02向量在物理中的应用（速度、位移的合成）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用）

这是一份02向量在物理中的应用（速度、位移的合成）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，如图，设和所成角为，若游船从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）
A．B．8
C．D．10
3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直B．
C．D．该船到达对岸所需时间为分钟
6．设表示“向东走”，表示“向西走”，则下列说法正确的是（ ）
A．表示“向东走”B．表示“向西走
C．表示“向东走”D．表示“向西走”
7．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．如图为一个空间探测器的示意图，、、、是四台喷气发动机，、的连线与空间一个固定坐标系的轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率向正方向平动，要使探测器改为正偏负的方向以原来的速率平动，则可（ ）
A．先开动适当时间，再开动适当时间
B．先开动适当时间，再开动适当时间
C．开动适当时间
D．先开动适当时间，再开动适当时间
二、多选题
9．关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
10．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
11．在水流速度为10的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）
A．北偏西30°B．北偏西60°C．20D．30
三、填空题
12．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .

13．自高处以水平速度平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物体时的速度的大小为 ，与竖直向下的方向成角为，则 （重力加速度）．
14．已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为 .
15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 .
16．有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是 ．
17．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是 （精确到）．
四、解答题
18．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）

(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
19．已知地球半径，地面附近重力加速度．要发射人造卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，卫星速度应达到多少？

20．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
参考答案：
1．B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解即可．
【详解】由题意知，
则，
所以．
故选：B．
2．A
【分析】设静水中的速度为，水流速度为，合速度，将正交分解为，由已知条件知，，进而求，即得，则可求.
【详解】设客船在静水中的速度大小为，水流速度为，则，
则船实际航行的速度，，由题意得.
把船在静水中的速度正交分解为，即，
∵ km/h，而与同向，即，
∴
∴.
故选：A.
3．B
【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.
【详解】由题意知有即所以，
故选：B．
【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.
4．D
【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.
【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.

5．B
【分析】分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
6．D
【解析】利用向量的加法则，可得的方向与同向，故可得答案.
【详解】因为表示“向东走”，表示“向西走”，两个向量方向相反，
因为，所以与同向，且的模为5，
所以表示“向西走”.
故选：D.
【点睛】本题考查共线向量的加法运算，考查平面向量的实际运用，属于基础题.
7．B
【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解.
【详解】如图，

由图可知，，所以，故，
所以又因为，所以，
所以（），故.
故选：B
8．A
【分析】对每个选项中的方案进行讨论，分析探测器所受到的推力方向以及探测器的运动状态，即可得出结论.
【详解】先开动适当时间，探测器受到的推力沿负方向，探测器沿正方向做减速运动，
再开动适当时间，又产生沿负方向的推力，探测器的合速度可以沿正偏负的方向，并以原来的速率平动，故A正确；
先开动适当时间，探测器受到的推力沿正方向，将沿正方向加速运动，
再开动适当时间，又产生沿正方向的推力，探测器的合速度在第一象限，故B错误；
先开动适当时间，探测器受到沿负方向的推力，将获得沿负方向的速度，沿轴方向的速率不变，故C错误；
先开动适当时间，探测器受到的推力沿正方向，将沿着正方向加速运动，速率大于.
再开动适当时间，探测器又受到沿负方向的推力，将获得沿负方向的速度，合速度的大小大于，故D错误.
故选：A.
9．BD
【分析】根据船的静水速度、水流速度和实际速度的关系，结合两岸间的垂直距离可求得航行时间，进而判断出结果.
【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为；
对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间；
当船速的方向与河岸垂直时，所用时间；
，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误；
对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确.
故选：BD.
10．BD
【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
11．AC
【分析】如图所示，设，，解三角形即可得出．
【详解】如图所示，设，，所以，而，所以，即船出发时行驶速度的大小为20，方向为北偏西30°．
故选：AC．
12．/
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】由题意知，
则
，因为，，
即，所以.
故答案为：
13． /0.5
【分析】由向量的加法运算以及模长公式即可求解.
【详解】由题意可知：竖直方向上的速度为，
当时，，所以物体时的速度的大小为，
，
故答案为：，

14．
【分析】先分别求出、的运动速度大小和方向,再利用表示出、的坐标,带入数量积为,即可求解.
【详解】由题意得,则,与其方向相同的单位向量为,,则,与其方向相同的单位向量为,
如图,
则,,
故,,
又,,
∴,,
,
∴.
∵,
∴,
即,解得.
故当时所需的时间为.
故答案为:2
15．
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.
【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．
故答案为：
16．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出南北两岸的距离，再计算快艇从北岸返回南岸的时间．
【详解】解：如图所示，
由题意知，，，所以，
所以南北两岸的距离为；
现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，
所以，
即从北岸出发返回南岸的时间是．
故答案为：．
17．6
【分析】先确定船的方向，再求出船的速度和时间.
【详解】
因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，
所以船的速度为km/h,
所以所用时间是.
故答案为6
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．(1)位移大小为，方向为正前方
(2)相等
【分析】（1）解直角三角形求出，再根据即可得解；
（2）根据向量加法得几何意义即可得解.
【详解】（1）由题意，为直角三角形，
由，，
得，
又，
所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方；
（2）因为，
所以中场队员的位移与球的位移相等.
19．
【分析】设出卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动的速度大小为v，结合实际，利用向量即可求出结果.
【详解】设卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动的速度大小为v．
由于使卫星做圆周运动的向心力ma是由地球引力mg提供的，因此ma＝mg，即a＝g．
如图，由于卫星在地表附近绕地球旋转，因而其运动轨道半径可近似看作是地球的半径，于是卫星旋转一周的路程是，卫星运转一周的时间．
设地球地心为点，卫星运动的方向为以点为圆心，为半径的圆的切线方向，大小为．从地心作，则模，且的方向与相同，均垂直于半径，即．
虽然卫星速度的大小不变，但其方向不断改变，这导致表示速度的有向线段的终点始终在以为圆心，为半径的圆上旋转，且的旋转速度就是卫星速度的变化速度，其大小等于卫星的加速度．
在卫星旋转过程中，，的长度都不变，夹角也不变，因而始终保持全等．
因此卫星旋转一圆，也跟着旋转一圈，点也旋转了一圈，时间仍为．
点在轨道圆上旋转一圈的路程等于圆周长，因而其速度大小为
，
因此．
所以，卫星速度应达到，即．

20．(1)
(2)
【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.
【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，
所以船只沿AB方向的速度为.
由，，根据勾股定理可得：,所以，即
由，得：，
所以.
（2）因为，所以，
即，解得：.
即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.