2022-2023学年湖南省娄底市新化县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市新化县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.当分式x−23x−2的值不存在，则x的值是( )
A. x=2B. x=3C. x=23D. x=32
2.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=∠C，则∠C的度数为( )
A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°
3. (−7)2的值等于( )
A. −7B. 7C. ±7D. 49
4.目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻.体温T超过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊.体温“超过37.5℃”用不等式表示为( )
A. T>37.5℃B. T<37.5℃C. T≤37.5℃D. T≥37.5℃
5.下列实数(1) 6；(2)2；(3) 15(4) x2+1；(5)12− 3中，最简二次根式的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.下列运算不正确的是( )
A. a−3⋅a7=a4B. (a−3)−2=a6
C. a2÷a×1a=a2D. a⋅a3+a2⋅a2=2a4
7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A. 每一个内角都大于60°B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60°D. 有一个内角小于60°
8.如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在( )
A. AB，AC两边中线的交点处
B. AB，AC两边高线的交点处
C. ∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D. AB，AC两边的垂直平分线的交点处
9.如图，在数轴上， 2对应的点在( )
A. 点B与点C之间B. 点C与点D之间C. 点D与点E之间D. 点E与点F之间
10.方程组x−4y=32x+y=6a的解满足不等式x−y<5，则a的范围是( )
A. a<1B. a>1C. a<2D. a>2
11.已知x=1+ 5，则代数式x2−2x−6的值是( )
A. −2 5−8B. −10C. −2D. 2 5
12.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为
( )
A. 67.5°
B. 52.5°
C. 45°
D. 75°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.0的立方根是______ ．
14.如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC的延长线上，且CD=CE，则∠D= ______ ．
15.把数0.00000004用科学记数法表示为______ ．
16.某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装至少售价______元．
17.如图，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长______．
18.人们把 5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a= 5−12，b= 5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10，….则S1+S2+⋅⋅⋅+S2023= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.先约分，再求值：2x+6x2−4x+4⋅x−2x2+3x，其中x=3．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：(−1)2022+ 12−38+12+ 3．
21.(本小题8分)
解不等式组3(x+1)≥x−1x2−1<0，并把它的解集在数轴上表示出来．
22.(本小题8分)
如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AF=CE．
试证明：BF=DE．
23.(本小题8分)
已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是 13的整数部分，求a+2b−c的平方根．
24.(本小题8分)
某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？
25.(本小题8分)
我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 ba的形式，我们把形如 ba的式子称为根分式，例如 32， x−1x都是根分式．
(1)下列式子中①aa2+1，② 3 x+1，③ a2+32，______ 是根分式(填写序号即可)；
(2)写出根分式 x−1x−2中x的取值范围______ ；
(3)已知两个根分式M= x2−6x+7x−2,N= 2x−1x−2，若M2−N2=1，求x的值．
26.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，AB=5，点D为边AB上一点，点E为边AC上一点，连接DE．
(1)如图1，过点E作EF/​/BC交AB于点F，延长ED交CB延长线于点G，若AE=BG=1，求DB的长；
(2)如图2，将DE绕点D逆时针旋转60°得到DH，连接AH，请猜想CE、AH、BD的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵分式x−23x−2的值不存在，
∴3x−2=0，
解得：x=23，
故选：C．
由分式x−23x−2的值不存在，可得3x−2=0，再解方程可得答案．
