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陕西省西安市西咸新区秦汉中学2021-2022学年上学期八年级入学数学试卷(word版含答案)
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这是一份陕西省西安市西咸新区秦汉中学2021-2022学年上学期八年级入学数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了，2020年1月12日被世命名等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）
入学数学试卷
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
2．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
4．（3分）张大伯有事想打电话，但由于年龄的缘故，电话号码（萧山区的家庭电话号码是8位）中有一个数字记不起来了，只记得8899*179那么他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
6．（3分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若x+y＝3，则（x﹣y）2+4xy﹣1的值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
8．（3分）如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2019，则线段NM的长为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.00000025用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，若∠EDC＝40°，则∠AEC＝ ．
11．（3分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 ．
12．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1与2﹣a，则这个正数是 ．
13．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为 ．
三.解答题（共13小题，满分81分）
14．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
15．（4分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n），其中m＝﹣1，n＝4．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
16．（4分）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
17．（4分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
19．（5分）有一个周长为40cm的正方形，从四个角各剪去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面积为ycm2，剪去的正方形的边长为xcm，求y与x的函数关系式．
20．（6分）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
22．（7分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
23．（8分）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
（1）BC+AD（D为BC的中点）；
（2）OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．假设等边三角形的边长为2a，要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
24．（8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
25．（8分）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
26．（10分）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
2021-2022学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）
入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项不合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项符合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为90°的选项即可得出结论．
【解答】解：A、设∠C＝2x，则∠B＝3x，∠A＝6x，
∴2x+3x+6x＝180°，
∴x＝°，
∴最大的角∠A＝6x＝°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，选项A符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180°，
∴最大角＝180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项C不符合题意；
D、设∠A＝2y，则∠B＝3y，∠C＝5y，
∴2y+3y+5y＝180°，
∴y＝18°，
∴最大角∠C＝5y＝5×18°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键．
4．（3分）张大伯有事想打电话，但由于年龄的缘故，电话号码（萧山区的家庭电话号码是8位）中有一个数字记不起来了，只记得8899*179那么他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】所缺数字共有10种情况，只有一种正确，根据经典概率公式解答即可．
【解答】解：那个数字一定是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个，所以他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是．
故选：D．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
【分析】设BC＝x，在直角△ABC中，利用勾股定理列方程，即可求出BC的长度，用面积计算公式即可解决．
【解答】解：设BC＝x，
∵AB+BC＝8，
∴AB＝8﹣x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BC＝3，
∴S＝＝＝6，
即△ABC的面积为6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，设未知数，利用勾股定理列方程，是解决问题的关键．
6．（3分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．
【解答】解：∵小李距家3千米，
∴离家的距离随着时间的增大而增大，
∵途中在文具店买了一些学习用品，
∴中间有一段离家的距离不再增加，
综合以上C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，比较简单，了解横、纵坐标分别表示什么是解题的关键．
7．（3分）若x+y＝3，则（x﹣y）2+4xy﹣1的值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（x﹣y）2+4xy﹣1
＝x2﹣2xy+y2+4xy﹣1
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1，
当x+y＝3时，原式＝32﹣1＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
8．（3分）如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2019，则线段NM的长为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据角平分线的判定定理得到BE、CE是△ABC的角平分线，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到MB＝ME，NE＝NC，得到答案．
【解答】解：∵点E到△ABC三边的距离相等，
∴BE、CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∴BM+CN＝ME+NE＝2019，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.00000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣7 ．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000025＝2.5×10﹣7，
故答案为：2.5×10﹣7．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键在于能够正确数出小数点后的位数．
10．（3分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，若∠EDC＝40°，则∠AEC＝ 50° ．
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等的性质求出∠BED，再利用平角的定义和垂线的定义求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EDC＝∠BED＝40°，
∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED﹣∠BED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
故填50．
【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及垂线的定义．
11．（3分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 ．
【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
【解答】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为，
∴黑色三角区域的面积为：×＝5，
飞镖游戏板的面积为：25，
∴击中黑色三角形区域的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比＝几何概率．
12．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1与2﹣a，则这个正数是 9 ．
【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣a+2＝0，解方程可得a，然后再求出这个正数即可．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
则这个正数为9．
故答案是：9．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
13．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为 12﹣18 ．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接OC，OD，CD，CD分别交OA、OB于点M'、N'，连接PM'、PN'，则可得OC＝OD＝OP＝6；再证明∠COD＝60°，从而可得出△COD是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得OP⊥CD，利用三角函数求得OQ的值，由PQ＝OP﹣OQ，可得PQ的值，M'Q＝x，则PM'＝CM'＝3﹣x，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可．
【解答】解：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接OC，OD，CD，CD分别交OA、OB于点M'、N'，连接PM'、PN'，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM'＝CM'，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN'＝DN'，OP＝OD，∠DOB＝∠POB．
∴OC＝OD＝OP＝6，
∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOP+∠POB+∠BOD
＝2∠AOP+2∠POB
＝2∠AOB
＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6，
∵OP平分∠AOB，
∴∠POC＝∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ＝6sin60°＝6×＝3，
∴PQ＝6﹣3，
设M'Q＝x，则PM'＝CM'＝3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2＝，
解得x＝6﹣9．
∴M'N'＝2x＝12﹣18．
故答案为：12﹣18．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点是解题的关键．
三.解答题（共13小题，满分81分）
14．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；
（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+1×3
＝1﹣4+3
＝0；
（2）原式＝8x6y3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣56x7y5÷（14x4y3）
＝﹣4x3y2．
【点评】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
15．（4分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n），其中m＝﹣1，n＝4．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则，完全平方公式，去括号的法则对式子进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可；
（2）把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解．
【解答】解：（1）m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n）
＝m2﹣2mn+m2+2mn+n2﹣m﹣n
＝2m2+n2﹣m﹣n，
当m＝﹣1，n＝4时，
原式＝2×（﹣1）2+42﹣（﹣1）﹣4
＝2+16+1﹣4
＝15．
（2）当x+y＝3，xy＝2时，
（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（4分）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【分析】作一个角等于已知角：∠ABM＝∠ACB．
【解答】解：如图所示：
作法：以C为圆心，以任意长a为半径画弧，分别交BC和AC于E和F，同理以B为圆心，以a为半径画弧与AB相交于G，以G为圆心，以EF为半径画弧与前弧交于H，作射线BH，可得射线BM，则BM即为所求．
【点评】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，属于基础题．
17．（4分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【分析】由AF＝CD，可得出AF+FC＝CD+FC，即得AC＝DF，即可利用SSS证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出∠A＝∠D，即可判定AB∥DE．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝10，因为CD2+BD2＝82+62＝100，BC2＝100，则CD2+BD2＝BC2，则有∠D＝90°，所以S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD，代入计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝，
∵CD＝8，BD＝6，
∴CD2+BD2＝82+62＝100，
∵BC2＝100，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD
＝
＝
＝144．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，判断出∠D＝90°是解题的关键．
19．（5分）有一个周长为40cm的正方形，从四个角各剪去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面积为ycm2，剪去的正方形的边长为xcm，求y与x的函数关系式．
【分析】由题意得周长为40cm的正方形的边长为10cm．根据整体的图形的面积等于部分面积之和这一等量关系进而解决此题．
【解答】解：由题意得：周长为40cm的正方形的边长为10cm．
∴y＝102﹣4•（10﹣x）x＝4x2﹣40x+100（0＜x＜5）．
【点评】本题主要考查函数关系式，熟练掌握图形整体的面积等于部分面积之和是解决本题的关键．
20．（6分）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状；
（2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长．
【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：CA＝12米，CD＝12米，∠CAD＝90°，
可得AD＝＝＝12（米），
故△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵CA＝12米，CB＝20米，∠CAD＝90°，
∴AB＝＝＝16（m），
则BD＝AB﹣AD＝16﹣12＝4（米）．
答：船体移动距离BD的长度为4米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，
∴∠C+∠2＝∠B+∠1，
∴∠1＝∠2，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（7分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值即可；
（2）已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a与b的值，根据勾股定理求出c即可．
【解答】解：（1）已知等式变形得：（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
即（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣3，y＝3；
（2）已知等式变形得：（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）＝0，
即（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
∵（a﹣6）2≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
