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    这是一份2023-2024学年河北省邢台市一中五岳联盟高二上学期第三次月考(12月)数学word版含答案,文件包含数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。

    数学答案
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.
    【答案】B
    2.
    【答案】D
    3.
    【答案】A
    4.
    【答案】C
    5.
    【答案】B
    6.
    【答案】D
    7.
    【答案】D
    8.
    【答案】A
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.
    【答案】BD
    10.
    【答案】BCD
    11.
    【答案】BCD
    12.
    【答案】AC
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.
    【答案】(答案不唯一)
    14.
    【答案】32
    15.【答案】13
    16.
    【答案】8
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上的点,且.
    (1)求抛物线的方程
    (2)已知直线交抛物线于,两点,且的中点为,求直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)借助抛物线焦点弦的性质即可得;
    (2)设出点的坐标,借助点差法,结合中点公式即可得.
    【小问1详解】
    因为,
    所以,
    故抛物线C的方程为;
    【小问2详解】
    易知直线的斜率存在,设直线的斜率为,,,
    则,两式相减得,
    整理得,
    因为的中点为,故,
    所以,
    所以直线的方程为,即.
    18. 已知数列的前n项和为,且.
    (1)证明:为等比数列.
    (2)求数列的前n项和.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用可得,结合等比数列的定义即可证明;
    (2)由(1)知,则,结合分组求和法计算即可求解.
    【小问1详解】
    证明:当时,,所以.
    当时,,
    所以,
    即.
    因为,,
    所以是首项为1,公比为2的等比数列.
    【小问2详解】
    解:由(1)知,
    所以,
    所以.
    19. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切.
    (1)求圆C的方程;
    (2)若,,点M在圆C上,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由题意待定系数法设出圆的标准方程,根据题意列出方程组求出参数即可得解.
    (2)由题意设点在圆上,则,,由两点之间的距离公式化简可得,由此即可得解.
    【小问1详解】
    设圆C:(),
    由题意得,解得,
    所以圆C的方程为.
    【小问2详解】
    设,,由,得,
    则.
    当时,取得最小值,最小值为10;
    当时,取得最大值,最大值为34.
    故的取值范围为.
    20. 已知为等差数列,其前n项和为,,,且也为等差数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,求数列的前n项和.
    【答案】1.
    2.
    【解析】
    【分析】(1)设等差数列的公差为,利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解.
    (2)利用裂项求和法即可求解.
    【小问1详解】
    设的公差为d.
    因为,,为等差数列,
    所以,,成等差数列,
    则,解得,
    故.
    【小问2详解】
    因为,,
    所以.
    设的前n项和为,

    21. 已知双曲线C:,A,B是C上关于坐标原点O对称的两点.
    (1)若直线AB的斜率为,求.
    (2)试问在直线上是否存在点P,使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值?若存在,求出该定值及P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)存在点或,使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值
    【解析】
    【分析】(1)设直线AB的方程为,与双曲线方程联立,求出交点坐标,利用两点间的距离公式计算可得答案;
    (2)设,,求出,若直线AP与直线BP的斜率之积为定值,则,可得答案.
    【小问1详解】
    设直线AB的方程为,
    由,得或,
    所以;
    【小问2详解】
    因为A,B是C上关于坐标原点O对称的两点,且直线AP与直线BP的斜率存在,
    所以直线AP与直线BP的斜率均不为0,
    设,,则,,
    所以,
    由,得,则

    若直线AP与直线BP的斜率之积为定值,则,
    化简得,得或,
    此时,
    故在直线上存在点或,
    使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值.
    22. 设A,B为抛物线C:()上两点,直线的斜率为4,且A与B的纵坐标之和为2.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)已知O为坐标原点,F为抛物线C的焦点,直线l交抛物线C于M,N两点(异于点O),以为直径的圆经过点O,求面积的最小值.
    【答案】(1)
    (2)48
    【解析】
    【分析】(1)由题意设出点的坐标,结合点的坐标满足抛物线方程,直线的斜率为4,且A与B的纵坐标之和为2可列出方程,进而求得的值,从而即可得解.
    (2)由题意可得,进一步,设出直线方程将其与抛物线方程联立,结合韦达定理可得直线过定点,再结合韦达定理将的面积表示出来,进一步即可得其最小值.
    【小问1详解】
    设,则,,.
    直线的斜率,
    解得,所以抛物线C的方程为.
    【小问2详解】
    设直线l的方程为,,,
    联立,消去x得,且,
    由韦达定理得,.
    以MN为直径的圆经过点O,即,
    因为M,N两点异于点O,所以解得,
    即,则,直线l恒过定点.
    易知,,当且仅当,即直线l的方程为时取等号;
    故面积的最小值为48.
    【点睛】关键点睛:第一问的关键是设点不设线,从而减少计算量,第二问的关键是数形结合,首先联立方程与抛物线方程,结合已知得到直线过定点,从而即可顺利求解.
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