四川省射洪市射洪中学强基班2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

高2022级强基班高二上期第一次学月考试

数学试题

时间：120分钟，满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

1. 已知纯虚数满足，则实数等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设且则，再通过复数乘法化简，利用复数相等求解.

【详解】解法一：设且，

则，

因为，

所以，

所以，

故选：A．

解法二：，

因为为纯虚数，所以，

解得，

故选：A．

【点睛】本题主要考查复数的概念与运算等基础知识，还考查了运算求解能力，属于基础题.

2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是”为事件，“向上的点数是”为事件，则下列选项正确的是（    ）

A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用事件的关系求解.

【详解】由题意知，为不可能事件，表示向上的点数是，

所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.

故选：B.

3. 若直线l经过点，斜率是，则直线l的方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可；

【详解】解：因为直线经过点，斜率是，所以直线方程为，即，

故选：C

4. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

连接，，得出平面，由题可知平面，得出，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，再由线面垂直的性质得出，从而得出异面直线与所成的角.

【详解】解：如图，连接，，在正方体中，

可知平面，而平面，，

又，且，平面，

平面，而平面，，

即异面直线与所成角的大小是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查的是异面直线所成角的计算，考查线面垂直的判定和性质，通过作辅助线以及通过证明线面垂直得出线线垂直是解题的关键.

5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．

由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，

因此直线的倾斜角的取值范围是．

故选：C

6. 从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.

【详解】从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件，

分别为，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

记“成立”为事件，

若，则且，

所以事件包含个基本事件：，，，，，，

故其概率为．

故选：D

7. 已知复数z满足，则的最小值为（    ）

A. 1 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．

【详解】设复数在复平面内对应的点为，

因为复数满足，

所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，

所以在复平面内点的轨迹为，

又表示点到点的距离，

所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，

当为时，到定点的距离最小，最小值为1，

所以的最小值为1，

故选：A．

8. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.

【详解】作关于轴的对称点，

作关于的对称点，

连接交轴于，交于，所以，

此时周长最小，即，

由，直线方程为，所以，解得，

所以，可得直线方程为，即，

由，解得，所以，

令可，所以.

故选：C.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题所给的四个选项中有多个选项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）

9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ）

A.  B.

C. 若复数为纯虚数，则 D. 复数的虚部为

【答案】AD

【解析】

【分析】由虚数的运算性质，可判定A正确；根据虚数不能比较大小，可判定B不正确；由时，可判定C不正确；根据复数的概念，可判定D正确.

【详解】对于A中，由虚数的运算性质，可得，所以A正确；

对于B中，根据虚数不能比较大小，所以B不正确；

对于C中，例如：当时，，此时，所以C不正确；

对于D中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以D正确.

故选：AD.

10. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为

B. 直线在y轴的截距是

C. 直线的倾斜角为120°

D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为

【答案】BD

【解析】

【分析】选项A中，设直线的截距式，然后带入点坐标，并考虑当在，轴截距相等时，存在截距为0的情况；选项B中，令，即可计算直线的截距；选项C中，计算直线的斜率，从而计算出倾斜角；选项D中，倾斜角为90°，故直线斜率不存在。

【详解】对于A，因为过点且在，轴截距相等的直线方程还包括直线，故A错误；

对于B，当时，，所以直线在y轴的截距是，故B正确；

对于C，直线，所以倾斜角为，故C错误；

对于D，因为直线的倾斜角为90°，则斜率不存在，且直线过点，所以直线方程为，故D正确.

故选：BD

【点睛】对直线方程不同形式进行考查，同时涉及到斜率、倾斜角和截距的定义。

11. 在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ）

A. 采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为

B. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为

C. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为

D. 对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率

【答案】BD

【解析】

【分析】根据信号传输规则及相互独立事件同时发生的概率计算可判断ABC，利用作差法比较大小可判断D.

【详解】对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立，

所以所求概率为，A错误；

对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立，

所以所求概率为，B正确；

对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥，

所以所求的概率为，故C错误；

对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率，

若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率，

因此，即，D正确.

故选：BD.

12. 在三棱锥中，两两垂直，，点分别在侧面和棱上运动且为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. 三棱锥的内切球的半径为

B. 三棱锥的外接球的表面积为

C. 点到底面的距离的最小值为

D. 三棱锥的体积的最大值为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，利用等体积法可求出三棱锥的内切球的半径，对于B，由题意将三棱锥补成一个长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，对于C，由题意可得平面，则，，所以点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，然后求出点到平面的距离，从而可得点到底面的距离的最小值，对于D，设球面分别交于点，当点与点或重合时，点到底面的距离最大，从而可求出其体积的最大值.

