2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期4月模拟检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期4月模拟检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若实数，则下列不等式中一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.
【详解】对于A:当时不成立，所以是错误的；
对于B:取时不成立，所以是错误的；
对于C:取时不成立，所以是错误的，
对于D:由，所以是正确的.
故选:
2．已知，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质将原式化简为化简得到.
【详解】因为

故答案为A.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
3．下列不等式中正确的是（ ）
A．若，则
B．若都是正数，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由基本不等式依次判断即可.
【详解】对于A选项，当且仅当时，有，故A错误；
对于B选项，当且仅当时，有
，故B错误；
对于C选项，时，
，故C错误；
对于D选项，当，则，所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：D.
4．已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．
【答案】B
【分析】由题意可得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】对求导得，
因为函数的一个极值点为1，
所以，
所以，
因为，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9.
故选：B.
5．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】转化，结合均值不等式，即得解
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：B
6．直线（为参数）被曲线所截的弦长为
A．4B．C．D．8
【答案】A
【详解】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为，
又由，可得表示以为圆心，
半径为的圆，此时圆心在直线上，所以截得的弦长为，故选A.
【解析】参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.
7．已知是椭圆上任意一点，则点到的距离的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点，求得点到直线的距离为，根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，点是椭圆上任意一点，
设点，
则点到直线的距离为，
当时，距离取得最大值，最大值为，故选A.
【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】，且的乘方运算是以4为周期的运算
所以，
所以复数所对应的点，在第二象限.
故选：B
9．给出一个命题：若，且，则中至少有一个小于零，在用反证法证明时，应该假设（ ）
A．中至少有一个正数B．全为正数
C．全都大于或等于0D．中至多有一个负数
【答案】C
【分析】由反证法的定义结合命题的否定可得.
【详解】因为“中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”，
所以由用反证法证明数学命题的方法时，对结论进行否定，应假设“全都大于等于”.
故选：C.
10．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由类比推理可知所求几何体体积为在底面半径，高的圆柱内，挖出一个以该圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到的新的几何体体积的倍，借助圆锥和圆柱体积公式可求得结果.
【详解】类比推理可知：若在底面半径，高的圆柱内，挖出一个以该圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到一新的几何体，则新几何体与所求橄榄状几何体的一半的体积相等.
所求体积.
故选：C.
11．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.
【详解】由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.
故选：A.
12．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.
【详解】因椭圆的离心率为，则有，
因双曲线的离心率为，则有，所以.
故选：D
二、填空题
13．已知直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周长，则的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由题意，圆心在直线上，即a+b＝1，转化，利用均值不等式即得解
【详解】直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周长，
且圆心坐标是（1，1），故a+b＝1，
所以≥2+=4
当且仅当 ，即a＝b＝时等号成立，则的最小值是4．
故答案为：4
14．某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于青年教师人数；
（ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数
若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．
【答案】12
【分析】根据给定条件，建立不等式，结合青年教师人数确定男女生人数即可得解.
【详解】设男生人数、女生人数、教师人数分别为a，b，c，则，
青年教师人数为3，因此，于是，，
所以该宣讲小组总人数为12.
故答案为：12
15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则 .
【答案】2
【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.
【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，
设，，则，
∴，∴.
故答案为：2.
16．下列说法中，正确的有 （填序号）.
①“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件；
②若：，则：；
③“，”的否定是“，”；
④若命题“”为假命题，则命题一定是假命题；
⑤是直线：和直线：垂直的充要条件.
【答案】①
【分析】根据椭圆方程的结构特征可判断①；注意到分式不等式分母不等于0可判断②；由全称命题的否定可判断③；根据复合命题的真假可判断④；由直线垂直的充要条件可判断⑤.
【详解】①中，当时，方程为，表示圆，若方程表示椭圆，则，解得或，故①正确；
②中，，故为：，而，故②不正确；
③中，“，”的否定应为“，”，故③不正确；
④中，若命题“”为假命题，有可能为真或为假，故④不正确；
⑤中，，解得或，故是直线：和直线：垂直的充分不必要条件，故⑤不正确.
故答案为：①
三、解答题
17．设命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．
(1)若，为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为真命题，知都是真命题，建立不等式求解；
（2）由是的充分不必要条件转化为q是p的充分不必要条件，建立不等式求解.
【详解】（1）由题意得，当p为真命题时，当时，；当q为真命题时，．
（1）若，有．
则当为真命题，有，得．
即
（2）若是的充分不必要条件、则q是p的充分不必要条件，
则，解得．
即.
18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为 ，求的值.
【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.
【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得直线的方程；
（2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.
【详解】（1）曲线：，直线：
（2）设：(为参数)
将的参数方程代入,
得,
,
故，,
,
故.
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
19．若函数，当时，函数取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，结合极值点和极值，列出方程求解函数的解析式；
（2）利用函数的单调性以及极值，通过有3个不等的实数解，数形结合求出k的范围．
【详解】（1）对求导，得，
由题意，得 ,解得 ,
∴.
（2）由（1）可得,令，得或,
∴当时，；当时，；
当时，.
因此，当时，取得极大值；
当时，取得极小值,
函数的大致图象图如所示.:
要使方程有3个不同的实数根，
由图可知，实数k的取值范围是.
20．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.
【分析】（1）由曲线的参数方程，利用因式分解即可得其直角坐标方程，根据可将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）由（1）知直线与轴交，则直线参数方程可写为，结合曲线并整理，应用韦达定理得、，即可求的值.
【详解】（1）曲线的参数方程为为参数，且，即，
∴曲线的直角坐标方程为.
直线的极坐标方程为，而，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）直线与轴交点记为，即，其参数方程可写为为参数)，与曲线交于，两点，
∴把直线的参数方程代入方程，得到，即有，
∴.
【点睛】关键点点睛：
（1）应用因式分解、极坐标与直角坐标关系，写出直角坐标方程；
（2）求直线与x轴交点，以交点为极点写出直线的参数方程，结合曲线方程，由韦达定理求直线与曲线的两个交点与极点的距离(它们的数量关系)，进而求.
21．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为，结合韦达定理，即可求得直线的方程，再用面积公式即可求得结果.
【详解】（1）由准线方程为知，，故；
则抛物线方程为.
（2）由题知直线的斜率显然不为0，又其过点
故设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，，
，代入韦达定理知，，
整理得：，解得，
故直线的方程为
则
.
故的面积为.
22．已知函数，.
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据在定义域上单调递增，由对任意，成立求解；
（2）求导，证明即可.
【详解】（1）解：的定义域为，，
∵在定义域上单调递增，
∴对任意，成立，
即对任意，成立，
∴的取值范围是.
（2），
∵，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值即最小值为，
∴.