本题考查的是分式的值的含义，理解分式的值不存在的含义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠A=60°，
∴∠B+∠C=180°−60°=120°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=12×120°=60°，
故选：B．
先求解∠B+∠C=180°−60°=120°，结合∠B=∠C，从而可得答案．
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，熟练的利用三角形的内角和定理求解三角形的内角的大小是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解： (−7)2= 49=7．
故选：B．
根据算术平方根的定义解答．
本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、表示超过37.5°C，选项符合题意；
B、表示低于37.5°C，选项不符合题意；
C、表示不高于37.5°C，选项不符合题意；
D、表示不低于37.5°C，选项不符合题意．
故选：A．
超过37.5°C即大于37.5°C，用不等式表示出来即可．
本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
5.【答案】C
【解析】解：(1) 6是最简二次根式；
(2)2是整数，不是二次根式；
(3) 15= 55，因此 15不是最简二次根式；
(4) x2+1是最简二次根式；
(5)12− 3=2+ 3(2− 3)(2+ 3)=2+ 3，因此12− 3不是最简二次根式；
综上所述，最简二次根式有： 6， x2+1，共两个，
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，分母有理化，掌握最简二次根式的定义是正确判断的前提．
6.【答案】C
【解析】解：A.a−3⋅a7=a4，故此选项不符合题意；
B.(a−3)−2=a6，故此选项不符合题意；
C.a2÷a×1a=a×1a=1≠a2，故此选项符合题意；
D.a⋅a3+a2⋅a2=a4+a4=2a4，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，
∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9.【答案】C
【解析】解：∵1< 2<2，
∴ 2对应的点在1与2之间，即点D与点E之间，
故选：C．
先估算 2的大小，进而根据数轴即可求解．
本题考查了实数与数轴，正确的估算 2的大小是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：x−4y=3amp;①2x+y=6aamp;②，
①+②，得
3x−3y=3+6a，
化简，得
x−y=1+2a，
∵x−y<5，
∴1+2a<5，
解得，a<2，
故选：C．
根据方程组x−4y=32x+y=6a，可以得到用含a的代数式表示出x−y，再根据不等式x−y<5，即可求得a的取值范围．
本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
11.【答案】C
【解析】解：因为x=1+ 5，
所以x−1= 5，
x2−2x−6
=(x−1)2−7
=( 5)2−7
=5−7
=−2，
故选：C．
分析：
求出x−1= 5，再根据完全平方公式进行变形得出x2−2x−6=(x−1)2−7，再代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】
根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求得答案．
【解答】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°−75°−75°=30°，
∴∠DBE=75°−30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=12(180°−45°)=67.5°．
故选A．
13.【答案】0
【解析】解：0的立方根是0，
故答案为：0．
根据0的立方根是0填上即可．
本题考查了立方根的应用，注意：0的立方根是0．
14.【答案】30°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠ACB=∠CED+∠CDE=60°，
∴∠CDE=12×60°=30°，
故答案为：30°．
先证明∠ACB=60°，∠CED=∠CDE，结合三角形的外角的性质可得答案．
本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握“等边对等角”是解本题的关键．
15.【答案】4×10−8
【解析】解：0.00000004=4×10−8；
故答案为：4×10−8．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16.【答案】120
【解析】解：设每套童装的售价为x元，
依题意，得：1000x−10%×1000x−88×1000≥20000，
解得：x≥120．
故答案为：120．
设每套童装的售价为x元，根据利润=销售收入−税费−进货成本结合利润不低于20000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17.【答案】12
【解析】解：∵FE、NM分别为AB、AC的垂直平分线，
∴FA=FB，NA=NC，
∴△AFN的周长=AF+FN+NA=FB+FN+NC=BC=12，
故答案为：12．
根据线段的垂直平分线的性质得到FA=FB，NA=NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18.【答案】2023
【解析】解：∵ab=1，
∴S1=11+a+11+b=1+b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=11+a2+11+b2=1+b2+1+a2(1+a2)(1+b2)=2+a2+b21+a2+b2+(ab)2=2+a2+b22+a2+b2=1，
