02正、余弦定理的实际应用（高度测量问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练

这是一份02正、余弦定理的实际应用（高度测量问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（ ）
A．B．C．D．
2．文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，历史上地质宫广场曾被规划为伪满洲国的国都广场．文化广场以新民主大街道路中心线至地质宫广场主楼中央为南北主轴，广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮观．现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点．测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度AB的是（ ）
A．m、、、B．m、、、
C．m、、、D．m、、、
3．如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该校旗杆顶部P的仰角为，再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆顶部P的仰角为．若，则该校旗杆的高度为（ ）

A．14米B．15米C．16米D．17米
4．地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若，则楼高AB约为（ ）
A．58米B．68米C．78米D．88米
5．翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
6．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
7．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）
A．B．C．D．
8．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、多选题
9．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角
C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和
D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角
10．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A．B．
C．D．
11．甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）
A．甲楼的高度为B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为D．乙楼的高度为
三、填空题
12．山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为 米．
13．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为 米．
14．微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机（两人的身高忽略不计），为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度，则这两个角可以是 .（写出所有符合要求的编号）
①和；②和;
③和；④和.
15．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度 ．
16．某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，甲站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，则旗杆的高EF为 米．（结果精确到0.1，参考数据：）
17．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻的高度，在处测得仰角分别为，，前进米后，又在处测得仰角分别为，，则题刻的高度约为 米．
四、解答题
18．如图，是底部不可到达的一个建筑物，为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）．
（1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式．
（2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明．
19．如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度.
20．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
参考答案：
1．B
【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可.
【详解】解：设的投影为，且，在中，，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分别用余弦定理得，
解得或（舍去），即四门通天的高度为.
故选：B
2．B
【分析】结合解三角形、正弦定理、余弦定理等知识确定正确答案.
【详解】结合选项可知是必选条件，
求的思路是：求得或中的一条，然后解直角三角形求得；
或用表示，利用余弦定理解方程来求得.
A选项，根据m、、，可利用正弦定理求得，从而求得.
B选项，m、、、四个条件，无法通过解三角形求得.
C选项，根据m、、，利用正弦定理可求得，从而求得.
D选项，由、借助直角三角形和余弦定理，用表示出，
然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得.
所以B选项的条件不能计算出.
故选：B
3．B
【分析】利用直角三角形中的边角关系列式求解旗杆高度即可.
【详解】解：如图
由题可知：（米），
则在中，①，
在中，②，
联立①②解得：（米），（米）.
即该校旗杆的高度为15米.
故选：B.
4．A
【分析】设，得到，列出方程，求得的值，即可求得楼高，得到答案.
【详解】设，则由题意可得，
所以，
解得，
所以楼高.
故选: A.
5．B
【分析】利用直角三角形中的边角关系，即可求得.
【详解】如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得为直角三角形，，，(米)，(米),设PQ=x，则,.
∴，
∴,
∴塔高(米),
故选：B
6．A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
7．A
【分析】由已知可得，在中利用正弦定理可求得.
【详解】由题可知，，则，
，
设坡角为，则由题可得，则可求得，
在中，，
由正弦定理可得，即，解得，
故宝塔的高为44m.
故选：A.
8．B
【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
9．BCD
【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.
【详解】A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．
B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．
C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度.
【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；
C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；
D.
如图，过点作,连接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.
11．AC
【分析】根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.
【详解】
如图示，
在中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在中，设，
由余弦定理得：，即
解得：
则乙楼的高度分别为.
故选：AC
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．
12．
【分析】设，根据题意结合列式求解即可.
【详解】如图，过点A作作垂线，垂足为，
由题意可知，，米，
设米，则米，米，
∵，则，解得，
所以估算木塔的高度为米．
故答案为：.
13．90
【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理求解即可.
【详解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黄河楼的估计高度为米.
故答案为：
14．①③④
【分析】①：根据已知先解得AC，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解得PA，然后可得；④：先由最小角定理的，解可得AC，然后可得.
【详解】①：当已知和时，在利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函数定义可得PC，故①正确；
②：当已知和时，在已知一角一边，在中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；
③：当已知和时，在中已知两角一边，可解出PA，然后在中，由三角函数定义可得PC，故③正确；
④：当已知和时，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函数定义可得PC，故④正确.
故答案为：①③④
15．
【分析】利用锐角三角函数的定义计算可得；
【详解】解：依题意可得，，，在中，，在中，，又，所以，解得
故答案为：
16．10.3
【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点N作CN⊥EF于N，由给定条件结合直角三角形边角关系列式即可计算旗杆EF的长．
【详解】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，如图，
显然MN=0.25m，而，则AM＝ME，令AM=ME=xm，
则CN=(x+6)m，EN=(x-0.25)m，又，
于是有，解得x≈8.8，则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3(m)，
所以旗杆的高EF为10.3m.
故答案为：10.3
【点睛】思路点睛：涉及距离、高度测量问题，可以通过作垂线，转化成解直角三角形问题解决.
17．
【分析】根据仰角的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求的高度.
【详解】因为在处看的仰角分别为，在处看的仰角分别为，
，且均为等腰直角三角形，
故．
故答案为：40.
18．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）底部不可到达，因此可用解三角形思想求解，测量出相应的线段长和角度，然后由三角形的知识进行计算．我们选用解直角三角形，注意到测角仪的高度，构建解析中的图形，测量两点处的仰角，长，同时测得测角仪高度，然后解直角三角形可得．
（2）误差产生的原因很多，如工具误差，两次测量时位置不完全一样（每个数据都可能出现误差）．
【详解】（1）选用测角仪和米尺，如图所示，
①选择一条水平基线（如图），，使三点共线；
②在两点用测角仪测得的仰角分别为，用米尺测量得，没得测角仪的高为．
③经计算建筑物（或者写成）．
（2）①测量工具问题；
②两次测量时位置的间距差；
③用身高代替测角仪的高度．
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，不可及测量问题，可通过构造三角形（最好是直角三角形），确定解此三角形所需要的元素，测了这些元素，然后求解．
19．
【分析】由题图有AO=h，BO=h，在△ABO中应用余弦定理列方程，即可求旗杆的高度.
【详解】由已知得：AO=h，BO=h，
在△ABO中，由余弦定理得：，
所以，解得h=（）.
20．
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.