【详解】对于A，因为两两垂直，，

所以，，

，

所以，

设三棱锥的内切球的半径为，则

，

所以，

解得，所以A错误，

对于B，因为两两垂直，所以将三棱锥补成如图所示的长方体，

则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，

设三棱锥外接球半径为，则

，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为，所以B正确，

对于C，因为，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

所以，

因为为线段的中点，所以，

所以点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，

设点到平面的距离为，

因为，所以，

所以，解得，

所以点到底面的距离的最小值为，所以C正确，

对于D，由选项C可知点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，

因为的面积为定值，所以当点到底面的距离最大值时，三棱锥的体积最大，

设球面分别交于点，

因为，所以当点与点或重合时，点到底面距离最大，设为，则有，得，

所以三棱锥的体积的最大值为，所以D错误，

故选：BC

  【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥与球的切接问题，考查立体几何中点的轨迹问题，解题的关键是由得到点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，然后逐个分析判断，考查空间想象能力，属于较难题.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，则的共轭复数为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用复数乘法和除法法则计算出，从而求出共轭复数.

【详解】，

则的共轭复数为.

故答案为：

14. 直线：，：，若，则________．

【答案】2

【解析】

【分析】由两直线平行的判定列方程求参数，注意验证排除重合的情况.

【详解】由题设，，则，

所以或，

当，：，：重合，不合题设；

当，：，：平行，满足题设；

故.

故答案为：2

15. 经过点与原点距离为2的直线方程为____________.

【答案】或

【解析】

【分析】分别讨论经过M点的直线斜率不存在和斜率存在，设出方程，再由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】①当经过M点的直线斜率不存在时，过点M且与原点距离为2的直线为.

②当经过M点的直线斜率存在时，可设方程，即.

依题意得：，解得，所求直线为.

综上所求直线的方程为或.

故答案为：或

16. 三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为_____．

【答案】

【解析】

【分析】设 外接圆的半径为r，由正弦定理求得 外接圆半径，继而求得外接球的半径，根据球的表面积公式可求得答案.

【详解】解：设 外接圆的半径为r，由正弦定理得 外接圆直径，所以，

所以外接球半径.

所以外接球表面积为，

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. （1）求两条平行直线与间的距离；

（2）若直线与直线垂直，求的值.

【答案】（1）1;（2）

【解析】

【分析】（1）利用两平行直线间的距离公式直接求解；

（2）根据两直线垂直的性质即可.

【详解】（1）根据平行线间的距离公式,得.

（2）由题意可知，

因为两直线垂直，所以，解得或（舍去），

经检验时，两直线垂直，满足题意.

18. 某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：）整理后得到如下表格：

（1）估计这名大学生每天课余学习时间中位数；

（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在和，这两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽到的人的课余学习时间都在的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；

（2）根据分层抽样原则可确定从和两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【小问1详解】

，，

这名大学生每天课余学习时间的中位数位于之间，

则中位数为.

【小问2详解】

由题意知：从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为，从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为；

从这人中随机抽取人，所有的基本事件为：，共个基本事件；

其中“抽到的人的课余学习时间都在”包含的基本事件为：，共个基本事件；

抽到的人的课余学习时间都在的概率.

19. 已知圆心为的圆经过点，.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知在圆C外，求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可；

（2）因为在圆C外，所以，代入求解即可.

【小问1详解】

解：设圆的标准方程为：，

代入，，

得，解得：，

所以圆的标准方程为：；

【小问2详解】

解：因为在圆C外，

所以，

又因为，，

所以，

解得或，

所以的取值范围为：.

20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且.

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）连接交于，再连接，则有∥，再根据线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立以为坐标原点， 、、所在的直线为轴、轴、轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.

【小问1详解】

证明：连接交于，再连接，

因为是矩形，所以是中点，

又因为为中点，

所以∥，

平面，平面,

所以∥平面；

【小问2详解】

解：以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的坐标系：

则有，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，

取，

设直线与平面所成角为，

则有.

所以直线与平面所成角的正弦值.

21. 已知直线交轴正半轴于，交轴正半轴于.

（1）为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；

（2）设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程.

【答案】（1）面积最小值为6，直线方程为   

（2）最小值为6，直线的方程为．

【解析】

【分析】（1）由题意可得，先求出，的坐标，进而表示的面积，然后结合基本不等式即可求解；

（2）结合直线系方程先求出，进而可求，结合向量数量积的定义及基本不等式即可求解．

【小问1详解】

由于直线交轴正半轴于，交轴正半轴于可得，

令可得，令可得，，

所以，，

所以的面积

，

当且仅当时，即取等号，此时直线的方程为；

【小问2详解】

因为直线可化为，

所以直线恒过定点，

所以，，

，

所以，

当且仅当时取等号，此时直线的方程为．

22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.

（1）求证：平面；

（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立坐标系，利用向量法进行证明．

（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量夹角公式求二面角即可．

【小问1详解】

由平面平面，且两平面交线为,为中点，，

平面，所以平面，由于平面，故，

在菱形中，，，所以为等边三角形，

又为中点，所以，

则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，，

，

，

又，，平面，平面．

  【小问2详解】

，

设，则，

，，；

由（1）知平面，

平面的一个法向量，

设平面的法向量，又

则，，即，

令，则，，，

，

令，则，

，

，所以，

，，

即锐二面角的余弦值的取值范围为．