理对目标代数式合理变形化简，本题属于中档题.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件证明，再利用线面垂直的判定推理作答.
（2）在平面内作，以点A为原点建立空间直角坐标系，由已知求出点P的坐标，再借助空间向量求距离作答.
【解答】（1）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，平面，则，
而，即，又，平面，
所以平面.
（2）在平面内作，由PA⊥底面ABCD可得两两垂直，
以射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，即是正三角形，
，而，则，设点，
，令平面的一个法向量，
则，令，得，由（1）知平面的法向量，
因二面角D-PC-A的余弦值为，则，
解得，则，，令平面的一个法向量，
则，令，得，又，
所以点A到平面PBC的距离.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，所以当时，，然后两式相减整理可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，然后写出通项公式；
（2）将数列的通项公式代入，得出，然后求和.
【解答】解：（1）数列的前项和为，首项为，且，，成等差数列.
所以①，当时，解得.
当时②
①﹣②得：，整理得（常数）
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由于，所以，整理得，
所以.
【点评】本题考查利用递推关系式求数列的通项公式，考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式应用，难度一般.
22．（1）（2）
【分析】（1）根据题意列关于a，b的方程即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理可得的面积，借助均值不等式即可得到面积的最大值.
【解答】解：（1）由已知可得，，，．
，
从而有，．
所以椭圆的方程为：．
（2）因为直线，，所以直线的斜率．
设直线的方程为，，，
由得，，
因为，所以．
，．
．
到直线的距离.
的面积，
当且仅当，即时取“＝”号．
所以面积的最大值是．
【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.