解得：a＝6，b＝8，
根据勾股定理得：c＝＝＝10．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．（8分）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
（1）BC+AD（D为BC的中点）；
（2）OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．假设等边三角形的边长为2a，要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
【分析】要判断那种方案铺设的光缆长度最短需要先求出两种方案所需要的铺设的光缆长度，然后比较可得．
【解答】解：设△ABC是等边三角形边长为2a，
方案（1）：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2a，∠ABC＝60°，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝a，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∴BC+AD＝2a+a，
方案（2）：
∵O为△ABC三边的垂直平分线的交点，
∴∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴BO＝2DO，
在Rt△ABD中，BO2﹣DO2＝BD2，
∴BO＝a，
同理可得OA＝OC＝a，
∴OA+OB+OC＝2a＝a+a，
∵2a+a＞a+a，
∴BC+AD＞OA+OB+OC，
∴选择第（2）中方案．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质．
24．（8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；
（2）拼成的是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得答案；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积等于边长为a，与边长为b的正方形的面积差，即：a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①原式＝（n+1）2﹣m2
＝n2+2n+1﹣m2；
②原式＝（1000+3）×（1000﹣3）
＝10002﹣32
＝1000000﹣9
＝999991．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用不同方法表示图形的面积是解决问题的前提，理解拼图前后各部分之间的关系是解决问题的关键．
25．（8分）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【分析】（1）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
（2）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：（1）分三种情况：
把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
＜，
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是cm；
（2）如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+3＝12（cm），
A′B＝＝＝13（cm）．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
26．（10分）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ 50° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ 20° ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【分析】（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．
【解答】解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为50°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为20°；
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝40°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵，
∴，
∴∠BOD＝15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝∠BOD﹣40°，
∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵，
∴，
∴∠BOD＝52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
【点评】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
2021-2022学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）
入学数学试卷
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
2．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
4．（3分）张大伯有事想打电话，但由于年龄的缘故，电话号码（萧山区的家庭电话号码是8位）中有一个数字记不起来了，只记得8899*179那么他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
6．（3分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若x+y＝3，则（x﹣y）2+4xy﹣1的值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
8．（3分）如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2019，则线段NM的长为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.00000025用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，若∠EDC＝40°，则∠AEC＝ ．
11．（3分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 ．
12．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1与2﹣a，则这个正数是 ．
13．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为 ．
三.解答题（共13小题，满分81分）
14．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
15．（4分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n），其中m＝﹣1，n＝4．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
16．（4分）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
17．（4分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
19．（5分）有一个周长为40cm的正方形，从四个角各剪去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面积为ycm2，剪去的正方形的边长为xcm，求y与x的函数关系式．
20．（6分）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
22．（7分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
23．（8分）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
（1）BC+AD（D为BC的中点）；
（2）OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．假设等边三角形的边长为2a，要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
24．（8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
25．（8分）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
26．（10分）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
2021-2022学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）
入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项不合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项符合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为90°的选项即可得出结论．
【解答】解：A、设∠C＝2x，则∠B＝3x，∠A＝6x，
∴2x+3x+6x＝180°，
∴x＝°，
∴最大的角∠A＝6x＝°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，选项A符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180°，
