2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期期中考试数学（理科）试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期期中考试数学（理科）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列几何体中为圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合几何体的特征逐个判断即可.
【详解】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球．
故选：B．
2．已知向量，，且，那么实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，，解得：.
故选：B.
3．在空间直角坐标系中，已知两点坐标，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间两点间距离公式直接求解即可.
【详解】由题意得.
故选：A.
4．在正方体中，与棱异面的棱有
A．8条B．6条C．4条D．2条
【答案】C
【分析】在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.
【详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.
【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】在A中，与相交、平行或异面；在B中，与相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，.
【详解】解：由，是两条不同的直线，α时一个平面，知：
在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故D错误.
故选：C.
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求出面的法向量，再求直线与面所成角的正弦值.
【详解】
因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直，
设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图，
则
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，则，所以取，
直线与面所成角的正弦值为.
故选：A
7．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，分析即得解
【详解】由题意，向量，
故选：D
8．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（ ）
A．两个都不是白球B．两个不全是白球
C．两个都是白球D．两个球中恰好有一个白球
【答案】B
【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为，从而得到两个球不全是白球的概率为，由此得出结论.
【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，
故两个球全是白球的概率为，
故两个球不全是白球的概率为，
故选：B.
二、多选题
9．下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】ABCD
【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断ABD；举反例判断C.
【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，故A错；
用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错；
球体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错；
棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错.
故选：ABCD.
10．在棱长为的正方体中，则（ ）
A．平面
B．直线平面所成角为45°
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．点到平面的距离为
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.
【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，.
，，，，，
得，，由平面，，∴平面，A选项正确；
，，设平面的一个法向量，
则有，令，得，，则，
，所以直线平面所成角不是45°，B选项错误；
为边长为的等边三角形，，
点到平面的距离，
三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为，
所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确；
，，设平面的一个法向量，
则有，令，得，，则，
，点到平面的距离为，故D选项错误.
故选：AC
11．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为
【答案】AC
【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高.
A：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，因此本选项说法正确；
B：因为圆锥的体积为，所以本选项说法不正确；
C：设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，
当时，面积有最大值，最大值为，所以本选项说法正确；
D：因为圆锥轴截面的面积为，所以本选项说法不正确，
故选：AC
12．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．
【答案】CD
【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.
【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，
则，A不正确：
事件B含有的基本事件有8个：，，，，，，，，
其中事件，，，发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，，即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分
【答案】
【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.
【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.
故答案为：
14．已知圆锥的底面面积为，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可
【详解】解：∵圆锥的底面积为，∴圆锥的底面半径为3cm，
∵母线长为6cm，
∴侧面积为.
故答案为：.
15．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是 .
【答案】
【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件、，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率.
【详解】记甲、乙两人通过考试分别为事件、，则有，，
所求的事件可表示为，
.
故答案为：.
16．空间四边形中，平行于对角线，的平面分别交，，，于E，F，G，H.且，，.则四边形面积的最大值为 .
【答案】2
【分析】先找出截面，再判断其形状，根据三角形相似引入变量，将四边形面积转化为关于的函数，求函数最大值即可.
【详解】根据题意，作图如下：
因为平面//，又面，面面，则//；
同理可得：//，即//;
又因为平面//，又面，面面，则//;
同理可得：//，即//；故四边形为平行四边形.
又因为，故可得，故四边形为矩形.
设，由△可得：，故；
由△可得：，则，
故矩形的面积，，
当且仅当时，取得最大值，此时.
故答案为：.
四、解答题
17．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件，；
(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；
（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.
【详解】（1）由题意得，事件，
事件，
事件，
事件.
则，；
（2）由（1）知，事件，，
因为，
所以.
18．图形由矩形和扇形组合而成（如图所示），，.求将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积.
【答案】表面积，体积.
【分析】根据题意确定几何体的组成，结合题中数据可求得几何体的表面积和体积.
【详解】由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱的高为.
圆柱的底面积，圆柱的侧面积，
半球面的表面积，
则该几何体的表面积，
圆柱的体积，半球的体积，
则该几何体的体积.
【点睛】本题考查组合旋转体的表面和体积，解题的关键就是确定组合体的构成，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
19．如图，在三棱锥中，平面，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）过作于E，过作于，连接，可知二面角的平面角为，解直角三角形即可求解.
【详解】（1）由于平面ABC，所以，
由于，
所以平面，
所以.
（2）过作交AC于E，过作于，连接,如图，
由,,,
所以平面，所以,
又,,
所以平面,所以，
所以是二面角的平面角，
设，
则，，,
在中，,
在中，,
所以，
即二面角的大小为.
20．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别为的中点．求证：

(1)平面；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直三棱柱的几何性质，利用中位线定理、平行四边形的性质以及线面平行的判定定理，可得答案；
（2）根据三棱锥的几何性质，利用线面垂直的性质定理以及矩形的几何性质，结合线面垂直判定定理，可得答案.
【详解】（1）连接交于，连.

在三棱柱中，矩形中，，则，
分别为的中点，且，
又为中点，且，则且，
∴四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面.
（2），，，平面，平面，
平面，，
在矩形中，，为的中点，易证均为等腰直角三角形，，即，
，，，平面，平面.
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB．
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先由题设条件与线面垂直的判定定理证得CD⊥AD，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此可求得二面角P﹣CD﹣B的大小；
（2）先由三角形相似证得CO＝2AO，进而得到，从而证得PA//EO，再由线面垂直的性质证得EO⊥底面ABCD，由此可证平面EBD⊥平面ABCD．
【详解】（1）∵AB⊥AD，CD//AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥面ABCD，面ABCD，∴PA⊥CD，
又面PAD，则CD⊥面PAD，
又面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，
∵直线PB与CD所成的角为，CD∥AB，
∴直线PB与AB所成的角为，即，
故在直角三角形PBA中，PA＝AB，又AB＝AD，
∴在直角三角形PDA中，PA＝AD，
∴∠PDA＝45°，即二面角P﹣CD﹣B为45°.
（2）当点E在线段PC上，且PE：EC＝2：1时，平面EBD垂直平面ABCD．
理由如下：
连结AC、BD交于O点，连EO．
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，则，
∴PA∥EO，
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，
又EO在平面EBD内，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
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22．新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.
(1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.
【详解】（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.
（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
.