专题21 导数新定义问题（原卷及解析版）

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1．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）．
A．B．C．D．
5．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数在区间上的导函数为，记在区间上的导函数为.若函数在区间上为“凸函数”，则在区间上有恒成立.已知在上为“凸函数”，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在上单调递减，则称为函数，下列函数中为函数的是（ ）
A．B．C．D．
11．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ）
A．B．C．D．
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A．函数有3个不动点
B．函数至多有两个不动点
C．若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D．若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）
三、填空题
13．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.其定理表述如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式成立，其中称为函数在闭区间上的中值点，函数在闭区间上的中值点为________
14．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是_____.
15．对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.
16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．
四、解答题
17．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值





18．设是函数的导函数，我们把使的实数x叫做函数的好点.已知函数，
（1）若0是函数的好点，求a；
（2）若当时，函数无好点，求a的取值范围.


19．已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.





20．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；
（2）若函数在上有极值，求的取值范围．




21．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.
（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当时，.





22．定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．