2023-2024学年四川省广元中学高二（强基班）上学期第三次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省广元中学高二（强基班）上学期第三次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知,则( )
A.B.C.D.
2、在一次随机试验中,其中3个事件,,的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法中正确的是( )
A.与是互斥事件,也是对立事件
B.是必然事件
C.
D.
3、等比数列中,,.则的公比q为( )
A.2B.2或-2C.-2D.3
4、若点在圆的内部,则直线与圆C的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
5、如图,二面角等于,是棱上两点,分别在半平面内,,,且,则的长等于( )
A.B.C.4D.2
6、已知各项均为正数的数列的前n项和为,若,则( )
A.3B.6C.9D.12
7、已知圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、如图所示,双曲线与抛物线有公共焦点F,过F作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,延长FA与抛物线相交于点B,若,双曲线的离心率为e,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、关于x,y的方程(其中)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线D.长轴长为的椭圆
10、一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件M为“第一次向下的数字为3或4”,事件N为“两次向下的数字之和为偶数”,则下列说法正确的是( )
A.事件M发生的概率为B.事件M与事件N互斥
C.事件M与事件N相互独立D.事件发生的概率为
11、下列关于等比数列单调性的结论不正确的是( )
A.若数列是递增数列,则公比
B.若公比,则数列一定是递增数列或递减数列
C.若,则数列是递减数列
D.若,则数列是递增数列
12、已知抛物线的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.若,则点M到y轴的距离为4
B.过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有条
C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则
D.
三、填空题
13、抛物线,过焦点的弦AB长为8,则AB中点M的横坐标为__________.
14、已知P是双曲线上的点,F为双曲线的右焦点,点A的坐标为,则的最小值是____________.
15、已知等差数列,的前n项和分别为和,若,且是整数,则n的值为__________________.
16、已知平面内两个定点A,B及动点P,若（且）,则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知,,直线,直线,若P为,的交点,则的最小值为_____________.
四、解答题
17、已知数列的前n项和为,且满足,.
(1)求证：是等差数列;
(2)求数列的通项公式.
18、已知双曲线与抛物线有相同的焦点,且M的虚轴长为4.
(1)求M的方程;
(2)是否存在直线l,使得直线l与M交于A,B两点,且弦AB的中点为？若存在,求l的斜率;若不存在,请说明理由.
19、在一次射击游戏中,规定每人最多射击3次;在A处击中目标得3分,在B,C处击中目标均得2分,没击中目标不得分;某同学在A处击中目标的概率为,在B,C处击中目标的概率均为,该同学依次在A,B,C处各射击一次,各次射击之间没有影响,求在一次游戏中：
（1）该同学得4分的概率;
（2）该同学得分不超过3分的概率.
20、已知圆O的圆心为坐标原点,斜率为1且过点的直线与圆O相切,圆.
(1)若圆与圆相交于,两点,求线段的长度;
(2)若直线与圆C交于P,Q两点,是否存在实数a,使得?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
21、如图,菱形的边长为为的中点.将沿折起,使到达,连接,得到四棱锥.
(1)证明：;
(2)当二面角的平面角在内变化时,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22、已知椭圆：和圆：,点是圆上的动点,过点作椭圆的切线l1,l2,切点为A,B。
(1)若点P的坐标为,证明：直线;
(2)求O到直线AB的距离的范围.
参考答案
1、答案：A
解析：复数,
所以.
故选：A
2、答案：D
解析：由已知条件可知,一次随机试验中产生的事件可能不止事件,,这三个事件,
故,
从而AB错误;,故C错误;
,故D正确.
故选：D.
3、答案：B
解析：由题意,,,
,,
故选：B.
4、答案：C
解析：因为点在圆内,则,
所以圆心到直线的距离为,所以直线与圆相离,
故选：C
5、答案：C
解析：由二面角的平面角的定义知,
,
由,得,
又,
,
所以,即,
故选：C.
6、答案：A
解析：因为,所以,
两式相减得,
即,因为,所以,
所以数列中,从第二项起成等差数列,
所以,
所以.由得,
所以,得,所以,
故选：A.
7、答案：D
解析：由题意可知,由得,
圆心为,半径为
因,故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2,
所以得,即得,
可得,
故选：D
8、答案：B
解析：根据题意,如图：
因为双曲线和抛物线共焦点,故可得,
又到的距离,即,
又,所以点A为线段FB的中点,则,
设点,由抛物线定义知,解得;
由可得,
则由等面积可知：,解得,则,
则,又点A在渐近线上,即,即,
又,联立得,即,解得,
故.
故选：B.
9、答案：BC
解析：对于A：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线,
则,无解,选项A错误;
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆,
则,解得,选项B正确;
对于C：若曲线表示焦点在x轴上的双曲线,
则,所以或,选项C正确;
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆,
则,,则或,无解,选项D错误.
故选：BC.
10、答案：AC
解析：由题设知：,A正确;
由M：“第一次向下的数字为3或4”与N：“两次向下的数字之和为偶数”,而发生M同时N也有可能发生,故不是互斥事件,B错误;
因为,而,故,即事件M与事件N相互独立,C正确;,表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”,故,所以,D错误.
