新高考数学二轮专题《导数》第21讲 导数解答题之隐零点问题（2份打包，解析版+原卷版）

第21讲 导数解答题之隐零点问题

1．设函数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若，为整数，且当时，，求的最大值．

【解析】解：（Ⅰ），，，，，

函数的图象在点处的切线方程为．

（Ⅱ），．

若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．

若，则当时，，当时，，

所以，在区间上单调递减，在上单调递增．

由于，所以，．

故当时，．①

令，则．

函数在上单调递增，而（1），（2）．

所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．

设此零点为，则．当时，；当时，；

所以，在上的最小值为．由，可得，

所以，，．由于①式等价于．

故整数的最大值为2．

2．已知函数．

（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明．

【解析】（Ⅰ）解：，是的极值点，，解得．

所以函数，其定义域为．

．

设，则，所以在上为增函数，

又，所以当时，，即；当时，，．

所以在上为减函数；在上为增函数；

（Ⅱ）证明：当，时，，故只需证明当时．

当时，函数在上为增函数，且，．

故在上有唯一实数根，且．

当时，，当，时，，

从而当时，取得最小值．

由，得，．

故．

综上，当时，．

3．已知函数．

（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；

（2）当为奇函数时，证明：恒成立．

【解析】（1）解：，是的极值点，

，解得．

函数，其定义域为．

设，则，

在上为增函数，

又，

当时，，即；当时，，．

在上为减函数；在上为增函数；

（2）证明：，

为奇函数，

，

即，

解得，

，

则在上单调递增，

，，

在存在唯一实数根，且，

当时，，，时，，

当时，函数取得最小值，

，即，

，

．

4．已知函数．

（Ⅰ）设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：．

【解析】解：，

由题意可得，，解可得，

，

令，则，

故在上单调递增且，

当时，即，函数单调递增，

当时，即，函数单调递减，

（Ⅱ）证明：（2）令，则在上单调递增，

因为，，

所以在存在唯一实数根，且，

当时，，，时，，

当时，函数取得最小值，

因为，即，

故，

所以．

5．已知函数

（Ⅰ）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

【解析】解：（Ⅰ）由函数的定义域，

因为，是的极值点，

所以（1），所以，

所以，

因为和，在上单调递增，

所以在上单调递增，

当时，；时，，

此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，

（Ⅱ）证明：当时，，

设，则，

因为和，在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为（1），（2），

所以存在使得，

所以在上使得，在，上，

所以在单调递减，在，上单调递增，

所以，

因为，即，

所以，

所以，

因为，所以，

所以．

6．已知函数在上有两个极值点，，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：当 时，．

【解析】（1）解：，

，由题意知方程在上有两不等实根，

设，其图象的对称轴为直线，

故有，解得．

（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，，

由于，，

．

设，，，

，

在，递增，

，即成立．

7．已知函数，其中．

（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．

【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，

，

．

当时，在上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在上单调递增．

（Ⅱ）由，解得，

令，

则（1），（e）．

故存在，使得．

令，，

由知，函数在上单调递增．

．

即，

当时，有，．

由（Ⅰ）知，在上单调递增，

故当时，，从而；

当，时，，从而．

当时，．

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．

8．已知，函数，是的导函数，

（Ⅰ）当时，求证：存在唯一的，，使得；

（Ⅱ）若存在实数，，使得恒成立，求的最小值．

【解析】（Ⅰ）证明：，，（1分）

当时，，函数在上的单调递增，（2分）

又，，（3分）

存在唯一的，，使得；（4分）

（Ⅱ）解：（1）当时，则当时，，

即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；（5分）

（2）当，由，得，；（6分）

（3）当，由（Ⅰ）知当时，；当，时，；

即在上单调递减，在，上单调递增，（7分）

的最小值为，（8分）

其中满足，故且，

恒成立，，

即，于是，（9分）

记，，

则，（10分）

由得，即函数在上单调时递减，

由得，即函数在上单调递增，

，

综上得的最小值为，此时．