2023-2024学年陕西省西安市西北工大附中高二上学期学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西北工大附中高二上学期学期第二次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，令，即可求解.
【详解】由，可得，所以 ，则 .
故选：B.
2．已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于正数的方程，解之即可.
【详解】抛物线的焦点为，即点为双曲线的右焦点，
所以，，因为，故.
故选：A.
3．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．28B．30C．32D．36
【答案】D
【分析】利用等差下角标的性质及等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】因为为等差数列的前n项和，，
所以.
故选：D.
4．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1）B．C．（-1，+∞）D．（-1，0）
【答案】B
【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围.
【详解】，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
5．数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830B．1820C．1810D．1800
【答案】D
【分析】当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】当为正奇数时，由题意可得，，
两式相加得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相减得.
因此，数列的前项和为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.
6．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
7．设，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．
则，，
解得，，
如图：

在中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
设 则有，，
所以，即有，所以，
所以===，
设,
则,
令，得，
所以在上恒成立,
所以在上单调递减，
当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，
所以，
即：.
故选：C.
二、多选题
9．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是的极小值点
C．函数在上有极大值D．是的极大值点
【答案】AD
【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.
【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；
当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，
故选：AD
10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
【答案】AC
【分析】根据题意列方程求得公比，可判断A;求出，利用等比数列定义可判断B；利用，可判断C；求出，可得的通项公式，判断D.
【详解】根据题意，等比数列中，，即，
又由，可得 或,
又由公比q为整数，则当时,有 ，当时, ，不合题意；
对于A，，A正确；
对于B，又由 ，则 ，则，
则，该比值不是常数，故数列不是等比数列，B错误，
对于C， ，则 ，C正确，
对于D，， 为等比数列，则 ，
故 ，数列是公差为的等差数列，D错误；
故选： ．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为D．的内切圆半径是
【答案】AC
【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径的表达式与有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D项错误.
【详解】如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B不正确；
C选项中，由，即，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.
故选：AC.
12．已知函数（）有两个不同的极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线的切线斜率不小于
B．函数的单调递减区间为
C．实数a的取值范围为
D．若函数的所有极值之和小于，则实数a的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A选项，利用导数的几何意义来求解切线斜率，结合基本不等式得到切线斜率的范围；B选项，利用导函数小于0求解单调递减区间；C选项，利用函数有两个不同的极值点，得到有两个不相等的正根，进而得到a的取值范围，D选项，结合C选项求出的a的取值范围，把极值点设出来，列出极值之和的不等式，求出a的取值范围.
【详解】对于A，当时，，，故，当且仅当时等号成立，根据导数的几何意义可知，若，则曲线的切线斜率不小于，故A正确；对于C，，，因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，故，解得：，故C错误；对于B，，，令，即，解得，由刚才的求解得到，所以均大于0，且，故当时，，故函数的单调递减区间为，故B正确；对于D，设两个极值点分别为，由刚才的分析知：，则，，则，，则，解得或，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】导函数求解函数的单调区间，要先考虑定义域，若导函数中含有参数，要对参数分类讨论，若能因式分解则先因式分解，对可能存在的零点大小进行分类讨论，若不能因式分解，则从根的判别式及两根之和与两根之积入手.
三、填空题
13．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为 ．
【答案】[1,3]
【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.
【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
14．设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为．则 ．
【答案】
【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果.
【详解】，，
在点处的切线方程为：，
令得：，
.
故答案为：
15．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点、、、，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点、、、，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，，第个正方形的面积为，则前个正方形的面积之和为 ．
【答案】
【分析】分析出数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】设第个正方形的边长为，由题意可得，且，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，前个正方形的面积之和为.
故答案为：.
16．曲线与有两条公切线，则a的取值范围为
【答案】
【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围.
【详解】对求导得：；对求导得：，
设与相切的切点为，与曲线相切的切点为，
∴公共切线斜率为，又，，
∴，整理得，
设，则，又，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴处取得极小值，也为最小值为，
由恰好存在两条公切线，即有两解，而当趋向于0时趋向于正无穷大，
令，则且，故上，即递减；上，即递增，
∴，即，故，
∴，显然当时.
∴只要，可得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设切点、，由曲线的公切线及导数的几何意义可得，构造函数并应用导数研究两个零点情况下a的范围.
四、解答题
17．已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件可得，解出即可得答案；
（2）利用裂项相消法求出答案即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以
（2）由（1）可得
所以
18．已知函数在时取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由极值点处导数为零，求出参数得到解析式；
（2）求导，讨论单调性，得到最值.
【详解】（1），
因为在时取得极值，所以，
所以
（2），令，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
19．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为8，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点M作直线与抛物线E相切于点N，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的准线方程及抛物线的定义即可求解；
（2）根据已知条件做出图形，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合向量的数量积的坐标表示即可求解.
【详解】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，
又因为点P的纵坐标为8，且，
所以，解得，
故抛物线E的方程为.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
设点，，
，
切线方程为，即，
令，可得，，
又，，，
，
，即.
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
已知数列的前项和为，，且满足______，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；若选②，利用累加法可求出；若选③，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）解：若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
当时，
，故，
也满足，故对任意的，；
若选③，因为，当时，，
两式相减可得，即，
当时，，所以，也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
所以，，所以，，即，
所以，，
，
上式下式可得
，故.
21．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用导数法求函数单调性的步骤即可求解；
【详解】（1）当时，，
，
令则，解得或，
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）,
令,依题意，当时，恒成立,
由，得，，
又因为,
所以，
当时,,
所以在单调递增，
,不合题意;
当时,令,解得,
当时，；
当时，；
所以在单调递增，在单调递减.
若要使恒成立,则需,解得，
故此时；
当时，，
所以在单调递减，
所以,符合题意；
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第一问直接利用导数法求函数单调性的步骤即可，第二问，根据已知条件将问题转化为求当时，恒成立，再利用分类讨论及导数法求函数的最值即可；
22．如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率及联立方程求解即可；
（2）设的直线方程为：，，，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及可利用向量数量积为0化简求出，据此可得三角形的面积，化简后换元利用均值不等式求最值即可.
【详解】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
【点睛】关键点点睛：由题意可设的直线方程为：，联立椭圆方程后由根与系数的关系及的向量表示化简运算求出是解题的第一个关键点，求出后知直线过定点，据此可选取恰当的表示三角形面积的方法是第二个关键点，表示出三角形面积后化简换元，利用均值不等式求最值是第三个关键点，对运算能力要求非常高.
增
极大值
减
极小值
增