05向量在几何中的应用（用向量解决夹角问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通

这是一份05向量在几何中的应用（用向量解决夹角问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、的视角最大.
A．4B．5C．6D．7
2．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
4．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
6．在△中，“ ”是“△为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．且，则或
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三、填空题
11．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 .
12．，若与不成锐角，则t的取值范围为 ．
13．在平行四边形中，，则 ；点是线段上的一个动点，当最小时， ．
14．已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为 ．
15．已知向量，，，则 ．
16．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 .
四、解答题
17．如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
18．在平面直角坐标系中，点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求的面积.
19．（本小题满分１2分）
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（１） 若c=5，求sin∠A的值；
（２） 若∠A为钝角，求c的取值范围；
参考答案：
1．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
则，
则
又，且余弦函数在单调递减，
则当，即时最大.
即该人离此树6米时，看A、的视角最大.
故选：C
2．C
【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案.
【详解】由题意作图如下，设，

故向量，
因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则
又因为，所以，则，
故向量与的夹角为的夹角，故为.
故选：C.
3．B
【分析】由，可得，分析即得解
【详解】由题意，
，又
为钝角
则的形状是钝角三角形
故选：B
4．D
【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，
∴，，则，
故选：D.
【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力.
5．D
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
6．D
【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.
【详解】由，即，又，
所以，不能推出△为钝角三角形，充分性不成立；
△为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立.
所以“ ”是“△为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．A
【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值.
【详解】由题意可得：，且，
，
，∴∠AOB=90°.

如图所示，建立平面直角坐标系，设，，
由可知：，则：
，，，
则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．B
【分析】根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出，根据夹角的范围知，由此构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：，，
，
设与夹角为，则，
，，即，
，解得：且，即的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意本题两个向量所成角的范围为锐角.
9．ABC
【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】平面向量，
则，解得或，故A错误；
若，则，得，故B错误；
若，则，得，故C错误；
由（对应点在轴），，
可得或，故D正确.
故选：ABC
10．BC
【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.
【详解】对于A，由，
得，
因为∠ABC为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故A错误；
对于B，设边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，又点为公共端点，所以三点共线，
即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点O为△ABC的重心，故B正确；
对于C，因为，所以，
如图，设的中点为，的中点为，
则，所以，
又点为公共端点，所以三点共线，且，
所以，
又，
所以，即，故C正确；
对于D，由，
可得，即，
又因，所以，
所以是的角平分线，
由，
可得，即，
又，所以，
所以是的角平分线，
所以点O是且△ABC的内心，故D错误.
故选：BC.
11．
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，所以，.
又因为，所以
,
,
,
所以.
故答案为：
12．
【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可
【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角.
当夹角为0时，与同向，故，故，解得；
当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得；
故t的取值范围为
故答案为：
13． /120°/ /0.5
【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出．
【详解】
，
；
设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，
则
，
∴当时，取最小值，则．
故答案为：120°；．
14．
【分析】利用向量的数量积计算向量夹角的余弦值.
【详解】解：由题意得：

，即
，，均为单位向量
，即
故答案为：
15．
【分析】由得到C为线段DB的中点，然后根据，，求得，的坐标，再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】因为，
所以点为线段的中点，
所以，
故 ，
所以．
又，为的中点，
所以，
所以．
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决向量在平面图形中的应用问题的两种方法：
（1）基向量法．选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
（2）坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得解．
16．
【分析】根据题意，分别以，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，，，由题意，求出，得到，，根据向量夹角公式，求得，令，则，
得到，即可求出结果.
【详解】
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，
因为为的中点，为的中点，所以，，，
因此，，
所以，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，熟记向量夹角公式，以及平面向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解；
解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解；
（2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解；
又由，所以．
解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
与互补，则，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
解法2、由题意可得，，
由AM为边BC上的中线，则，
两边同时平方得，，故，
因为M为BC边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
（2）解：方法1、在中，由余弦定理，得，
所以，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以，
，
，即．
所以．
18．（1）；（2）4.
【解析】（1）由题可得,进而由求解即可；
（2）由可得,则,利用数量积可得,进而利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由题,,
若,
则,所以.
（2）若,则,所以,
则,
所以,则,
所以的面积为.
【点睛】本题考查数量积的坐标表示,考查三角形面积公式的应用,考查数量积的应用.
19．（1）
（2）c的取值范围为（，+）
【详解】(1) ,
当c=5时，
进而
(2)若A为钝角，则 -3(c-3)+( -4)2
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为（，+）