2022-2023学年湖南省娄底市新化县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市新化县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省娄底市新化县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=8，则BC=(    )
A. 8 B. 4 C. 16 D. 2
2. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是(    )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
4. 点M(5,−4)关于x轴的对称点的坐标是(    )
A. (−5,−4) B. (5,4) C. (−5,4) D. (4,5)
5. 一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示，则正确的是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(    )


A. 三角形三个内角的角平分线的交点 B. 三角形三条边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点
7. 如图是某班级一次数学考试成绩的频数分布直方图(每组包含最大值，不包含最小值).下列说法不正确的是(    )

A. 得分在70−80分的人数最多 B. 组距为10
C. 人数最少的得分段的频率为5% D. 得分及格(>60)的有12人
8. 将函数y=2x的图象向上平移3个单位后，所得图象对应的函数表达式是(    )
A. y=2x+3 B. y=2(x+3) C. y=2x−3 D. y=2(x−3)
9. 下列命题中是真命题的是(    )
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两边相等的平行四边形是菱形
10. 如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是(    )


A. B. C. D.
11. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM/​/AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为(    )


A. 5 B. 4 C. 342 D. 34
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(−1,3)、B(1,1)、C(5,1).规定“把▱ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样，连续经过2023次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为(    )
A. (−2019,−3)
B. (−2019,3)
C. (−2020,3)
D. (−2020,−3)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 函数y= x−2023中，自变量x的取值范围是______ ．
14. 若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的面积是______ ．
15. 在一次八年级学生身高抽查中，40个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据的频率分别为0.2、0.35、0.3，则第三小组数据的频数为______ ．
16. 如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了______ 步路，却踩伤了花草(假设2步为1米)．


17. 由图可知，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中A(3,0)，B(0,2)，则点C的坐标为______ ．


18. 如图，已知直线l1：y=x+1与x轴交于点A，与直线l2：y=12x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的坐标为______．


三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
如图，在锐角三角形ABC中，高AD=12，边AC=13，BC=14，求BD的长．

20. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−1,−1)，B(−3,3)，C(−4,1)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标．

21. (本小题8.0分)
为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每一组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别(次)
频数
100∼130
48
130∼160
96
160∼190
a
190∼220
72
(1)求a的值；
(2)把频数直方图补充完整；
(3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

22. (本小题8.0分)
如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送4m(水平距离BC=4m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．


23. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若点E是BC的中点，求∠C的度数．

24. (本小题9.0分)
某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%．
(1)设该学校所买的电脑台数是x台，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)该学校如何根据所买电脑的台数选择到哪间商场购买，所需费用较少？
25. (本小题10.0分)
如图，直线l1：y1=−34x+m与y轴交于点A(0,6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB．
(1)填空：m=______，k=______；
(2)求两直线交点D的坐标；
(3)求△ABD的面积．

26. (本小题10.0分)
如图：长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合.B、D分别在x轴和y轴上，AB=8，AD=6．
(1)直接写出C点坐标；
(2)如图①折叠△CEB使B落在线段AC的B处，折痕为CE，求E点坐标；
(3)如图②点P在线段DC上，若△PAB为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=12AB，
∵AB=8，
∴BC=4，
故选：B．
根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
本题考查了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

2.【答案】B 
【解析】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

3.【答案】B 
【解析】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：180(n−2)=360，
解得：n=4，
故选：B．
根据多边形的内角和与外角和相等，列方程求解．
本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和和外角和公式是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】【试题解析】
解：点M(5,−4)关于x轴的对称点的坐标是(5,4)．
故选：B．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．


5.【答案】D 
【解析】解：对于y=x+1，
当x=0时，y=0+1=1，
当y=0时，x+1=0，解得x=−1，
∴直线y=x+1与x轴交于点(−1,0)，与y轴交于点(0,1)．
故选：D．
求出直线y=x+1与x轴和y轴的交点，即可作出判断．
此题考查了一次函数的性质，求出直线与x轴和y轴的交点是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在三角形三个内角的角平分线的交点，
故选：A．
根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：A、得分在70−80分的人数最多，本选项不符合题意．
B、组距是10，本选项不符合题意．
C、人数最少的得分段的频率为22+4+8+12+14×100%=5%，本选项不符合题意．
D、得分及格(>60)的有12+14+8+2=36人，本选项符合题意．
故选：D．
根据频数分布直方图即可一一判断．
本题考查频数分布直方图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．

