河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第二次适应性考试数学试题

这是一份河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第二次适应性考试数学试题，共23页。试卷主要包含了已知复数，满足，等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知: ，则（ ）
A．B．C．D．
4．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦．
A．4B．5C．15D．63
5．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种B．4050种C．8100种D．16200种
6．已知复数，满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．3
7．已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
8．已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
10．已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
11．已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的周期为2
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
13．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为 .
14．已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，与交于点O，底面，，点E，F分别是棱，的中点，连接，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
16．“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
附：.
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
18．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：不是函数的极值点；
(3)设u，v为正数，证明：.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
20
女生
15
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】，
而，故，
故选：B．
2．C
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
3．D
【分析】利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
4．B
【分析】根据递推公式可得，进而取对数求解通项公式即可得，再列不等式求解即可.
【详解】配方得：．
取对数：，设，则，
又，所以，，．
由放小麦的规则可得小麦总粒数为，
.
故选：B
5．B
【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下名男选手和名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法，
余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，
故共有．
故选：B
6．D
【分析】根据复数的几何意义，设相关点，分析可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆，结合椭圆的对称性分析求解.
【详解】设复数在复平面内对应的点分别为
，
由题意可知：，
可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆，
则长半轴长为，半焦距，短半轴长为，
且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为．
因为点在上，且，
若使得最小，则需取得最小值，
即点为第一象限内的短轴端点，此时．
故选：D.
7．C
【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值.
【详解】函数一条对称轴为，，
，的对称轴可以表示为，
令，则，在上单调，
则，使得，解得，由，得，
当时，取得最大值为.
故选：C．
8．C
【分析】由题意可知，四面体中，为长方体的一角，设，勾股定理计算，的长，由均值不等式可计算的面积取最大值时的值，由此可计算四面体外接球的半径与四面体外接球的半径，从而求出结果.
【详解】由题意可知，四面体中，
设，则，由等面积法可知，.
由已知得平面，故；
因为，故平面.
故，
故.，当且仅当，即时取等号，
此时四面体外接球的半径满足，而四面体外接球的半径满足，故所求比值为.
故选：C.

9．ACD
【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或，
则，故D正确.
故选：ACD
10．BC
【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．
【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．
故选：BC．

11．ABD
【分析】对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算即可判断；对C，由A可得，由B可得，进而可判断C；对D，由结合与的对称性可得，进而，结合C中的周期为4求得，进而可得.
【详解】对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B，，
，
又，故.
即，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，由A，，且，
又因为，故，
即，故，即.
由B，，故，故的周期为4，故C错误；
对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，
又，代入可得，则，
又，故，，，，又的周期为4，.
则
.
即，
则，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.
12．2024
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
【详解】，，其中是等差数列，
则（常数），
故，
所以数列为等比数列，
则．
故答案为：2024．
13．
【分析】由圆台的体积求得圆台的高h，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.
【详解】圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h，
则该圆台的体积为，则，
作出圆台的轴截面如图所示，
上底面圆心为，下底面圆心为，，，
过作，则，又，
所以圆台的母线长为．
故答案为：.
14．2
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】双曲线的实半轴长为，
延长交直线于点，由题意有，，
又是中点，所以，
故答案为：2.

15．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理得证；
（2）法一，建系用向量法求解；法二，取中点，连接交于点，连接，则是二面角的平面角，根据余弦定理求解.
【详解】（1）因为底面是矩形，与交于点，
所以为中点，
点是棱的中点，是棱的中点，
所以为的中位线，为的中位线，
所以，，
因为平面平面，
所以平面，
因为平面平面，
所以平面，
而平面平面，
所以平面平面.
（2）解法一：分别取中点，因为为矩形，平面，所以两两互相垂直，
以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则：
，取，得，所以，
，设平面的法向量为，则：
，取，得，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
解法二：如图，取中点，连接交于点，连接，
因为，所以，又点是棱的中点，是棱的中点，
所以，所以，
又均为直角三角形，所以，所以，
所以，
所以是二面角的平面角，
因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以二面角的余弦值为.
16．(1)有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据男女生各名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解.
（2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期.
17．(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当时，存在两个点，使得为直角三角形，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用面积的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线在点处的切线方程为，可得出抛物线在点处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标为，设，其中，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，
设点，其中，则，可得，
且，，
则，可得，
由题意可知，，则，
当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，
即，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，解得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，
所以，，则，即点，
因为点在轴左侧，则，即，
因为点在椭圆上，则，
设，其中，则，，
所以，
，
因为，则，则，
所以，，
因此，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
18．（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；
(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.
【详解】(1)因 为 所以，
因 为所 以
所以数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
19．(1)在单调递增
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导函数分析单调性即可；
（2）假设是的极值点得到，然后求导得到时在上单调递增，即可说明不是函数的极值点；
（3）根据函数和的单调性得到，，整理得，，然后两不等式相加即可证明原不等式成立.
【详解】（1）根据题意有.
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以，在单调递增.
（2）设，则，
若是的极值点，
则，，.
设，则，
由（1）可知，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，单调递增，
所以不是函数的极值点.
（3）当时，，当时，.
因为是增函数，且由（1）可知，单调递增，.
所以，即①，
另有，
即②，
所以①＋②有.
【点睛】方法点睛：导数证明不等式方法：
（1）构造函数：转化为求函数的最值问题；
（2）放缩法：可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩；
（3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
2
3