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北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）
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这是一份北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 已知集合，则， 命题“，”的否定是， 已知，，，则， “”是“”的， 函数的零点所在的一个区间为，4hB等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 当时，在同一坐标系中，函数与它反函数的图象是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的零点所在的一个区间为 （ ）
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
8. 单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A. B. C. D.
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4hB. 0.5hC. 0.7hD. 1h
10. 已知函数关于的方程.有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11. 已知角终边经过点，则__________.
12. 函数的定义域是__________.
13. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.
14. 设函数，则___________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
15. 关于函数，有下列命题，其中所有正确结论的序号是__________.
①其图象关于轴对称；
②在区间上是减函数；
③无最大值，也无最小值；
④，使得都有成立
三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16. 已知集合
（1）若时，求；
（2）若，求的取值范围.
17 计算､求值：
（1）；
（2）.
18. 完成下列两个小题
（1）已知是第三象限角，且，求的值；
（2）若，求的值.
19. 已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.
20. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
（1）判断集合与否为“和谐集”（不必写过程）；
（2）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
顺义一中2023-2024学年度第一学期高一12月月考
数学试题
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合交集的概念与运算，可得.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 当时，在同一坐标系中，函数与它反函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，结合选项，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数的反函数为，
因为，可得函数和在其定义域上为单调递减函数，
结合选项，可得选项D，符合题意.
故选：D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果
【详解】因为，，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：D
7. 函数的零点所在的一个区间为 （ ）
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理结合可得解.
【详解】函数为增函数，且，
由零点存在性定理可知函数的零点所在的一个区间为(2,3).
故选：B.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
8. 单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可出关于的等式，即可求得结果.
【详解】设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得.
故选：D.
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4hB. 0.5hC. 0.7hD. 1h
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.
【详解】由题意知，点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以，
由，可得，
所以，
解得，
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.
故选：C.
10. 已知函数关于的方程.有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数和直线的图形，由图可知且，，则，进而，有（），利用定义法证明函数在上单调递减，可得，即可求解.
【详解】作出函数和直线的图形，如图，
由图可知，，且，，
则，即，解得，
所以，
所以，，
令，则，
当时，，
所以，即，
故函数在上单调递减，所以，
所以，得，
即的取值范围为.
故选：B
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11. 已知角的终边经过点，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故，
故答案为：
12. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数以及分式的性质即可列不等式求解.
【详解】的定义域需要满足，解得且，
故答案为：
13. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，
该扇形的面积为.
故答案为：；.
14. 设函数，则___________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】(1)先求出的值，再求即得解；
(2) 作出函数的图像，再作出直线，数形结合分析即得解.
【详解】（1）由题得，所以. 所以1.
（2）作出函数的图像，再作出直线，方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为.
故答案为：1；.
15. 关于函数，有下列命题，其中所有正确结论的序号是__________.
①其图象关于轴对称；
②在区间上是减函数；
③无最大值，也无最小值；
④，使得都有成立.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、对钩函数的单调性，结合数形结合思想逐一判断即可.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故①对；
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数是偶函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；
当时，，当且仅当取等号，即时取等号，故此时，
而函数的图象关于轴对称，
所以当时，，故③不正确；
由上可得函数的图象如下图所示：
直线恒过点，
由数形结合思想可知：无论、、，都有成立，是不可能的，故④不正确，
故答案为：①②
【点睛】关键点睛：利用复合函数的单调性的性质、偶函数单调性的性质、数形结合思想是解题的关键.
三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16. 已知集合
（1）若时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据集合的交运算即可求解，
（2）根据并集的结果转化为子集关系，即可分类求解.
【小问1详解】
时，，又
所以
【小问2详解】
由可得，
当时，即，此时，显然符合题意，
当时，，解得，
综上可得或
17. 计算､求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）17 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 完成下列两个小题
（1）已知是第三象限角，且，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）是第一象限角时，，是第三象限角时，，
【解析】
【分析】（1）根据同角平方和关系即可求解，
（2）根据弦切互化结合同角平方关系即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由于是第三象限角，所以，故
【小问2详解】
由可知：是第一象限或者第三象限角，
，又，
当是第一象限角时，，
当是第三象限角时，，
19. 已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围.
【小问1详解】
函数定义域为，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
函数在上单调递减.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则
因为在上单调递增，且，所以，
又，所以，
所以函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
由得
，
即，
由（2）可知,函数在上单调递减，
所以，
即，解得或，
所以取值范围为.
20. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
【答案】（1），
（2）x为30时，y取最大值为1215
（3）
【解析】
【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；
（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；
（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
（2）由（1），，又，
所以，
当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当为30时，取最大值为1215.
（3）养殖池的面积不小于1015平方米即
所以，解得
故的取值范围为.
