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初中数学1.2.1 有理数练习
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这是一份初中数学1.2.1 有理数练习，共27页。试卷主要包含了观察下列等式，先阅读下列式子的变形规律，观察下列各式，探究规律，完成相关题目，观察下面三行数等内容，欢迎下载使用。
1．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
2．先阅读下列式子的变形规律：
；
；
；
然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】
(1)类比计算：______，______，
归纳猜想：若为正整数，那么猜想______．
(2)知识运用，选用上面的知识计算的结果．
(3)知识拓展：试着写出的结果．
3．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
4．观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2所示，则幻和＝______；
(2)若b＝4，c＝6，求a的值；
(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
6．探究规律，完成相关题目．
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．
（1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整；
（2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______；
（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
8．观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－＋|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|．
10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：．
（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______．
（2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去．
①求的值．
②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由．
11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么：
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是 ．
13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）
（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）
14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
______
______
______
______
专题04 有理数运算中的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据所给的等式的形式求解即可；
（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
(1)
解：观察等式找到规律，第5个等式为：
故答案为：，
(2)
解：第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：……
第n个等式：
故答案为：，
(3)
解：
+…
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．
2．先阅读下列式子的变形规律：
；
；
；
然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】
(1)类比计算：______，______，
归纳猜想：若为正整数，那么猜想______．
(2)知识运用，选用上面的知识计算的结果．
(3)知识拓展：试着写出的结果．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意分解形式求解即可；
（2）根据式子规律求解即可；
（3）将分解成的形式，其余各式比照该分解形式进行分解，然后求和计算即可．
(1)
解：由题意知
故答案为：；；．
(2)
解：
(3)
解：
【点睛】
本题考查了数字类规律的探究．解题的关键在于概括出分解运算规律．
3．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A
【解析】
【分析】
（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是9；
13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7；
故答案为：9；7；
②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7，的个位数字是7；
故答案为：7；7；
（2）①
7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是3，的个位数字是3
故答案为：3；3
②
2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是8，的个位数字是8
故答案为：8；8
（3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同
的个位上的数字恒为0
故选A．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．
4．观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
【答案】(1)，225
(2)，
(3)29700
【解析】
【分析】
观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．
（1）根据上述规律填空即可求解；
（2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解；
（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．
(1)
解：由题意可知：
．
故答案为：，225；
(2)
解：
．
故答案为：，；
(3)
解：
故答案为：29700．
【点睛】
本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．
5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2所示，则幻和＝______；
(2)若b＝4，c＝6，求a的值；
(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)图形见解析(答案不唯一)
【解析】
【分析】
(1)根据幻和等于九宫格中最中心数的3倍即可得答案；
(2)根据b=4先求出第二行第三列的数字，根据c=6求出第一行第三列的数字，根据对角线求出第一行第一列的数字，最后根据第一行三个数字之和等于幻和即可求解；
(3)根据九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍先求出中心数为3，幻和为9，进一步将数据分成5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，按照此条件分组将数据填入九宫格中即可．
(1)
解：由题意可知：幻和等于九宫格中最中心数的3倍，
∴图2中幻和=-2×3=-6．
(2)
解：由(1)知幻和为-6，当b＝4，c＝6时：
第二行第三列的数字为：-6-b-(-2)=-6-4+2=-8，
第一行第三列的数字为：-6-(-8)-c=-6+8-6=-4，
根据对角线可知：第一行第一列的数字为：-6-(-2)-6=-10，
∴a=-6-(-10)-(-4)=-6+10+4=8．
(3)
解：将图3中的九宫格分别标记为A~I，如下图所示：
由于九宫格中横行、纵向的数字之和均相等，其和叫做幻和，
∴九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍，
∴幻和=(5+7-5+3+9-1+11-3+1)÷3=9，
又幻和为九宫格中最中心数的3倍，
∴最中心的E代表的数为3，
∵对角线、横行、纵向的数字之和是幻和的3倍，
∴A+I=6，B+H=6，C+G=6，D+F=6，
故5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，只需要满足此条件写出来九宫格必然满足题目要求，
取A=5、B=7时，此时I=1，H=-1，G=9，C=-3，D=-5，F=11，如下图所示(答案不唯一)：
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，读懂题意，解题的关键是掌握幻方的定义及幻和与中心数的关系即可．
6．探究规律，完成相关题目．
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．
（1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整；
（2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______；
（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由第列的三个代数式的和为 再利用每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等逐一填好其余的空格，即可得到答案；
（2）由每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等，可得从而可得答案；
（3）由（2）的规律先确定最中间的数据 把－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40按从小到大的顺序排列，再把第个数据放在四角的位置，再根据每行，每列，每一条对角线上的三个数之和相等，填好其余空格即可．
【详解】
解：（1）
（2）由每行每列及对角线上的三个代数式的和相等可得：
故答案为：