∴最大角＝180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项C不符合题意；
D、设∠A＝2y，则∠B＝3y，∠C＝5y，
∴2y+3y+5y＝180°，
∴y＝18°，
∴最大角∠C＝5y＝5×18°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键．
4．（3分）张大伯有事想打电话，但由于年龄的缘故，电话号码（萧山区的家庭电话号码是8位）中有一个数字记不起来了，只记得8899*179那么他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】所缺数字共有10种情况，只有一种正确，根据经典概率公式解答即可．
【解答】解：那个数字一定是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个，所以他随意拨了一个数码补上，恰好打通的概率是．
故选：D．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
【分析】设BC＝x，在直角△ABC中，利用勾股定理列方程，即可求出BC的长度，用面积计算公式即可解决．
【解答】解：设BC＝x，
∵AB+BC＝8，
∴AB＝8﹣x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BC＝3，
∴S＝＝＝6，
即△ABC的面积为6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，设未知数，利用勾股定理列方程，是解决问题的关键．
6．（3分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．
【解答】解：∵小李距家3千米，
∴离家的距离随着时间的增大而增大，
∵途中在文具店买了一些学习用品，
∴中间有一段离家的距离不再增加，
综合以上C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，比较简单，了解横、纵坐标分别表示什么是解题的关键．
7．（3分）若x+y＝3，则（x﹣y）2+4xy﹣1的值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（x﹣y）2+4xy﹣1
＝x2﹣2xy+y2+4xy﹣1
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1，
当x+y＝3时，原式＝32﹣1＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
8．（3分）如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2019，则线段NM的长为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据角平分线的判定定理得到BE、CE是△ABC的角平分线，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到MB＝ME，NE＝NC，得到答案．
【解答】解：∵点E到△ABC三边的距离相等，
∴BE、CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∴BM+CN＝ME+NE＝2019，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.00000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣7 ．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000025＝2.5×10﹣7，
故答案为：2.5×10﹣7．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键在于能够正确数出小数点后的位数．
10．（3分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，若∠EDC＝40°，则∠AEC＝ 50° ．
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等的性质求出∠BED，再利用平角的定义和垂线的定义求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EDC＝∠BED＝40°，
∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED﹣∠BED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
故填50．
【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及垂线的定义．
11．（3分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 ．
【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
【解答】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为，
∴黑色三角区域的面积为：×＝5，
飞镖游戏板的面积为：25，
∴击中黑色三角形区域的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比＝几何概率．
12．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1与2﹣a，则这个正数是 9 ．
【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣a+2＝0，解方程可得a，然后再求出这个正数即可．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
则这个正数为9．
故答案是：9．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
13．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为 12﹣18 ．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接OC，OD，CD，CD分别交OA、OB于点M'、N'，连接PM'、PN'，则可得OC＝OD＝OP＝6；再证明∠COD＝60°，从而可得出△COD是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得OP⊥CD，利用三角函数求得OQ的值，由PQ＝OP﹣OQ，可得PQ的值，M'Q＝x，则PM'＝CM'＝3﹣x，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可．
【解答】解：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接OC，OD，CD，CD分别交OA、OB于点M'、N'，连接PM'、PN'，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM'＝CM'，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN'＝DN'，OP＝OD，∠DOB＝∠POB．
∴OC＝OD＝OP＝6，
∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOP+∠POB+∠BOD
＝2∠AOP+2∠POB
＝2∠AOB
＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6，
∵OP平分∠AOB，
∴∠POC＝∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ＝6sin60°＝6×＝3，
∴PQ＝6﹣3，
设M'Q＝x，则PM'＝CM'＝3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2＝，
解得x＝6﹣9．
∴M'N'＝2x＝12﹣18．
故答案为：12﹣18．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点是解题的关键．
三.解答题（共13小题，满分81分）
14．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；
（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+1×3
＝1﹣4+3
＝0；
（2）原式＝8x6y3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣56x7y5÷（14x4y3）
＝﹣4x3y2．
【点评】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
15．（4分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n），其中m＝﹣1，n＝4．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则，完全平方公式，去括号的法则对式子进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可；
（2）把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解．
【解答】解：（1）m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n）
＝m2﹣2mn+m2+2mn+n2﹣m﹣n
＝2m2+n2﹣m﹣n，
当m＝﹣1，n＝4时，
原式＝2×（﹣1）2+42﹣（﹣1）﹣4
＝2+16+1﹣4
＝15．
（2）当x+y＝3，xy＝2时，