8.【答案】A 
【解析】解：∵将函数y=2x的图象向上平移3个单位，
∴所得图象的函数表达式为：y=2x+3．
故选A．
直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．

9.【答案】B 
【解析】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A选项错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确；
C、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误．
故选：B．
根据正方形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．

10.【答案】D 
【解析】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．

11.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=10，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM/​/AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∴AC= AD2+CD2=2 34，
∴BO=12AC= 34，
故选：D．
已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．

12.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A(−1,3)、B(1,1)、C(5,1)，
∴D(3,3)，
把▱ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D(2,−3)，
观察，发现规律：D0(3,3)，D1(2,−3)，D2(1,3)，D3(0,−3)，D4(−1,3)，
……，
∴对于横坐标，每次变换减一，
对于纵坐标，奇数次变换为−3，偶数次变换为3，
∴经过2023次变换后，D(−2020,−3)．
故选：D．
先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
本题考查翻折变换，点的坐标−规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．

13.【答案】x≥2023 
【解析】解：由题意得：x−2023≥0，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023．
根据二次根式 a(a≥0)可得x−2023≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．

14.【答案】120 
【解析】解：∵个菱形的两条对角线长分别为10和24，
∴这个菱形的面积=12×10×24=120．
故答案为：120．
菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)，由此即可计算．
本题考查菱形的性质，菱形的面积，关键是掌握菱形面积的计算公式．

15.【答案】6 
【解析】解：∵40个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据的频率分别为0.2、0.35、0.3，
∴第三小组数据的频率为1−0.2−0.35−0.3=0.15，
∴第三小组数据的频率为0.15×40=6，
故答案为：6．
根据频率之和为1，得出第三小组数据的频率，进而即可求解．
本题考查了求频数，熟练掌握频率与频数的关系是解题的关键．

16.【答案】4 
【解析】解：根据题意得，“路”的长度= 42+32=5m，即10步，3m是6步，4m是8步，共14步，
∴少走了14−10=4步，
故答案为：4．
根据勾股定理即可求解．
本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．

17.【答案】(5,3) 
【解析】解：作CD⊥x轴于点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴CA=AB，
∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴∠DAC=∠OBA=90°−∠OAB，
在△CDA和△AOB中，
∠CDA=∠AOB∠DAC=∠OBACA=AB，
∴△CDA≌△AOB(AAS)，
∵A(3,0)，B(0,2)，
∴DA=OB=2，DC=OA=3，
∴OD=OA+DA=3+2=5，
∴点C的坐标为(5,3)，
故答案为：(5,3)．
作CD⊥x轴于点D，则∠CDA=∠AOB=90°，所以∠DAC=∠OBA=90°−∠OAB，即可证明△CDA≌△AOB，得DA=OB=2，DC=OA=3，则OD=OA+DA=3+2=5，所以C(5,3)．
此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

18.【答案】(2,0)或(5,0) 
【解析】先求得A、B的坐标，然后分两种情况讨论：当∠ACB=90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，求得C(2,0)；当∠ABC=90°时，根据勾股定理得到(x+1)2=(2+1)2+32+(2−x)2+32，解得x=5，求得C(5,0)．
解：∵直线l1：y=x+1与x轴交于点A，
∴A(−1,0)，
由y=x+1y=12x+2解得x=2y=3，
∴B(2,3)，
当∠ACB=90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，
∴C(2,0)；
当∠ABC=90°时，则AC2=AB2+BC2，
设C(x,0)，则AC2=(x+1)2，AB2=(2+1)2+32，BC2=(2−x)2+32，
∴(x+1)2=(2+1)2+32+(2−x)2+32，
解得x=5，
∴C(5,0)，
综上，点C的坐标为(2,0)或(5,0)，
故答案为(2,0)或(5,0)．
本题是两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点，直角三角形的判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键．

19.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= 132−12=5，
∵BC=14，
∴BD=BC−CD=9． 
【解析】根据垂直关系在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD，已知BC，再根据线段的和差关系可求BD．
本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．

