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陕西省西安市碑林区铁一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
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这是一份陕西省西安市碑林区铁一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分 满分：150分
一、单选题：共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示．
则以下结论中，正确的是（ ）
A．甲校运动员得分的中位数为7.5 B．乙校运动员得分的75％分位数为10
C．甲校运动员得分的平均数大于8 D．甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差
4．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
5．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．[0，π） B．[，） C． D．[，]
7．方程表示的曲线是（ ）
A．两个圆 B．一个圆和一条直线 C．一个半圆 D．两个半圆
8．如果直线（，）和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．[，] B．（0，] C．[，） D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是1
B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个
C．过（，），（，）两点（，）的所有直线的方程为
D．直线关于点（3，2）对称的直线方程是
10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，G为的重心，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆M：，P为直线上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法中正确的是（ ）．
A．|PM|的最小值为 B．直线AB恒过定点（，）
C．的最小值为 D．|AB|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．经过点M（1，2）且与直线垂直的直线方程为________
13．已知点（4a，2b）（，）在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为________．
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数，
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积．
16．（15分）已知圆C：（），两点A（，0）、B（，0）．
（1）若，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；
（2）动点P（x，y）满足，若P的轨迹与圆C有公共点，求半径r的取值范围．
17．（15分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．
（1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；
（2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
（3）若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）
18．（16分）如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．
（1）证明：平面平面PAB，并求PD与平面PAB所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19．（18分）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M的方程为，直线与圆M交于C（，），D（，），直线与圆M交于E（，），F（，）．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
（1）当，，，时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．
时间：120分 满分：150分
一、单选题：共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示．
则以下结论中，正确的是（ ）
A．甲校运动员得分的中位数为7.5 B．乙校运动员得分的75％分位数为10
C．甲校运动员得分的平均数大于8 D．甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差
4．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
5．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．[0，π） B．[，） C． D．[，]
7．方程表示的曲线是（ ）
A．两个圆 B．一个圆和一条直线 C．一个半圆 D．两个半圆
8．如果直线（，）和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．[，] B．（0，] C．[，） D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是1
B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个
C．过（，），（，）两点（，）的所有直线的方程为
D．直线关于点（3，2）对称的直线方程是
10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，G为的重心，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆M：，P为直线上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法中正确的是（ ）．
A．|PM|的最小值为 B．直线AB恒过定点（，）
C．的最小值为 D．|AB|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．经过点M（1，2）且与直线垂直的直线方程为________
13．已知点（4a，2b）（，）在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为________．
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数，
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积．
16．（15分）已知圆C：（），两点A（，0）、B（，0）．
（1）若，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；
（2）动点P（x，y）满足，若P的轨迹与圆C有公共点，求半径r的取值范围．
17．（15分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．
（1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；
（2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
（3）若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）
18．（16分）如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．
（1）证明：平面平面PAB，并求PD与平面PAB所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19．（18分）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M的方程为，直线与圆M交于C（，），D（，），直线与圆M交于E（，），F（，）．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
（1）当，，，时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．
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