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
（1）判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
（2）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】（1）不是“和谐集”，不是“和谐集”
（2）证明见解析 （3）7
【解析】
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
【小问1详解】
对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
【小问2详解】
设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
【小问3详解】
由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数最小值为7
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 当时，在同一坐标系中，函数与它反函数的图象是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的零点所在的一个区间为 （ ）
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
8. 单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A. B. C. D.
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4hB. 0.5hC. 0.7hD. 1h
10. 已知函数关于的方程.有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11. 已知角终边经过点，则__________.
12. 函数的定义域是__________.
13. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.
14. 设函数，则___________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
15. 关于函数，有下列命题，其中所有正确结论的序号是__________.
①其图象关于轴对称；
②在区间上是减函数；
③无最大值，也无最小值；
④，使得都有成立
三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16. 已知集合
（1）若时，求；
（2）若，求的取值范围.
17 计算､求值：
（1）；
（2）.
18. 完成下列两个小题
（1）已知是第三象限角，且，求的值；
（2）若，求的值.
19. 已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.
20. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
（1）判断集合与否为“和谐集”（不必写过程）；
（2）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
顺义一中2023-2024学年度第一学期高一12月月考
数学试题
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合交集的概念与运算，可得.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 当时，在同一坐标系中，函数与它反函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，结合选项，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数的反函数为，
因为，可得函数和在其定义域上为单调递减函数，
结合选项，可得选项D，符合题意.
故选：D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果
【详解】因为，，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：D
7. 函数的零点所在的一个区间为 （ ）
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理结合可得解.
【详解】函数为增函数，且，
由零点存在性定理可知函数的零点所在的一个区间为(2,3).
故选：B.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
8. 单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可出关于的等式，即可求得结果.
【详解】设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得.
故选：D.
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4hB. 0.5hC. 0.7hD. 1h
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.
【详解】由题意知，点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以，
由，可得，
所以，
解得，
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.
故选：C.
10. 已知函数关于的方程.有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数和直线的图形，由图可知且，，则，进而，有（），利用定义法证明函数在上单调递减，可得，即可求解.
【详解】作出函数和直线的图形，如图，
由图可知，，且，，
则，即，解得，
所以，
所以，，
令，则，
当时，，
所以，即，
故函数在上单调递减，所以，
所以，得，
即的取值范围为.
故选：B
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11. 已知角的终边经过点，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故，
故答案为：
12. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数以及分式的性质即可列不等式求解.
【详解】的定义域需要满足，解得且，
故答案为：
13. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，
该扇形的面积为.
故答案为：；.
14. 设函数，则___________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】(1)先求出的值，再求即得解；
(2) 作出函数的图像，再作出直线，数形结合分析即得解.
【详解】（1）由题得，所以. 所以1.
（2）作出函数的图像，再作出直线，方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为.
故答案为：1；.
15. 关于函数，有下列命题，其中所有正确结论的序号是__________.
①其图象关于轴对称；
②在区间上是减函数；
③无最大值，也无最小值；
④，使得都有成立.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、对钩函数的单调性，结合数形结合思想逐一判断即可.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故①对；
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数是偶函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；
当时，，当且仅当取等号，即时取等号，故此时，
而函数的图象关于轴对称，
所以当时，，故③不正确；
由上可得函数的图象如下图所示：
直线恒过点，
由数形结合思想可知：无论、、，都有成立，是不可能的，故④不正确，
故答案为：①②
【点睛】关键点睛：利用复合函数的单调性的性质、偶函数单调性的性质、数形结合思想是解题的关键.
三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16. 已知集合
（1）若时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据集合的交运算即可求解，
（2）根据并集的结果转化为子集关系，即可分类求解.
【小问1详解】
时，，又
所以
【小问2详解】
由可得，
当时，即，此时，显然符合题意，
当时，，解得，
综上可得或
17. 计算､求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）17 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 完成下列两个小题
（1）已知是第三象限角，且，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）是第一象限角时，，是第三象限角时，，
【解析】
【分析】（1）根据同角平方和关系即可求解，
（2）根据弦切互化结合同角平方关系即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由于是第三象限角，所以，故
【小问2详解】
由可知：是第一象限或者第三象限角，
，又，
当是第一象限角时，，
当是第三象限角时，，
19. 已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围.
【小问1详解】
函数定义域为，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
函数在上单调递减.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则
因为在上单调递增，且，所以，
又，所以，
所以函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
由得
，
即，
由（2）可知,函数在上单调递减，
所以，
即，解得或，
所以取值范围为.
20. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
【答案】（1），
（2）x为30时，y取最大值为1215
（3）
【解析】
【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；
（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；
（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
（2）由（1），，又，
所以，
当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当为30时，取最大值为1215.
（3）养殖池的面积不小于1015平方米即
所以，解得
故的取值范围为.
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
（1）判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
（2）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】（1）不是“和谐集”，不是“和谐集”
（2）证明见解析 （3）7
【解析】
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
【小问1详解】
对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
【小问2详解】
设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
【小问3详解】
由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数最小值为7
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