中考数学一轮复习专题4.5相似三角形验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题4.5相似三角形验收卷(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了5 相似三角形验收卷，8或1或6．等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·上海金山·统考一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）下列命题：①邻边之比相等的两个平行四边形相似；②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等；③边长相等的两个菱形相似；④任意两个正方形相似．其中真命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，点A，B，C，D的坐标分别是，，，、以C，D，E为顶点的三角形与相似，则点E的坐标不可能是( )
A．B．C．D．
6．（2023秋·九年级统考期末）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北邢台·统考一模）题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则在BC上存在2个点P，使与相似；
乙：若，则的最大值为
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形中，连接，，，垂直于的直线从点出发，按的方向平移，移动过程中，直线分别交，，于点，，，直到点与点重合，记直线的平移距离为，的面积为，则随变化的函数图象大致为( )
A．B．
C．D．
10．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若，则_________．
12．（2023秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为______．
13．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么__________．
14．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是______．
15．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么_____．
16．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先沿轴正方向平移，然后沿轴正方向平移，得到线段，连接点及其对应点，若，，则点的坐标是______．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
(1)画出绕点顺时针旋转后的；
(2)点是的中点，在（1）的条件下，的对应点的坐标为______．
(3)以点为位似中心，相似比为，在轴的上方画出放大后的．
18．（2023·山东菏泽·统考一模）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点A、点的对应点分别是点、点．
感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是______（不需要证明）；
探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果不相等，请说明理由．
19．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
20．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，连结对角线．点M为线段上的一点，点N为线段上的一点，连结．回答下列问题：
(1)当点M为的中点且时，求的长．
(2)当且时，求的长．
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
(1)若，求线段的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形的面积．
22．（2023春·广东广州·九年级统考期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是．
(1)当时，求x的值；
(2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
23．（2022春·全国·九年级专题练习）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段上，且．
（1）观察猜想
小华将绕点A逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点E时，
①的值为________；
②的度数为_______度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，设的延长线交于点F，请求出的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
专题4.5 相似三角形验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·上海金山·统考一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）下列命题：①邻边之比相等的两个平行四边形相似；②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等；③边长相等的两个菱形相似；④任意两个正方形相似．其中真命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据相似多边形的定义（如果两个边数相同的多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形）进行证明判断即可．
【详解】解：①邻边之比相等，但是角度不确定，不能证明两个平行四边形相似，是假命题，不符合题意；
②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等相似，如图所示：矩形矩形，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵矩形的四个角均为直角，
∴矩形矩形，该命题是真命题，符合题意；
③边长相等的两个菱形，由于角度不确定，不能判断两个菱形相似，是假命题，不符合题意；
④任意两个正方形相似，四个角均为直角，对应边对应成比例，是真命题，符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查相似多边形的定义及证明，熟练掌握相似多边形的定义是解题关键．
3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据得到，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
若或或都可以得到与相似，故A、B、D不符合题意，
与，不能得到与相似，
故选C．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，解题的关键是根据得到．
4．（2022秋·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M，结合位似图形的性质可得，进而得出C点横坐标．
【详解】解：过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M，
∵点A的坐标是，以点A为位似图形， 并把的边长缩小为原来的倍，
记所得的位似图形为，点C的对应点E的横坐标为a，
∴，
由，
∴，
∴，
∴，
则点C的横坐标为：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，掌握位似图形的性质，得出对应线段的长是解题关键．
5．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，点A，B，C，D的坐标分别是，，，、以C，D，E为顶点的三角形与相似，则点E的坐标不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形那个，再进行分类讨论：当时，当时．
【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别是，，，
∴，即为等腰直角三角形，
∵以C，D，E为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形那个，
当时，如图：，
当时，过点E作于点F，如图：
∵，，
∴点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：点E的坐标可能是：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形形状相同，对应边成比例．
6．（2023秋·九年级统考期末）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；
B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；
C．根据，，即可判断C错误；
D．根据，，即可判断D正确．
【详解】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C错误，符合题意；
D．∵，，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
8．（2023·河北邢台·统考一模）题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则在BC上存在2个点P，使与相似；
乙：若，则的最大值为
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错
【答案】B
【分析】（1）由与相似，，分与两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误．
【详解】解：甲：∵与相似，，
∴分与两种情况求解：
①当时，设，则，
∴，即，
解得：或，
②当时，设，则，
∴，即，
解得：，
综上所述，当，在上存在3个点P，使与相似，故甲错误；
乙：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
即，
∴，
∵，
∴当时，最大，且，故乙正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形中，连接，，，垂直于的直线从点出发，按的方向平移，移动过程中，直线分别交，，于点，，，直到点与点重合，记直线的平移距离为，的面积为，则随变化的函数图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】连结交于，勾股定理得出，分两种情况，①当在左侧时，②当在右侧时，由三角形的面积公式列出关于的函数解析式即可，
【详解】解：连结交于，
，是菱形的对角线，
，，
，
①当在左侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
当时，图象是开口向上的抛物线，且随的增大而增大；
②当在右侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
当时，图象是开口向下的抛物线，且随的增大而增大．
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积公式列出函数解析式．
10．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若．
【详解】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得．
②若，
则，
，
解得或6．
则满足条件的长为2.8或1或6．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若，则_________．
【答案】3
【分析】先设，可得，，进而得出答案．
【详解】解：∵设，
∴，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了比例的计算，掌握分式的基本性质是解题的关键．
12．（2023秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为______．
【答案】6
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵与位似，
∴，
∴，
∴
∴与的周长比为，
∵的周长为9，
∴的周长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
13．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么__________．
【答案】
【分析】根据平分，得到，再结合图形可以确定如果与相似，可能有或者两种情况，分类得到相似比代值求解即可得到结论．
【详解】解：已知四边形中，平分，
，
如果与相似，则有或者两种情况，
①当时，，
，，
，即，解得或（舍去）；
②当时，，，
，即是等腰三角形，
，
，，
，即，解得或（舍去）；
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，熟练掌握相似的性质，准确把握对与相似的表示进行分类讨论是解决问题的关键．
14．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是______．
【答案】
【分析】连接，解方程求出的长，证，根据相似三角形的性质得到DP与的关系，即可求解.