（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（4分）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【分析】作一个角等于已知角：∠ABM＝∠ACB．
【解答】解：如图所示：
作法：以C为圆心，以任意长a为半径画弧，分别交BC和AC于E和F，同理以B为圆心，以a为半径画弧与AB相交于G，以G为圆心，以EF为半径画弧与前弧交于H，作射线BH，可得射线BM，则BM即为所求．
【点评】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，属于基础题．
17．（4分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【分析】由AF＝CD，可得出AF+FC＝CD+FC，即得AC＝DF，即可利用SSS证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出∠A＝∠D，即可判定AB∥DE．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝10，因为CD2+BD2＝82+62＝100，BC2＝100，则CD2+BD2＝BC2，则有∠D＝90°，所以S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD，代入计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝，
∵CD＝8，BD＝6，
∴CD2+BD2＝82+62＝100，
∵BC2＝100，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD
＝
＝
＝144．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，判断出∠D＝90°是解题的关键．
19．（5分）有一个周长为40cm的正方形，从四个角各剪去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面积为ycm2，剪去的正方形的边长为xcm，求y与x的函数关系式．
【分析】由题意得周长为40cm的正方形的边长为10cm．根据整体的图形的面积等于部分面积之和这一等量关系进而解决此题．
【解答】解：由题意得：周长为40cm的正方形的边长为10cm．
∴y＝102﹣4•（10﹣x）x＝4x2﹣40x+100（0＜x＜5）．
【点评】本题主要考查函数关系式，熟练掌握图形整体的面积等于部分面积之和是解决本题的关键．
20．（6分）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状；
（2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长．
【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：CA＝12米，CD＝12米，∠CAD＝90°，
可得AD＝＝＝12（米），
故△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵CA＝12米，CB＝20米，∠CAD＝90°，
∴AB＝＝＝16（m），
则BD＝AB﹣AD＝16﹣12＝4（米）．
答：船体移动距离BD的长度为4米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，
∴∠C+∠2＝∠B+∠1，
∴∠1＝∠2，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（7分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值即可；
（2）已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a与b的值，根据勾股定理求出c即可．
【解答】解：（1）已知等式变形得：（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
即（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣3，y＝3；
（2）已知等式变形得：（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）＝0，
即（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
∵（a﹣6）2≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
解得：a＝6，b＝8，
根据勾股定理得：c＝＝＝10．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．（8分）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
（1）BC+AD（D为BC的中点）；
（2）OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．假设等边三角形的边长为2a，要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
【分析】要判断那种方案铺设的光缆长度最短需要先求出两种方案所需要的铺设的光缆长度，然后比较可得．
【解答】解：设△ABC是等边三角形边长为2a，
方案（1）：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2a，∠ABC＝60°，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝a，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∴BC+AD＝2a+a，
方案（2）：
∵O为△ABC三边的垂直平分线的交点，
∴∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴BO＝2DO，
在Rt△ABD中，BO2﹣DO2＝BD2，
∴BO＝a，
同理可得OA＝OC＝a，
∴OA+OB+OC＝2a＝a+a，
∵2a+a＞a+a，
∴BC+AD＞OA+OB+OC，
∴选择第（2）中方案．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质．
24．（8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；
（2）拼成的是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得答案；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积等于边长为a，与边长为b的正方形的面积差，即：a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①原式＝（n+1）2﹣m2
＝n2+2n+1﹣m2；
②原式＝（1000+3）×（1000﹣3）
＝10002﹣32
＝1000000﹣9
＝999991．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用不同方法表示图形的面积是解决问题的前提，理解拼图前后各部分之间的关系是解决问题的关键．
25．（8分）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【分析】（1）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
（2）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：（1）分三种情况：
把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG＝＝（cm）；
＜，
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是cm；
（2）如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+3＝12（cm），
A′B＝＝＝13（cm）．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
26．（10分）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ 50° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ 20° ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【分析】（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．
【解答】解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为50°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为20°；
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝40°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵，
∴，
∴∠BOD＝15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝∠BOD﹣40°，
∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵，
∴，
∴∠BOD＝52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
【点评】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
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