（3）幻方如图所示（答案不唯一）：
【点睛】
本题考查的是数或代数式的排列的规律的探究，有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
【答案】(1)①D； ②﹣1009
(2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③
【解析】
【分析】
（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB＝2018，可知A点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题．
(1)
解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），
故选D．
②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，
依次规律跳，
当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，
故答案为：﹣1009．
(2)
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， ＝1，
∴对称中心为1，
∴2017﹣1＝2016，
∴1﹣2016＝﹣2015，
∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，
故答案为：﹣2015；
②∵对称中心为1，AB＝2018，
∴点A所表示的数为：1﹣＝﹣1008，点B所表示的数为：1+＝1010，
故答案为：﹣1008，1010；
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．
8．观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）； ；（2）， 或；（3）
【解析】
【分析】
（1）第①行有理数是按照排列的；
（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；
（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．
【详解】
解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2， ﹣1×22，23， ﹣1×24，…，
故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；
故答案为：； ；
（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），
第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；
故答案为：， 或；
（3）∵第①行的第10个数为，
第②行的第10个数为，
第③的第10个数为，
所以，这三个数的和为：
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－＋|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|．
【答案】（1）①7+2；②；（2）
【解析】
【分析】
（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【详解】
解：（1）①∵ ，
∴|7＋2|＝7+2；
②∵ ，
∴|－＋|＝；
（2）原式＝ ，
，
＝．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：．
（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______．
（2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去．
①求的值．
②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由．
【答案】（1）5；（2）①-1011；②n=99．
【解析】
【分析】
（1）直接根据题中所给定义运算进行求解即可；
（2）①由题意可知，由此可得，然后求解即可；②由题意易得，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，
故答案为5．
（2）解：由题意得：，
∴=-1+2-3+4···+2020-2021
=1×1010-2021
=-1011．
②由题意得：，
∴当n为奇数时，则有，解得：n=99，
当n为偶数时，则有，解得：，（不符合题意，舍去），
∴综上所述：n=99．
【点睛】
本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律问题，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律问题是解题的关键．
11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；
（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；
（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．
【详解】
（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；
(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；
(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；
故答案为：24，60，120；
（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；
(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；
(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；
故答案为：-10，-13，-16；
（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；
(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；
∵第1个正方形中的数
第2个正方形中的数
第3个正方形中的数
∴第四个正方形中的数．
【点睛】
本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．
12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么：
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是 ．
【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）3；（4）﹣2+n．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数．
【详解】
解：（1）记某次向左移动个单位长度，则向右移动个单位长度，从而每次移动的实际量为：
∵一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2
∴，即第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1
故答案为﹣1
（2）∵
∴第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是0
故答案为0
（3）∵
∴第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是3
故答案为3
（4）∵，
∴这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是﹣2+n
故答案为﹣2+n，
【点睛】
本题考查的是点在数轴上的移动规律的探究，有理数的加法运算，掌握数轴上点的移动后对应的数的变化规律是解题的关键．
13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）
（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）
【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62；（2）400；（3）（n+1）2；（4）1400
【解析】
【分析】
（1）类比得出第6行等式为：1+3+5+7+9+11=62；
（2）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可；
（3）利用（1）（2）的规律推出一般规律即可；
（4）用从1到89的连续奇数的和减去从1到49的连续奇数的和，进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）第6行等式：1+3+5+7+9+11=62；
（2）1至39共有（39+1）÷2=20个奇数，
∴1+3+5+7+9+…+39=202=400；
（3）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）==（n+1）2；
（4）51+53+55+…+87+89
=1+3+5+7+…+87+89-（1+3+5+7+…+47+49）
=
=452-252
=2025-625
=1400．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，解决问题．
14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
【答案】（1）2（n+1），202；（2）①-22；②3☆n＞（-3）☆n
【解析】
【分析】
（1）由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n个图形中有2（n+1）个实心圆，进一步代入求得答案即可；
（2）①根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可；②根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可．
【详解】
解：（1）第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，
；；
（2）①10
；
②是正整数，
；
，
．
所以3*．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键．
