2023-2024学年河北省石家庄市河北师大附属实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市河北师大附属实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.
因为，
所以.
故选：D
2．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆方程为，由题意，从而即可求解.
【详解】解：设椭圆方程为，焦距为，
由题意，所以椭圆的离心率.
故选：B.
4．设直线和圆相交，则弦的垂直平分线的方程是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：弦AB的垂直平分线必过圆心，而圆的标准方程是，圆心，已知直线的斜率，那么垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程是，整理为，故选A.
【解析】直线方程
5．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生，
因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是；
对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是；
对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是；
对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是.
故选：A
6．已知直线与圆交于､两点，且(其中为坐标原点)，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题平方可得，化简得到，得出垂直关系，可得圆心到直线的距离，由点到线的距离公式，列式即可得解．
【详解】解：∵，则，
∴，∴，
而圆的圆心坐标为，半径为，
则，∴为等腰直角三角形，
∴，
∴圆心到直线的距离，
∴，则.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，向量的运算，解题的关键是找出，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁，考查学生运算能力和综合应用能力．
7．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】结合三角形的中位线以及椭圆的定义求得正确答案.
【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，
依题意，
由于线段的中点为，而是线段的中点，
所以,
根据椭圆的定义可知.
故选：D
8．已知实数，满足方程，则下列说法不正确的个数（ ）
①的最大值为 ②的最大值为
③的最大值为 ④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断①；同理可判断④；设，利用几何意义求得t的范围判断②；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断③.
【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，
对于①，设，则只需直线与圆有公共点，
则，解得，

即的最大值为，①正确；
对于②，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，
而上的点到原点距离的最大值为，
即t的最大值为，故的最大值为，②正确；
对于③，设，则，则直线和圆有公共点，
则，解得，即的最大值为，③错误；
对于④，设，则直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，④错误；
故选：B.
二、多选题
9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据几何方法求出弦长与已知弦长相等，解方程可得直线的斜率，进一步可得直线的倾斜角.
【详解】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为弦长为，所以，即，解得，
所以，所以直线的倾斜角为或.
故答案为：A D
【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了利用几何方法求弦长，考查了求直线的斜率和倾斜角，属于基础题.
10．中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据频率与概率的关系，结合互斥事件的加法公式逐个判断即可
【详解】，用频率估计事件发生的概率，可得，，，故ABC正确，表示事件B发生或事件C发生，故．故D错误；
故选：ABC．
11．对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆
B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．存在实数，使该方程表示双曲线
D．存在实数，使该方程表示圆
【答案】BCD
【分析】由m与之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.
【详解】方程，当，即或时表示椭圆，故A不正确；
当时，，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
当，即或时，方程表示双曲线，故C正确；
当，即时，方程为，表示圆，故D正确.
故选: BCD
12．已知正方体的棱长为，为棱上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】AC
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则、、、、、、、，设点，其中.
对于A选项，，，则，
所以，，A选项正确；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，取，可得，则，
设平面的法向量为，，
由，取，则，所以，，
，所以，二面角的大小不是，B选项错误；
对于C选项，，平面，平面，平面，
到平面的距离等于点到平面的距离，
而点到平面的距离为，即三棱锥的高为，
因此，，C选项正确；
对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，
又，，
所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
三、填空题
13．已知空间向量，则 .
【答案】5
【分析】由向量的坐标运算求解即可.
【详解】，
故答案为：5
14．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n= .
【答案】-16
【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．
【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，
解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．
故答案为：-16
15．与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是 .
【答案】
【分析】先求得椭圆的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得，进而求得所求椭圆的方程.
【详解】椭圆的半焦距为，故所求椭圆，且焦点在轴上，由于所求椭圆长轴长为，，所以.所以所求椭圆方程为.
故填：.
【点睛】本小题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
16．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是 .
【答案】
【解析】作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得.
【详解】如图，设，圆心坐标为，可得，
，，
，，解得，，
即的长是.
故答案为：
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.
四、证明题
17．已知λ∈R，求证直线l：(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0恒过定点，并求出该定点坐标.
【答案】证明见解析，定点.
【解析】将直线化为，满足即可.
【详解】将化成.
要使直线恒过定点，必须，解得，
即直线l恒过定点(2，1).
五、问答题
18．求解下列问题：
(1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
(2)求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．
【答案】(1)长轴长，短轴长，离心率，焦点，顶点.
(2)
【分析】（1）先将椭圆方程转化为标准方程，从而求得正确答案.
（2）根据已知条件求得，由此求得正确答案.
【详解】（1）椭圆可化为，
所以，
所以长轴长，短轴长，离心率，
焦点，顶点.
（2）依题意，
，，
由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.
六、应用题
19．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
（1）求所选3人都是男生的概率；
（2）求所选3人中至少有1名女生的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）本题首先可令4名男生为、、、以及2名女生为、，然后列出任选3人参加演讲比赛的所有可能情况以及都是男生的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果；
（2）本题可根据“所选3人都是男生”与“所选3人中至少有1名女生”是对立事件得出结果.
【详解】（1）令4名男生为、、、，2名女生为、,
则任选3人参加演讲比赛的所有可能情况为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共种，
满足都是男生的所有可能情况为：、、、共种，
则所选3人都是男生的概率，
（2）因为“所选3人都是男生”与“所选3人中至少有1名女生”是对立事件，
所以所选3人中至少有1名女生的概率.
【点睛】本题考查古典概型的概率的相关计算以及对立事件的相关性质的应用，能否列出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是简单题.
七、问答题
20．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
八、证明题
21．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
22．已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据上顶点的坐标和离心率求出a的值，进而得出椭圆的标准方程；
(2)设，，根据两点的坐标求出直线PM、PN的斜率，由题意列出方程，结合，解方程即可.
【详解】（1）由题意知，，
根据得：，故：椭圆C的标准方程为．
（2）依据题意可设，，则，．
因此，又因为在椭圆C上，满足，
即，所以：，得证．
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
65
16