故选：AC.
11、答案：ABD
解析：对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误;
对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误;
对于C,因为,即,整理得且,所以,
则,所以数列是递减数列,故C正确;
对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误.
故选：ABD.
12、答案：CD
解析：因为抛物线的焦点F到准线的距离为2,所以,
则抛物线,所以焦点,准线为,
对于A选项,设、,则,解得,
又M为线段AB的中点,则,所以点到轴的距离为,故A错误;
对于B选项,若过点的斜率不存在时,则该直线为y轴,由图可知,y轴与抛物线C相切,
若过点的直线的斜率为零,此时,
直线的方程为,联立,可得,
此时,直线与抛物线C只有一个交点,
若过点的直线的斜率存在且不为零,
设该直线的方程为,考虑直线与抛物线C相切,
联立,可得,
则,解得,即直线与抛物线C只有一个公共点,
故满足条件的直线共有三条,B错;
对于C选项,过点Q作准线的垂线段,垂足为,则,
设准线与x轴交于点D,则,
因为,所以,则,则,所以,
即,所以,则,故C正确;
对于D：依题意过点F的直线的斜率不为0,设过点F的直线为,
由,消去x得,
显然,所以,,则,,
所以,
所以
,
当且仅当,即,时取等号,故D正确.
故选：CD.
13、答案：2
解析：抛物线的准线l的方程为：,焦点为,分别过A,B,M,
作,,垂足为C,D,H,
在直角梯形中,,
由抛物线的定义可知：,
因此有,
所以点M的横坐标为.
故答案为：2.
14、答案：
解析：由已知可得,,,所以,,,.
如图,设双曲线左焦点为,因为点A在双曲线右支内部,要使最小,
则点P应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得,,所以,.
所以,.
由图象可知,当A,P,三点共线且如图示位置时,有最小值.
又,所以,
所以,有最小值,即有最小值.
故答案为：.
15、答案：15
解析：由题意得,
设等差数列的公差分别为,,,,
故,故,又,
故,即,,又,
,即,联立,化简得,
解得又是整数,即是整数,
设,故,即,解得,
令,解得,且,当时,满足要求,
当时,不合要求,当时,不合要求,当时,不合要求,
当时,不合要求,综上,n的值为15.
故答案为：15
16、答案：
解析：直线即,过定点
直线即,过定点
又,故,则点P在以线段MN为直径的圆上,
即点P的轨迹为,即,
假设存在点,使恒成立,设
则,整理得,
与P的轨迹对照得,解得,
即存在点,使,即,
所以,
即的最小值为,
故答案为：.
17、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：当时,由得,,
所以,又,所以是首项为2,公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得,所以.当时,;
当时,,不符合,故
18、答案：(1)
(2)不存在,详见解析.
解析：（1）抛物线的焦点为,
依题意可得,
解得,,
故M的方程为.
（2）设,,则
两式相减得.依题意可得
所以.所以直线:,即,
联立得,,所以直线l与M不相交,故不存在直线l.
19、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设该同学在A处击中目标为事件A,在B处击中目标为事件B,在C处击中目标为事件C,事件A,B,C相互独立.依题意,,
,
则该同学得4分的概率为.
（2）该同学得0分的概率为
得2分的概率为;
得3分的概率为;
得4分的概率为;
则该同学得分少于5分的概率为,
.
20、答案：(1);
(2)存在,使得.
解析：（1）斜率为1且过点的直线方程为,即.
则O到直线的距离为,即为圆O的半径,
所以圆O的方程为.
由圆C的方程减去圆O的方程,可得,即.
因为圆O与圆C相交于E,F两点,则EF所在的直线方程为.
O到EF的距离为,
所以.
（2）假设存在实数a,使得.设PQ的中点为T,
因为,所以.
又,所以C,O,T三点共线.圆的圆心为,半径为3,
故,所以,即.因为直线,所以,解得,
此时直线.圆心C到直线l的距离为,
所以直线l与圆C有两个交点,所以存在实数,使得.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）由题意证明如下,在菱形ABCD中,E为AB的中点,,
是等边三角形,,
在翻折过程中,恒有,
又,,平面,平面,平面,
;
（2）由题意及（1）得,为二面角的平面角,
记其为,则,
以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系,
如图所示,则
,,,
,
设平面的法向量,则,得
令,得,
则,
令,得
,
当且仅当时,等号成立设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
22、答案：(1)证明见解析
(2)6
解析：（1）由题意切线的斜率存在,设切线方程为,
联立,消y得,
则,
所以,即,所以;
（2）设,则,椭圆得长半轴长为,短半轴长为2,
当过点P的一条切线斜率不存在时,不妨取这条切线方程为,
此时,则,解得,而直线与椭圆C相切,
所以当过点P的一条切线斜率不存在时,,当过点P的切线斜率存在时,则,
设切线方程为,
联立,消y得,
则,化简得,
所以,所以,
综上所述,,所以线段AB为圆O的直径,所以.