20.【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求，B1(3,3)． 
【解析】分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出点B1的坐标即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

21.【答案】解：(1)a=360−(48+96+72)=144；
(2)补全频数分布直方图如下：


(3)该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为72360×100%=20%． 
【解析】(1)用360减去第1、2、4组的频数和即可；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．
本题考查频数(率)分布直方图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为x m，则AC=(x−1)m，
故x2=42+(x−1)2，
解得：x=8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m． 
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=42+(x−1)2．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，且BE=DF，∠B=∠D，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴∠B=60°，
∴∠BCD=180°−60°=120°． 
【解析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
(2)连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，根据菱形的性质得到AB=BC，根据等边三角形的性质得到∠B=60°，于是得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

24.【答案】解：(1)根据题意得：
甲商场的收费为：
y1=4000+(1−25%)×4000(x−1)，
即y1=3000x+1000，
乙商场的收费为：
y2=(1−20%)×4000x，
即y2=3200x，

(2)①当y1 解得：x>5，
∴当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；
②当y1>y2时，即3000x+1000>3200x，
解得：x<5，
∴当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
③当y1=y2时，即3000x+1000=3200x，
解得：x=5，
∴当购买电脑5台时，两家商场收费相同． 
【解析】(1)商场的收费的收费等于电脑的台数乘以每台的单价，则甲商场的收费y1=4000+(1−25%)×4000(x−1)，乙商场的收费y2=(1−20%)×4000x，然后整理即可；
(2)学校选择哪家商场购买更优惠就是比较y的大小，①当甲商场购买更优惠，可得y1 ②当乙商场购买更优惠，可得y1>y2，解此不等式，即可求得答案；③当两家商场收费相同，可得y1=y2，解此方程，即可求得答案．
此题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解．

25.【答案】6 12 
【解析】解：(1)∵直线l1：y1=−34x+m与y轴交于点A(0,6)，
∴代入得：6=−34×0+m，
解得：m=6，
∵直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，
∴代入得：0=−2k+1，
解得：k=12，
故答案为：6，12；

(2)∵y1=−6与y轴交于点A(0,6)与y2=12x+1的交点是D，
∴解方程组y=−34x+6y=12x+1得：x=4y=3，
∴两直线交点D得坐标为(4,3)；

(3)直线y2=12x+1，
当x=0时，y=12×0+1=1，
所以C点坐标为(0,1)，
∵A(0,6)，B(−2,0)，
所以S△ABD=S△ABC+S△ACD=12×5×2+12×5×4=5+10=15．
(1)把A、B代入相应的函数解析式，即可求出答案；
(2)解两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可；
(3)求出点C的坐标，求出AC，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了一次函数与一次函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．

26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，
∴C(8,6)；

(2)在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2=10，
∵折叠△CEB使B落在线段AC的B处，
∴△BCE≌△B1CE，
∴CB1=6，B1E=BE，∠CB1E=∠EBC=90°，
∴AB1=4，∠AB1E=90°，
∴AE2=AB12+B1E2，
即AE2=42+(8−AE)2，
解得：AE=5，∴E(5,0)；

(3)如图②，若△PAB为等腰三角形，
①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，
∴P(4,6)；
②当AB=AP=8，
∴DP= AP2−AD2= 82−62=2 7，
∴P(2 7,6)；
③当BA=BP=8，CP2+BC2=BP2，即CP2+62=82，
∴PC=2 7，
∴DP=8−2 7，
∴P(8−2 7,6)；
综上所述：若△PAB为等腰三角形，P点坐标为：(8−2 7,6)，(4,6)(2 7,6)． 
【解析】(1)根据四边形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，即可求得C(8,6)；
(2)在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC= AB2+BC2=10，根据折叠的性质得到CB1=6，B1E=BE，∠CB1E=∠EBC=90°，于是得到AB1=4，∠AB1E=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)如图②，若△PAB为等腰三角形：①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，于是得到P(4,6)；②当AB=AP=8，根据勾股定理得到DP= AP2−AD2= 82−62=2 7，求得P(2 7,6)；③当BA=BP=8，根据勾股定理得到即CP2+62=82求得P(8−2 7,6)．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求点的坐标，注意(3)要分类讨论，不要漏解．