______
______
______
______
10
－40
30
20
0
－20
－30
40
－10
1．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
2．先阅读下列式子的变形规律：
；
；
；
然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】
(1)类比计算：______，______，
归纳猜想：若为正整数，那么猜想______．
(2)知识运用，选用上面的知识计算的结果．
(3)知识拓展：试着写出的结果．
3．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
4．观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2所示，则幻和＝______；
(2)若b＝4，c＝6，求a的值；
(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
6．探究规律，完成相关题目．
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．
（1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整；
（2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______；
（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
8．观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－＋|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|．
10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：．
（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______．
（2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去．
①求的值．
②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由．
11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么：
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是 ．
13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）
（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）
14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
______
______
______
______
专题04 有理数运算中的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据所给的等式的形式求解即可；
（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
(1)
解：观察等式找到规律，第5个等式为：
故答案为：，
(2)
解：第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：……
第n个等式：
故答案为：，
(3)
解：
+…
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．
2．先阅读下列式子的变形规律：
；
；
；
然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】
(1)类比计算：______，______，
归纳猜想：若为正整数，那么猜想______．
(2)知识运用，选用上面的知识计算的结果．
(3)知识拓展：试着写出的结果．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意分解形式求解即可；
（2）根据式子规律求解即可；
（3）将分解成的形式，其余各式比照该分解形式进行分解，然后求和计算即可．
(1)
解：由题意知
故答案为：；；．
(2)
解：
(3)
解：
【点睛】
本题考查了数字类规律的探究．解题的关键在于概括出分解运算规律．
3．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A
【解析】
【分析】
（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是9；
13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7；
故答案为：9；7；
②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7，的个位数字是7；
故答案为：7；7；
（2）①
7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是3，的个位数字是3
故答案为：3；3
②
2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是8，的个位数字是8
故答案为：8；8
（3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同
的个位上的数字恒为0
故选A．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．
4．观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
【答案】(1)，225
(2)，
(3)29700
【解析】
【分析】
观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．
（1）根据上述规律填空即可求解；
（2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解；
（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．
(1)
解：由题意可知：
．
故答案为：，225；
(2)
解：
．
故答案为：，；
(3)
解：
故答案为：29700．
【点睛】
本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．
5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2所示，则幻和＝______；
(2)若b＝4，c＝6，求a的值；
(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)图形见解析(答案不唯一)
【解析】
【分析】
(1)根据幻和等于九宫格中最中心数的3倍即可得答案；
(2)根据b=4先求出第二行第三列的数字，根据c=6求出第一行第三列的数字，根据对角线求出第一行第一列的数字，最后根据第一行三个数字之和等于幻和即可求解；
(3)根据九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍先求出中心数为3，幻和为9，进一步将数据分成5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，按照此条件分组将数据填入九宫格中即可．
(1)
解：由题意可知：幻和等于九宫格中最中心数的3倍，
∴图2中幻和=-2×3=-6．
(2)
解：由(1)知幻和为-6，当b＝4，c＝6时：
第二行第三列的数字为：-6-b-(-2)=-6-4+2=-8，
第一行第三列的数字为：-6-(-8)-c=-6+8-6=-4，
根据对角线可知：第一行第一列的数字为：-6-(-2)-6=-10，
∴a=-6-(-10)-(-4)=-6+10+4=8．
(3)
解：将图3中的九宫格分别标记为A~I，如下图所示：
由于九宫格中横行、纵向的数字之和均相等，其和叫做幻和，
∴九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍，
∴幻和=(5+7-5+3+9-1+11-3+1)÷3=9，
又幻和为九宫格中最中心数的3倍，
∴最中心的E代表的数为3，
∵对角线、横行、纵向的数字之和是幻和的3倍，
∴A+I=6，B+H=6，C+G=6，D+F=6，
故5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，只需要满足此条件写出来九宫格必然满足题目要求，
取A=5、B=7时，此时I=1，H=-1，G=9，C=-3，D=-5，F=11，如下图所示(答案不唯一)：
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，读懂题意，解题的关键是掌握幻方的定义及幻和与中心数的关系即可．
6．探究规律，完成相关题目．
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．
（1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整；
（2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______；
（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由第列的三个代数式的和为 再利用每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等逐一填好其余的空格，即可得到答案；
（2）由每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等，可得从而可得答案；
（3）由（2）的规律先确定最中间的数据 把－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40按从小到大的顺序排列，再把第个数据放在四角的位置，再根据每行，每列，每一条对角线上的三个数之和相等，填好其余空格即可．
【详解】
解：（1）
（2）由每行每列及对角线上的三个代数式的和相等可得：
故答案为：
（3）幻方如图所示（答案不唯一）：
【点睛】
本题考查的是数或代数式的排列的规律的探究，有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
【答案】(1)①D； ②﹣1009
(2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③