……S2=11+a10+11+b10=1+b10+1+a10(1+a10)(1+b10)=2+a10+b101+a10+b10+(ab)10=2+a10+b102+a10+b10=1，
……
∴S1+S2+⋅⋅⋅+S2023= 1+1+⋅⋅⋅+12023个1=2023．
故答案为：2023．
利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=1，S10=1，⋅⋅⋅，利用规律求解即可．
本题考查分式的加减法．找出规律是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2(x+3)(x−2)2⋅x−2x(x+3)
=2x(x−2)，
当x=3时，
原式=23×1=23．
【解析】先将分式的分子、分母因式分解，再约分即可化简，继而将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(−1)2022+ 12−38+12+ 3
=1+2 3−2+2− 3
=1+ 3．
【解析】根据乘方，算术平方根，立方根，分母有理化将原式化简，再进行加减运算即可．
本题是实数的运算，考查了二次根式加减运算，乘方，算术平方根，立方根，分母有理化．掌握相应的计算法则和运算性质是解题的关键．
21.【答案】解：解不等式3(x+1)≥x−1得：x≥−2，
解不等式 x2−1<0得：x<2，
如图，画数轴表示：
所以不等式组解集为−2≤x<2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】证明：在△ABC和△CDA中BC=DAAB=DCAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
∴∠CAB=∠ACD．
∵AB=CD，AF=CE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)．
∴BF=DE．
【解析】先利用SSS判定△ABC≌△CDA，从而得到∠CAB=∠ACD，再利用SAS判定△ABF≌△CDE，从而得到BF=DE．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS、SAS、SSS等，先证明△ABC与△CDA全等是解决本题的关键．
23.【答案】解：∵2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，
∴2a−1=9，b−1=16，
∴a=5，b=17．
∵c是 13的整数部分，3< 13<4，
∴c=3．
∴a+2b−c=5+17×2−3=36．
∵36的平方根是±6．
∴a+2b−c的平方根为±6．
【解析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出a、b、c的值；进而得出a+2b−c的值，求出它的平方根即可．
本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．
24.【答案】解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：
1936x×0.8=1936x+88，
整理得：0.8(x+88)=x，
解之得：x=352，
经检验x=352是原方程的解，
答：这个学校九年级学生有352人．
【解析】首先设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x+88，根据题意可得方程1936x×0.8=1936x+88，解方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
25.【答案】③ x≥1且x≠2
【解析】解：(1)由题意可知：③是根分式．
故答案为：③．
(2)由题意可知：x−1≥0x−2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
(3)M2=x2−6x+7(x−2)2，N2=2x−1(x−2)2，
∵M2−N2=1，
∴x2−6x+7−2x+1(x−2)2=1，
x2−8x+8(x−2)2=1，
x2−8x+8=x2−4x+4，
−4x=−4，
x=1，
经检验：x=1是原方程的解．
(1)根据根分式的定义即可求出答案．
(2)根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
(3)根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解根分式的定义，二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，本题属于基础题型．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∵EF/​/BC，
∴∠FED=∠G，∠AFE=∠ABC=60°，∠AEF=∠C=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵AE=BG=1，
∴EF=GB=1，
又∵∠EDF=∠GDB，
∴△EFD≌△GBD(AAS)，
∴DF=DB，
∵AB=5，
∴BF=AB−AF=4，
∴BD=12BF=2；
(2)CE=AH+BD，证明如下：
过点E作EM/​/BC，交AB于点M，

由(1)可知△AME是等边三角形，
∴AE=ME，∠AEM=60°，
由旋转可知，DE=DH，
∵∠HDE=60°，
∴△DEH是等边三角形，
∴HE=DE，∠HED=60°，
∴∠AEH+∠HEM=∠HEM+∠DEM=60°，
∴∠DEM=∠AEH，
∴△AEH≌△MED(SAS)，
∴AH=MD，
∴BM=BD+AH，
∵AM=AE，AB=AC，
∴BM=CE，
∴CE=AH+BD．
【解析】(1)证明△AEF是等边三角形，EF=GB=1，证明△EFD≌△GBD(AAS)，再利用全等三角形的性质可得答案；
(2)过点E作EM/​/BC，交AB于点M，由(1)可知△AME是等边三角形，由旋转可知，DE=DH，证明△DEH是等边三角形，再证明△AEH≌△MED(SAS)，BM=CE，从而可得答案．
本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．