2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】D

【分析】先求出直线的斜率，从而可求倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，则，而，

故，

故选：D.

2．已知空间向量，，且与垂直，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.

【详解】由已知可得，解得.

故选：A.

3．已知在四面体中，分别是的中点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】连接，如图，

因为，，分别是的中点，

所以.

故选：D.

4．已知直线：，点，，点为直线上一动点，则的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据两点求得直线方程，利用平行线距离公式，结合三角形面积公式，可得答案.

【详解】直线的方程为，所以，所以边上的高为两平行线之间的距离，记为，因为，，所以．

故选：A．

5．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．且

【答案】D

【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，即，

解得且；

故选：D.

6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.

【详解】由题得双曲线的焦点为，

所以椭圆的焦点为，

设椭圆的方程为，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

故选：B

7．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

【答案】C

【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径的和与差作比较即可.

【详解】由题可知，两圆的圆心距为,

因为，

所以两圆相交.

故选:C.

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可

【详解】点椭圆上的点，

，且

在 中，

即 ，整理得：

即

故选：D

二、多选题

9．已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】分焦点在轴上还是在轴上讨论确定的值.

【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为，

则长半轴长为，半焦距为1，

离心率为；

当焦点在y轴上时，时，方程为，

则长半轴，半焦距1，

离心率为

故选:BC.

10．下列选项正确的是（  ）

A．过点且和直线平行的直线方程是

B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

C．若直线与平行，则与的距离为

D．直线的倾斜角的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由直线的点斜式方程可判断A，由两直线垂直对应的斜率关系可判断B，由两平行线的距离公式可判断C，由斜率和倾斜角的关系可判断D.

【详解】对于A，直线的斜率为，

所以过点且和直线平行的直线方程为，

即，A正确；

对于B，时，直线的斜率，直线的斜率，满足，所以两直线垂直，

而当时，直线也与直线垂直，

故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，B错误；

对于C，直线与平行，则，

则直线与的距离为，C正确；

对于D，直线的斜率，

即，所以，D正确.

故选：ACD

11．已知直线，和圆，下列说法正确的是（    ）

A．直线l恒过定点

B．圆C被x轴截得的弦长为

C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为

D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为

【答案】ABD

【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.

【详解】对于A，由，得，

联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；

对于B，在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；

对于C，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆直径4，故C错误；

对于D，由于直线恒过的定点，易知此点在圆内，设此定点为，当直线与直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为，故D正确.

故选：ABD

12．[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.

【详解】易知点的坐标为，选项A错误；

根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；

若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，

为，即，选项C正确，

抛物线的焦点为，准线方程为，

过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，

所以，．

所以，

所以线段，

所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线方程为__________.

【答案】

【分析】联立直线求解交点坐标，从而可得直线的斜率，即可得直线方程.

【详解】解：直线与直线的交点满足

，解得，故交点坐标为

所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.

故答案为：.

14．若过点作圆的切线，则切线方程为_________ .

【答案】

【分析】根据题意可得点在圆上，根据切线的性质可得切线的斜率，进而由点斜式求切线方程.

【详解】圆的圆心，半径，

∵，则点在圆上，

又∵直线的斜率，则切线的斜率，

∴切线方程为，即，

故切线方程为.

故答案为：.

15．已知椭圆：的焦点为，，短轴端点为，若，则__________.

【答案】1

【分析】根据题意可得，列出等量关系，即可求得结果.

【详解】对椭圆：，其，

又，故，，

根据椭圆的对称性，因为，故可得，解得.

故答案为：.

16．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为____________.

【答案】

【分析】根据的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.

【详解】根据题意，作图如下：

设点坐标为，其到渐近线：的距离，

因为，显然，

又因为，故可得，

在中，，设，则，

又，故，

解得：，故双曲线的离心率.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量

(1)若向量与垂直，求实数k的值；

(2)若向量和是共面向量，求实数x的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；

（2）根据向量共面定理，建立向量和之间的表示，可得方程组，解得答案.

【详解】（1）由，，则，

因为，

所以，则，解得.

（2）由向量和是共面向量，则存在，使得，

则，解得，则.

18．已知圆C经过三点，，．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过点且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)利用待定系数法或几何法均可求圆的标准方程；

(2)根据圆的弦长公式求出直线l斜率即可.

【详解】（1）∵圆C过，，故圆C的圆心在y=4上，

MN的中点为(1，3)，，

故MN的中垂线为：y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4，

令，故圆心，半径，

∴圆C的标准方程为：；

（2）设l斜率为k，则l为：，即，

，圆心到直线的距离，

即，解得，得直线的方程为．

19．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.

（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.

【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.

由圆的圆心在直线上，知：.

又∵圆与轴相切于点，

∴，，则.

∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.

（Ⅱ）如果选择条件①：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

如果选择条件②：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

20．在正四棱柱中，，E为的中点，F为上靠近B的三等分点．

(1)求异面直线CF与所成角的余弦值；

(2)求直线CF与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的数量积计算求解；

（2）根据线面角的正弦等于线法角余弦的绝对值求解．

【详解】（1）解：以D为原点，分别以方向为轴，建立如下所示的空间坐标系，

则由题意可知：，，，，，，，

∴ ，，

设，

则，

∵ F为上靠近B的三等分点，

∴ ，

，

，

，

，

，

设异面直线CF与所成角为且，

则．

（2）解：由（1）可求得：，，，

设为平面的法向量，

则，

即，

解得：，

，

，

设直线CF与平面所成角为，

则．

21．如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且．

(1)求证：；

(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；

(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得面，即，从而利用线面垂直的判定定理可得面，由此得；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出与平面ACP的一个法向量为，利用向量的数量积运算即可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；

（3）假设存在，且，由此求得，再由平面PAC得，从而求得，由此可得的值.

【详解】（1）连结，连结，如图，

因为四棱锥是正四棱锥，所以面，

又面，所以，

在正方形中，，

又面，所以面，

因为面，所以.

（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则由平面几何知识易知，，，

所以，则，，

因为，所以，

故，

设平面ACP的一个法向量为，则，即，

令，则，故，

设直线SC与平面ACP所成角为，则，

所以直线SC与平面ACP所成角的正弦值为.

（3）假设上存在点满足题意，不妨设，

则，

因为平面PAC，所以，即，故，

所以，则，

所以.

22．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线的方程．

(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在．

【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；

（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.

【详解】（1）由题意得，，故，

又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，

所以右焦点到渐近线的距离为，解得，

所以，，

所以双曲线C的标准方程为．

（2）假设存在，设，，

由题意知，直线斜率不为0，设直线，

联立，消去，得，

则，，

且，，

因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，

则，即，则，

整理得，故，

即，因为，所以，

故存在．