2022-2023学年江苏省镇江市高三上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市高三上学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要注意集合A与B中的元素是什么，根据集合运算求解即可.
【详解】集合A中，元素是，即求函数的值域，易知；
集合B中，元素是，即求函数的定义域，所以>0，所以<2，
，.
故选：A
2. 命题“对于任意事件，”的否定是（ ）
A. 对于任意事件，B. 对于任意事件，
C. 存在事件，D. 存在事件，
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求命题的否定.
【详解】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在事件，.
故选：D.
3. 已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的性质及排列数公式计算可得.
【详解】解：对于①，故①正确；
对于②因为，所以，故②正确；
对于③因为，故③错误；
对于④，故④正确；
故选：C
4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
则表中的值为（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据回归直线必过样本点中心，代入即可求解.
【详解】，，
回归直线必过样本点中心，
代入回归方程，解得：.
故选：D
5. 日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（ ）
A. 16倍B. 20倍C. 25倍D. 32倍
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再求出的值即得解.
【详解】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，
，，
，
即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的16倍，
故选：A．
6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A. 越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】A
【解析】
【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；
根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确．
【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.
故选：A.
7. 四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.
【详解】因为，且
所以
所以，即线段的长度是.
故选：D.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A. B. C. 2D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由已知对称性得函数的图象关于点对称，关于直线对称，由此可得周期函数，周期为4，然后利用周期性和对称性结合对数运算法则求值．
【详解】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，由此解得，，
所以时，，
由对称性得，
所以，是周期函数，周期为4，
，
，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，，则下列选项正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；
对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.
【详解】向量，
对于A. 若，则，所以，故此选项错误；
对于B. 若，，则，故此选项正确；
对于C. 若，则，则，故此选项正确；
对于D. 若，则，所以，故此选项正确；
故答案为：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 有一个极值点
B. 没有零点
C. 直线是曲线的切线
D. 曲线关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为，利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据即可判断D.
【详解】解：因为，由，解得，即函数的定义域为，
所以，
令，解得，
故当时，，在时，，
故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，故A正确；
又，，
即在中存在一个零点，故B错误，
令切点为，则，即，解得或（舍去），
此时，
故不是曲线的切线，即C错误；
函数，所以函数的图象关于对称，故D正确；
故选：AD．
11. 已知函数的定义域为．（ ）
A.
B.
C.
D. 被8整除余数为7
【答案】BC
【解析】
【分析】利用赋值或，判断AB；对函数两边求导，再赋值，判断C；，展开后可判断余数，判断D.
【详解】A.当时，，①故A错误；
B.当时，，②，
①②，解得：，故B正确；
C.，令得，故C正确；
D.，所以被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
12. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.
【详解】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，故A正确；
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，故B错误；
C.设红球个数，，则数学期望，故C正确；
D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为，60百分位数为，则__________．
【答案】10
【解析】
【分析】由中位数和60百分位数的求法计算即可.
【详解】中位数，
因为，所以60百分位数，所以.
故答案为：10.
14. 已知为自然对数底数，函数的值域为，请给出函数的一个定义域__________．
【答案】 答案不唯一
【解析】
【分析】换元，令，得，先研究函数的值域为，对应的的取值范围，然后再把转换成，得到答案.
【详解】令，则，其图像如图所示，

因为，
由解得，所以在是增函数，
由解得，所以在是减函数，
所以当时，取得最小值，
令，整理得，解得或，
所以函数的值域为时，
可取，
代入，并解得，即，
故答案为： 答案不唯一.
15. 已知函数的导函数为，关于的不等式的解集为，则__________；且的最小值为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用二次不等式的解集与方程之间的关系可得出，，求出，代值计算可得的值，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为关于的不等式的解集为，则，
由韦达定理可得，可得，，可得，
，则，
所以，，
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案：；.
16. 已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的 ，求正实数的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；
（2）若选①，则是的真子集．若选②，则是的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.
【小问1详解】
因，则．
当时，，所以．
【小问2详解】
选① 因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．
所以．经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
选② 因为“”是“”成立的必要不充分条件
所以是的真子集．
所以，经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
18. 已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
（1）求展开式中的一次项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】(1)由第5项二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令为展开式中系数，根据可得或，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
【小问1详解】
解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
【小问2详解】
解：令，当时，
令，可得：,
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
19. 年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入（单位：百万元）与收益（单位：百万元）之间的五组数据如下表：
（1）请判断收益与总投入的线性相关程度，求相关系数的大小（精确到）；
（2）该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表：
问：消费者满意程度是否与性别有关？
参考公式：①；②，其中．
临界值表：
参考数据：.
【答案】（1）收益与总投入的线性相关程度较强，且相关系数约为
（2）有的把握认为消费者满意程度与性别有关．
【解析】
【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得的值，即可得出结论；
（2）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【小问1详解】
解：由表格中的数据得，．
所以
．
所以收益与总投入的线性相关程度较强，且相关系数约为．
【小问2详解】
解：列联表为
零假设消费者满意程度与性别无关，
．
所以消费者满意程度与性别无关的概率小于．
所以有的把握认为消费者满意程度与性别有关．
20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
（1）求二面角的大小；
（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）证明，，．分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
（2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，由求出即可得．
【小问1详解】
因为面，面，所以，．
,平面，
所以平面，而平面，所以
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
因为，，．
所以，取，得．所以．
因为，，，，
所以，取得，，所以．
因，
设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．
【小问2详解】
假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，
因为，所以，解得．
．
21. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）详分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得；；；，即可知的概率分布及其期望.
【详解】（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，
｛顾客抽奖1次获二等奖｝，
｛顾客抽奖1次能获奖｝，
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，
且，，，
∵，，
∴，
，
故所求概率为；
（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
∴，
于是；
；
；
，
故的分布列为
的数学期望为.
考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.
22. 已知函数（为常数，）．
（1）求函数的零点个数；
（2）已知实数、、为函数的三个不同零点．
①如果，，求证；
②如果，且、、成等差数列，请求出、、的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）①证明见解析；②，，．
【解析】
【分析】（1）由可得，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出在不同取值下，函数的零点个数；
（2）①设，则，由已知可得，化简可得出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可证得结论成立；
②分析可得，结合题意可得出关于、、的方程组，即可得解.
【小问1详解】
解：由可得，令，
则函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，
，由可得或，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有两个公共点；
当时，直线与函数的图象有三个公共点.
综上所述，当或时，有个零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点．
【小问2详解】
证明：①由（1）可知，当，时，不妨设，则，
由可得，可得，
因为，则，
所以，，，则，
由基本不等式可得，所以，.
综上所述，；
②因为、、是函数的三个不同的零点，
所以，，
因为、、成等差数列，所以，
所以，，解得.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
月份代码
1
2
3
4
5
碳酸锂价格
0.5
1
1.2
1.5
0
1
2
3
增
极大值
减
极小值
增