【详解】如图，连接，解方程，
得，，
即，.
，，
，
.
为半圆O的直径，
.
.
【点睛】本题是一道一元二次方程、圆、相似三角形、三角函数综合题，掌握解一元二次方程的方法，及圆的性质，相似三角形的性质及判定及三角函数的求法是关键.
15．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么_____．
【答案】3或
【分析】由于对应边不确定，所以本题应分两种情况进行讨论：①；②，分别计算即可．
【详解】解：①当时，
根据是等腰三角形，则也是等腰三角形，
则，
设，则，，根据，
得到：，得到，
解得x；
②当，
，
则，则，解得．
因而或，
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
16．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先沿轴正方向平移，然后沿轴正方向平移，得到线段，连接点及其对应点，若，，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】过点D作轴于点E，连接，根据平移的性质，可证得四边形是矩形，，，，再根据直角三角形的性质可求得，即可证得，，即可求得，，据此即可解答．
【详解】解：如图：过点D作轴于点E，连接，
点，，
，
线段平移得到线段，
， ，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
(1)画出绕点顺时针旋转后的；
(2)点是的中点，在（1）的条件下，的对应点的坐标为______．
(3)以点为位似中心，相似比为，在轴的上方画出放大后的．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可．
（3）根据位似的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵点是的中点，
点是的中点，
，，
点的坐标为
故答案为：
（3）解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图——旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
18．（2023·山东菏泽·统考一模）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点A、点的对应点分别是点、点．
感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是______（不需要证明）；
探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果不相等，请说明理由．
【答案】感知：相等；探究：相等
【分析】感知：由旋转的性质可证、是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；
探究：由旋转知，可证明，即可得到结论；
【详解】感知：将绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，，
∴、都是等腰三角形，
∴，
即，
故答案为：相等；
探究：，证明如下：
将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
19．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）根据相似列出比例式求解即可．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．
20．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，连结对角线．点M为线段上的一点，点N为线段上的一点，连结．回答下列问题：
(1)当点M为的中点且时，求的长．
(2)当且时，求的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）勾股定理求出的长，利用平行线分线段成比例，得到，即可得解；
（2）证明，列出比例式，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点M为的中点，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是证明三角形相似．
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
(1)若，求线段的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)平行四边形的面积为6．
【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是16，同理可得的面积是9，根据面积差可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
的面积为1，
的面积是16，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积是9，
平行四边形的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
22．（2023春·广东广州·九年级统考期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是．
(1)当时，求x的值；
(2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不发生变化，两个影子长的和是
【分析】（1）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可；
（2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相似比即可求出影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：；
（2）解：不会发生变化；
如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为，在B路灯下的影子长度为，
∵，
∴，
∴，
∴，，
则，，整理得：，，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，解得：，
∴两个影子的长的和不会变，一直都是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．
23．（2022春·全国·九年级专题练习）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段上，且．
（1）观察猜想
小华将绕点A逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点E时，
①的值为________；
②的度数为_______度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，设的延长线交于点F，请求出的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
【答案】（1）① ；②45；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．证明△DAB∽△EAC，推出，∠ABD＝∠ACE，再证明∠BAO＝∠CEO＝45°，可得结论．
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．证明△DAB∽△EAC，可得结论．
（3）分两种情形：如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．分别求出EC，可得结论．
【详解】解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．
∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，ADAE，ABAC，
∴∠EAC＝∠DAB，，
∴△DAB∽△EAC，
∴，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠BAO＝∠CEO＝45°，
故答案为：，45．
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．
∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，ADAE，ABAC，
∴∠EAC＝∠DAB，，
∴△DAB∽△EAC，
∴，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠FOC，
∴∠BAO＝∠CFO＝45°，
∴，∠BFC＝45°．
（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，
∵AE＝DE，AC＝BC，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴ADAE＝2，
∵EO⊥AD，
∴OD＝OA＝OE＝1，
∴OC3，
∴EC＝OE+OC＝4，
∵BDEC，
∴BD＝4．
如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．
同法可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，
∴BDEC＝2，
综上所述，BD的长为4或2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．