【解析】
【分析】
（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB＝2018，可知A点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题．
(1)
解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），
故选D．
②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，
依次规律跳，
当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，
故答案为：﹣1009．
(2)
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， ＝1，
∴对称中心为1，
∴2017﹣1＝2016，
∴1﹣2016＝﹣2015，
∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，
故答案为：﹣2015；
②∵对称中心为1，AB＝2018，
∴点A所表示的数为：1﹣＝﹣1008，点B所表示的数为：1+＝1010，
故答案为：﹣1008，1010；
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．
8．观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）； ；（2）， 或；（3）
【解析】
【分析】
（1）第①行有理数是按照排列的；
（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；
（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．
【详解】
解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2， ﹣1×22，23， ﹣1×24，…，
故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；
故答案为：； ；
（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），
第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；
故答案为：， 或；
（3）∵第①行的第10个数为，
第②行的第10个数为，
第③的第10个数为，
所以，这三个数的和为：
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－＋|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|．
【答案】（1）①7+2；②；（2）
【解析】
【分析】
（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【详解】
解：（1）①∵ ，
∴|7＋2|＝7+2；
②∵ ，
∴|－＋|＝；
（2）原式＝ ，
，
＝．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：．
（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______．
（2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去．
①求的值．
②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由．
【答案】（1）5；（2）①-1011；②n=99．
【解析】
【分析】
（1）直接根据题中所给定义运算进行求解即可；
（2）①由题意可知，由此可得，然后求解即可；②由题意易得，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，
故答案为5．
（2）解：由题意得：，
∴=-1+2-3+4···+2020-2021
=1×1010-2021
=-1011．
②由题意得：，
∴当n为奇数时，则有，解得：n=99，
当n为偶数时，则有，解得：，（不符合题意，舍去），
∴综上所述：n=99．
【点睛】
本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律问题，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律问题是解题的关键．
11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；
（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；
（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．
【详解】
（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；
(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；
(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；
故答案为：24，60，120；
（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；
(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；
(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；
故答案为：-10，-13，-16；
（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；
(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；
∵第1个正方形中的数
第2个正方形中的数
第3个正方形中的数
∴第四个正方形中的数．
【点睛】
本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．
12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么：
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是 ．
【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）3；（4）﹣2+n．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1；
（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数．
【详解】
解：（1）记某次向左移动个单位长度，则向右移动个单位长度，从而每次移动的实际量为：
∵一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2
∴，即第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1
故答案为﹣1
（2）∵
∴第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是0
故答案为0
（3）∵
∴第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是3
故答案为3
（4）∵，
∴这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是﹣2+n
故答案为﹣2+n，
【点睛】
本题考查的是点在数轴上的移动规律的探究，有理数的加法运算，掌握数轴上点的移动后对应的数的变化规律是解题的关键．
13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）
（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）
【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62；（2）400；（3）（n+1）2；（4）1400
【解析】
【分析】
（1）类比得出第6行等式为：1+3+5+7+9+11=62；
（2）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可；
（3）利用（1）（2）的规律推出一般规律即可；
（4）用从1到89的连续奇数的和减去从1到49的连续奇数的和，进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）第6行等式：1+3+5+7+9+11=62；
（2）1至39共有（39+1）÷2=20个奇数，
∴1+3+5+7+9+…+39=202=400；
（3）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）==（n+1）2；
（4）51+53+55+…+87+89
=1+3+5+7+…+87+89-（1+3+5+7+…+47+49）
=
=452-252
=2025-625
=1400．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，解决问题．
14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
【答案】（1）2（n+1），202；（2）①-22；②3☆n＞（-3）☆n
【解析】
【分析】
（1）由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n个图形中有2（n+1）个实心圆，进一步代入求得答案即可；
（2）①根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可；②根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可．
【详解】
解：（1）第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，
；；
（2）①10
；
②是正整数，
；
，
．
所以3*．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键．
______
______
______
______
10
－40
30
20
0
－20
－30
40
－10
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