2023届新疆生产建设兵团第二师八一中学高三上学期开学考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届新疆生产建设兵团第二师八一中学高三上学期开学考试数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数相等可求得的方程，解出的值，即可得解.
【详解】设，则，
因为，则，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
2．i是虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】先求出复数z，再求.
【详解】因为i是虚数单位，复数，
所以，
所以.
故选：A
3．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，，
因为与互相垂直，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6B．0.5C．0.3D．0.2
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】.
故选：D.
5．由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【解析】由题意画出图形，确定积分区间，利用定积分即可得解.
【详解】由题意，曲线，直线及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：
联立方程，可得点，
因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点，则和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得和所成角的余弦值.
【详解】取的中点，连接，设，
因为是边长为的等边三角形，则，
因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，
，
因此，和所成角的余弦值为.
故选：A.
7．已知函数在处有极值10，则（ ）
A．B．0C．或0D．或6
【答案】A
【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案.
【详解】由函数有.
函数在处有极小值10.
所以，即
解得: 或
当时，
令得或，得
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
显然满足函数在处有极小值10.
当时，
所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.
所以
故选：A
【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题.
8．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到轴的距离为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设点，，
由抛物线的定义可得，
即，则中点的纵坐标为，
即的中点到轴的距离为，
故选：.
9．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.
【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，，
设平面PEF的法向量，
则，取，得，
设PB与平面PEF所成角为，
则，
∴PB与平面PEF所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】10．已知的展开式各项系数和为768，则其展开式中含项的系数为（ ）
A．70B．140C．280D．112
【答案】B
【分析】首先令得到展开式的所有项系数，再根据已知条件得出，结合二项式展开式求特定项系数即可求解.
【详解】因为根据二项展开式可知
当时，即为展开式中各项系数和，
所以，解得或
因为，所以．即，
由得，，
令，得（舍），
令2，得，
所以的展开式含的项为．
所以的展开式中含项的系数为.
故选：B．
11．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（ ）
A．17B．29C．56D．13
【答案】A
【分析】先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数.
【详解】由题意，任意安排的方法数有种，
甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种，
甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种，
所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种.
故选：A
12．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据与关于直线对称，画出图象，再结合导数及零点依次判断选项即可.
【详解】由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：
则，，，关于对称.
所以，，故B错误.
因为，，，所以，故A错误.
因为，，在上为增函数，
，，所以.
又因为点在直线上，且，所以.
，故C正确.
因为，所以，
设，，在为增函数.
所以，
即，，故D错误.
故选：C
二、填空题
13．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【详解】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
14．设随机变量，，若，则______.
【答案】
【分析】根据二项分布数学期望的计算公式可求出；由，利用二项分布概率公式可求得结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查二项分布概率公式、数学期望公式的应用问题，属于基础题.
15．已知，若，则_____________．
【答案】1
【分析】首先令，可得的值，分别令，，两式相减可得所求式子的值.
【详解】令，可得，所以．
令，得；
令，得，
两式相减求得．
故答案为：1.
16．已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的斜率为，则的离心率为______.
【答案】
【分析】由题意可知四边形为矩形，结合直线的斜率为，推得，，结合双曲线定义即可求得答案.
【详解】不妨设点P在第一象限内，因为为上关于坐标原点对称的两点，
则线段与相互平分，
所以四边形为矩形，若直线的斜率为，且，
则，则，又 ，故，
由定义可知：，可得，
故答案为：
三、解答题
17．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
【答案】（1）；
（2）2.
【分析】(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.
【详解】（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），
由余弦定理，得AB=.
（2）因为直线l的方程为，
则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为.
【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的中位数（结果精确到0.01）；
(2)按照分层抽样的方法从网课学习时间在和的学生中抽取5人，然后从这5名学生中随机抽取2人进行访谈，求这2名学生恰好来自不同组的概率；
(3)为了了解学生与家长对上网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200名家长与学生进行调查，其中家长占总人数的一半，且不支持上网课的家长占总人数的35％，不支持上网课的学生占总人数的25％，请将下面列联表补充完整，并判断是否有99.5％的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
附：，．
【答案】(1)，13.14
(2)
(3)列联表见解析，有
【分析】（1）由已知，根据题意给的频率分布直方图先求解出的值，然后设出中位数，列方程求解即可；
（2）由已知，先列出从5人中抽取2人的所有情况，然后再列出2人恰好来自不同组的的情况，然后再利用古典概型计算方法计算即可；
（3）由已知，先完成联表，然后计算的观测值，然后根据题意给出的数据比较即可得出结论.
【详解】（1）由频率分布直方图得，解得．
设中位数为x，则可知中位数位于第三组内，
∴，解得，
∴这500名学生一周上网课时间的中位数约为13.14．
（2）按照分层抽样的方法从网课学习时间在的学生中抽取2人，设为A，B，
从网课学习时间在的学生中抽取3人，设为a，b，c．
则从5人中抽取2人，有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中这2人恰好来自不同组的有，，，，，，共6情况，
∴所求概率．
（3）补充列联表如下所示，
的观测值，
∴有99.5％的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
19．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?
(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解；
（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；
（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．
【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
所以，
所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，
则他戴的是角膜塑形镜的概率是．
（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，
其中：；；
，
所以男生人数的分布列为：
所以，
（3）解：由已知可得：，
则：，，
20．如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面平面．
(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）证明：取的中点，连接、．
因为，
则，
所以，即．
又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，
则，则，，，．
令，
则．
设平面的法向量为，
则，取．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或（舍去），
故
设平面的法向量为，
所以，取．
记二面角的平面角为，所以．
21．已知椭圆的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）当直线斜率不为0时,联立直线与椭圆方程，利用设而不求法求，完成证明，再验证斜率为0是否也为定值即可.
【详解】（1）由椭圆的短轴长等于，离心率．
可得，解得，，，所以椭圆的方程为．
（2）由椭圆的方程，可得左焦点，
（i）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
设， 所以，，
所以
，
（ⅱ）当直线l的斜率不为0时，此时，
综上所述，．
【点睛】设而不求法是解决直线与椭圆的综合问题的常用方法，本题需就直线的斜率是否为0，分情况讨论.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得，然后分情况讨论即可通过导函数的正负确定的单调性. （2）将问题先转化为在上恒成立.
，构造函数，，对 进行分情况讨论，求的最小值，即可求解.
【详解】（1）的定义域是，.
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
则.
当时，，，不符合题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意；
当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.
支持上网课
不支持上网课
合计
家长
学生
合计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
支持上网课
不支持上网课
合计
家长
30
70
100
学生
50
50
100
合计
80
120
200
0
1
2