2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的定义求解即可.
【详解】解：由题得集合是偶数集合，
所以.
故选：C
2．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】应用复数的除法求得，进而确定其共轭复数的点坐标，即可得答案.
【详解】由题设，，故，
所以对应点为在第四象限.
故选：D
3．已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（ ）
A．13B．16C．1或13D．3或16
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义直接求解.
【详解】由双曲线可得，.
因为，所以点P在双曲线C的左支上，
所以，则.
故选：A
4．若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．8
【答案】C
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图阴影部分，作直线，
由得，即．
在直线中中其纵截距，因此直线向上平移时，纵截距增大，减小，
平移直线，当它过点时，取得最小值．
故选：C
5．已知，，且，求的最小值为（ ）
A．25B．18C．13D．12
【答案】A
【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．
【详解】解：已知，，且．
，即．
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为25．
故选：A．
6．第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行．为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度，从该校名学生中，利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，若小学、初中、高中的学生人数如下表：
则从高中生中应抽取的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用分层抽样的特点求解即可.
【详解】∵高中生人数为，
∴从高中生中应抽取的人数为．
故选:.
7．函数的部分图象大致是( ).
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】定义域为R，f(－x)＝－f(x)，故为奇函数，图象关于原点对称，据此排除B、D选项；
易知x→＋时，，，，，
∵指数函数y＝比幂函数增长的速率要快，故，
即f(x)在x→＋时，图象往x轴无限靠近且在x轴上方，故A选项符合.
故选：A.
8．若等比数列的公比且，若成等差数列，则等于（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】利用等差数列求出公比，再利用等比数列的性质求解即可.
【详解】由成等差数列，得，即.
整理得，解得或.
由题意知，且，.
故选：A.
9．已知，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．6
【答案】C
【分析】利用参数方程的意义，设，，转化为三角函数求最大值.
【详解】由条件可知，
设，，
则，其中，
所以的最大值是.
故选：C
10．已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得的周长为，，进而等面积法求解即可.
【详解】解：根据题意得,，
因为过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点
所以，
根据椭圆定义得的周长为，
不妨设三角形的内切圆的半径为，
所以根据等面积法得，代入数据得
故选：C
11．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为，，与交点的横坐标大小的比较，通过数形结合的方式可确定大小关系.
【详解】在同一坐标系中分别作出，，，的图象，如图所示．

由图可知，函数，，的零点分别为，，，
则，，，所以．
故选:A
12．已知、是三次函数的两个极值点，且， ，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由极值点是方程的两解，根据二次方程根的分布可得关于的不等式组，作出不等式组表示的平面区域，由表示可行域内点与点连线斜率可得其取值范围．
【详解】由已知，因为是的极值点，
所以是方程的两个根，，，
所以，即，
作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
则表示可行域内点与点连线的斜率，
由，可得，即，
由，可得，即，
所以，，
所以的取值范围是，
故选：A．
二、填空题
13．已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算、垂直的坐标表示求解作答.
【详解】因，则，又，
于是有：，解得，
所以.
故答案为：
14．若关于的不等式的解集为，则 .
【答案】
【详解】试题分析：因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
【解析】绝对值不等式 绝对值方程
15．已知数列为等差数列，，则 ．
【答案】144
【分析】根据等差数列的性质可求得=24，再利用等差数列的前n项和公式代入求解即可.
【详解】因为，所以=48，
故答案为：144
16．某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段､黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄“电子狗”间的距离是 .
【答案】1
【分析】根据题意写出两个电子狗爬行的路线，结合周期性可求结果.
【详解】由题意，黑"电子狗"爬行路线为
，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;
同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.
黄“电子狗"爬完2009段后到达点;
此时的距离为.
故答案为: 1.
三、解答题
17．在等差数列中，设前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，
由已知得，解得，
所以.
（2）
所以.
18．已知.
(1)解不等式.
(2)若恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)或.
(2)2
【分析】（1）利用三段法求解绝对值不等式；
（2）转化为恒成立，构造，求出其单调性和最小值，从而得到，求出整数的最大值.
【详解】（1），
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为或.
（2）恒成立恒成立，
令，
当时，在单调递减，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
当时，在上单调递增，
又，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为2.
19．遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；
（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
能否据此判断有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：
，其中．
【答案】（1），大约人数为78人；（2）没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．
【分析】（1）本题可根据表中数据求出、，然后根据公式求出、，即可求出回归直线方程，最后令，即可得出结果；
（2）本题可求出，然后与表中数据进行对比，即可得出结果.
【详解】（1）由表中数据易知：，，
则，，
故所求回归直线方程为，
令，则人，
预测该路口5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78人.
（2）由表中数据可得：，
对比表中数据可知，没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关.
20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点轨迹为.
（1）求的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）消去参数化方程为直角坐标方程，然后由公式代为极坐标方程，设，得，代入极坐标方程后可得极坐标方程；
（2），得，求出的横坐标，的纵坐标，由求得面积，由，可转化为的三角函数，从而求得最小值．
【详解】（1）由平方关系消去参数得，代入得
，化简得，此为的极坐标方程；
设，若则，在上，，即，
所以极坐标方程为；
（2）由题意点直角坐标为，设，由（1），
则，，
所以．
因为，所以，
所以的最小值是2．
21．已知函数，它的导函数为.
（1）当时，求的零点；
（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.
【答案】（1）是的零点；（2）
【分析】（1）求得时的，由单调性及求得结果.
（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，.
易知为上的增函数，
又，所以是的零点.
（2），
① 当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
令，则.
② 当时，，所以在上单调递增.
又，，
所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.
③ 当时，令，得.
当）时，；当时，，
所以.
若，即当时，恒成立，
即在上单调递增，无极值点，不符合题意.
若，即当时，，
所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，
所以是的极小值点，符合题意.
综上，可知，即的取值范围为.
【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
22．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．
(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【详解】分析：(1)设圆心坐标为，根据.可由勾股定理求出r，求得圆的方程．
(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，表示出，即可判定．
详解：(1)由题可知圆心的坐标为 ∵
∴圆方程为:
(2) 由圆方程可得
①当斜率不存在时，
②当斜率存在时，设直线方程为:. 设

∴
∴
综上所述
点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点．
小学生
初中生
高中生
月份
1
2
3
4
违章驾驶员人数
125
105
100
90
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
10
20
驾龄2年以上
8
12
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879