2024年中考数学相似三角形专题训练-基础训练（一）（文字版，试题+解析）

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【答案】（1）.解：
①证明：∵∠ABC=∠ACD，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD；
②∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，即
AC2=AD⋅AB=1×(1+3)=4，
∴AC=2；
解：由题意，∵AB=2AC=2AD，
∴ABAC=ACAD=2.
∵∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴ABAC=BCCD=2.
∵CD=2，
∴BC=22.
2．【答案】（1）解：∵DE∥AC，
∴∠DEF=∠ACB，
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠ABC，
∴△DEF∽△ACB；
（2）解：∵△DEF∽△ACB，
∴DEAC=DFAB=EFBC=15，
设DF=x，则AB=5x，
∵点M为AB的中点，
∴BM=12AB=2.5x，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CMB，
∴CFCB=DFBM=25，
∴CE=EF=15BC，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BNC，
∴CNDE=CBBE=54，
∴CN=54，
∴AN=AC-CN=154.
3．【答案】（1）解：∵AB绕点A逆时针旋转至AE，四边形ABCD为正方形，
∴AB=AE=AD，∠BAD=90°
∴2∠AEB+2∠AED=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
∴∠BED=135°；
（2）证明：∵∠BED=135°，DF⊥BE，
∴∠DEF=∠EDF=45°
∴DE=2DF，
∵正方形ABCD，
∴∠BDC=45°，BD=2CD，
∵∠EDF=45°，
∴∠BDE=∠CDF，BDCD=DEDF
∴△BED∽△CFD；
（3）解：当∠ECF=90°，​BE=4105；
当∠CEF=90°，BE=855.
4．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠BCD，
由对称知，∠DFG=∠BCD，
∴∠A=∠DFG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠AFD=∠FDG，
∴△DFG∽△FAD；
（2）解：由翻折知：DC=DF=5，
∵△DFG∽△FAD，
∴DGDF=DFAF=FGAD，即DG5=53=FG5，
∴DG=253=FG，
∴CG=DG−DC=103，
∵AB=5，AF=3，
∴BF=2，
∵CG//BF，
∴△CGE∽△BFE，
∴CEBE=CGBF=1032=53，
∴CE=53BE，
∵CE+BE=BC=5，
∴83BE=5，
∴BE=158．
5．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABC、∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，
∴∠ABC=∠DAB+∠D，∠ACB=∠EBC+∠E，
∵∠DAB=∠EBC，
∴∠D=∠E．
又∠DBF=∠EBC，
∴△DBF∽△EBC．
（2）证明：∵∠DBF=∠EBC，∠DAB=∠EBC，
∴∠DBF=∠DAB．
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB，
∴DBDA=DFDB，
即DB2=DA⋅DF．
在△ADB和△BEC中，
∠D=∠E∠DAB=∠EBCAB=BC，
∴△ADB≌△BEC(AAS)，
∴BD=EC，
∴EC2=DF⋅DA．
6．【答案】（1）证明：∵BE//AD，AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵∠C=90°，BC=3，CE=4，
∴BE=BC2+CE2=32+42=5，
∵四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF=∠AFE=90°，AB=EF=6，
∴∠BEC+∠FED=90°，∠EFD=90°，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠CBE=∠FED，
∵∠EFD=∠C=90°，
∴△BCE∽△EFD，
∴BEDE=BCEF，
即5DE=36，
∴DE=10．
7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠HAB=∠ABC，
∵点G是AB的中点，
∴AG=BG，
∵∠AGH=∠BGC，
∴△AGH≌△BGC(AAS)；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=60°，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠ABD=12∠ABC=30°，
∴∠AOB=90°，
∴AO=12AB=3，
∴BO=AB2−AO2=62−32=33，
∴BD=2BO=63；
（3）解：∵△APH为直角三角形，
∴AP⊥AD，
∴∠DAP=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB=12∠ADC=30°，AD=AB=6，AD∥BC，
∴AP=12PD，
∵AP2+AD2=PD2，即(12PD)2+62=PD2，
∴PD=43，AP=23，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−60°=120°，
∴∠BAP=∠BAD−∠PAD=120°−90°=30°=∠ABP，
∴BP=AP=23，
∵AD∥BC，
∴△BPC∽△DPH，
∴DPBP=HPPC，
∴HPPC=4323=2；
（4）解：∠CGN的度数是定值，
如图，取BC的中点H，连接OH、HM、NC，
，
∵MN是CG的垂直平分线，
∴GN=CN，GM=CM，
∴∠NGC=∠GCN，
∵点H是BC的中点，GM=CM，
∴MH∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AC⊥BD，∠CBO=12∠ABC=30°，
∵点H是BC的中点，AO=CO，
∴OH∥AB，
∴点M、点H、点O三点共线，
∵点H是BC的中点，AC⊥BD，
∴HO=HB=CH，
∴∠CBO=∠BOH=30°，
∵∠COB=∠NMC=90°，
∴∠CON+∠NMC=180°，
∴点O、点C、点M、点N四点共圆，
∴∠BOH=∠NCM=30°，
∴∠CGN=∠NCM=30°．
8．【答案】（1）解：结论：△APC∽△PBD．
理由：∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB−∠CPD=120°−60°=60°，
∴∠A=∠BPD，
∴△APC∽△PBD；
（2）90
（3）解：结论：2∠APB−∠CPD=180°．
理由：∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∴∠PCA=∠PDB，
当ACPC=PDDB时，则有△APC∽△PBD，
∴∠A=∠DPB，
∵∠APC+∠DPB=∠APB−∠CPD，
∴∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB−∠CPD，
在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠APB−∠CPD+∠APB−∠CPD+∠CPD=180°，
即2∠APB−∠CPD=180°．
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠BEC，
∵CM⊥BE，
∴∠BEC+∠MCE=90°，
又∵∠BCM+∠MCE=90°，
∴∠BCM=∠BEC，
∴∠ABE=∠BCM，即∠ABM=∠NCM，
∵MN⊥AM，CM⊥BE，
∴∠AMN=∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠NMC，
∴△MAB∽△MNC；
（2）解∵点E为CD的中点，AB=CD=4，
∴CE=DE=2，
∴在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=36+4=210，
∵S△BEC=12×BC×CE=12×BE×CM，
∴2×6=210×CM，
∴CM=3105，
∵tan∠CBE=CEBC=CMBM，
∴26=3510BM，
∴BM=9105，
由(1)可知：△MNC∽△MAB，
∴NCAB=MCBM，
∴NC4=31059105，
∴NC=43，
∴BN=BC−BN=143；
（3）49
10．【答案】（1）解：解：AF=CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵四边形BGEF是正方形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∴∠ABF=∠GBC，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴AF=CG；
（2）证明：∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴BEBD=BHBE，
∴BE2=BD⋅BH，
∵BE=2BG，
∴2BG2=BH⋅BD；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=2AB，
∵四边形FBGE是正方形，
∴EB=2BF，
∴ABBD=BFBE，
∵∠ABD=∠FBE=45°，
∴∠ABF=∠EBD，
∴△ABF∽△DBE，
∴∠BAF=∠BDE，
∵∠BDC=45°，
∴∠BAF=45°．
∴F点在对角线AC上，
∴当DF垂直AF时，DF取得最小值，
即点F在BD中点位置，
∴DF的最小值为32．
11．【答案】（1）解：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠B=∠CED，
∴△ABC∼△DEC．
（2）解：由（1）得，△ABC∼△DEC，
∵S△ABC：S△DEC=4：9，
∴S△ABCS△DEC=49=(BCEC)2，
∵BC=12，
∴EC=18．
12．【答案】（1）证明：∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠AFD=90°=∠C，∠ADF+∠DAF=90°．
又∵∠ADF+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DAF，
∴△EDC∽△DAF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90°，BC=AD=2．
∵点E为BC中点，
∴CE=1，
∴DE=DC2+CE2=10．
∵△EDC∽△DAF，
∴DEAD=CEFD，即102=1FD，
∴FD=105．
∴EF=DE−DF=10−105=4105．
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠ODQ=∠OBP，∠DQO=∠BPO，
∴ΔBOP≅ΔDOQ(AAS)；
（2）解：当PQ⊥AD时，
∵AD⊥BD，
∴点P与B重合，
t=52s，
如图1，
当PQ⊥AB时，
∵∠ADB=90°，AD=3，AB=5，
∴BD=4，
∴OB=OD=12BD=2，
∵∠BPO=∠ADB=90°，∠BPO=∠ABD，
∴ΔBOP∽ΔBAD，
∴PBBD=OBAB，
∴PB4=25，
∴PB=85，
∴AP=AB−PB=5−85=175，
∴t=1710s，
综上所述：t=52或1710；
（3）解：t=910
（4）解：PQ=133或25．