绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（五）数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（五）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线l经过点和,则l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆焦点在y轴上,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知直线与直线间的距离为,则( )
A.或B.-9C.-9或11D.6或-4
4．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民,他们的幸福感指数分别为3,4,5,5,6,6,7,8,9,10,则这组数据的第80百分位数是( )
A.7.5B.8C.8.5D.9
5．设圆C与圆外切,与直线相切,则圆C的圆心的轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆
6．在直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7．当圆的圆心到直线的距离最大时,( )
A.B.4C.D.-4
8．已知的顶点在抛物线上,若抛物线的焦点F恰好是的重心,则的值为( )
A.3B.4C.5D.6
二、多项选择题
9．已知,,是空间中不共面的三个向量,则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
10．直线l与圆相切,且l在x轴、y轴上的截距相等,则直线l的方程可能是( )
A.B.C.D.
11．对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,若,,则( )
A.事件A与事件B互斥B.
C.事件A与事件B相互独立D.
12．已知抛物线,O为坐标原点,点P为直线上一点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,则( )
A.抛物线的准线方程为B.直线AB一定过抛物线的焦点
C.线段AB长的最小值为D.
三、填空题
13．已知直线与圆相交于A,B两点,则__________.
14．已知,为椭圆E的两个焦点,B为椭圆E短轴的一个顶点,直线与椭圆E的另一个交点为．若,则椭圆E的离心率为_____________．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为,,左顶点为A,离心率为,经过的直线与该椭圆相交于P,Q两点（其中点在P第一象限）,且,若的周长为,则该椭圆的标准方程为____________．
16．已知抛物线的焦点为F,过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A,B两点（点A在x轴的上方）,则___________．
四、解答题
17．长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训,为了选择培训的对象,2023年5月该中学进行一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩（百分制,均为整数）分成六组：第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第6组,得到频率分布直方图（如图）,观察图中信息,回答下列问题：
（1）根据频率分布直方图,估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于90分时为优秀等级,若从成绩在第5组和第6组的学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.
18．在平行六面体中,,,E为线段上更靠近A的三等分点
（1）用向量,,表示向量;
（2）求;
（3）求.
19．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神,某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,;甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
20．已知的圆心在x上,经过点,并且与直线相切.
（1）求的方程;
（2）过点的直线l与交于A、B两点,
（i）若,求直线l的方程;
（ii）求弦AB最短时直线l的方程.
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,为正三角形,平面平面ABCD,E为线段AB的中点,M是线段PD（不含端点）上的一个动点．
（1）记平面BCM交PA于点N,求证：平面PBC;
（2）是否存在点M,使得二面角的正弦值为,若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由．
22．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.
（1）求抛物线C的方程;
（2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程.
参考答案
1．答案：C
解析：设直线l的倾斜角为,
因为,
所以且,
所以,
故选：C.
2．答案：A
解析：因为椭圆的焦点在y轴上,
所以有,解得.
故选：A.
3．答案：A
解析：直线可化为,
所以,解得或．
故选：A.
4．答案：C
解析：因为,
所以第80百分位数是.
故选：C.
5．答案：A
解析：设C的坐标为,圆C的半径为r圆的圆心为A,
圆C与圆外切,与直线相切
,C到直线的距离
,即动点C到定点A的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.
故选：A.
6．答案：A
解析：以点C为原点,以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
,,所以,,
所以,
故选：A.
7．答案：C
解析：因为圆的圆心为,半径,
又直线,化为,
则直线l过定点,
故当CA与直线l垂直时,圆心到直线的距离最大,
此时有,
解得.
故选：C.
8．答案：A
解析：设,,
抛物线,则,
焦点F恰好是的重心,
则,
故．
故选：A．
9．答案：BC
解析：对于选项：因为,
所以,,三个向量共面,
故不能构成空间的一个基底,故A错误;
对于选项D：因为,
所以,,三个向量共面,
故不能构成空间的一个基底,故D错误;
因为,,是空间中不共面的三个向量,
对于选项B：设,显然不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故B正确;
对于选项C：设,
则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故C正确;
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为,半径,
依题意直线l的斜率存在,
若直线l过坐标原点,设直线l为,即,
则,解得,
所以直线l的方程为或;
若直线l不过坐标原点,设直线l为（）,即,
则,解得（舍去）或,
所以直线l的方程为,
综上可得直线l的方程为或或.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：因为,,,
所以,又,则,所以,B正确;
因为,所以事件A与事件B相互独立,C正确;
所以,D正确;
因为,所以事件A与事件B不是互斥事件,A错误.
故选：BCD.
12．答案：ACD
解析：由抛物线可知,焦点坐标为,准线方程为,故选项A正确;
设,显然直线PA存在斜率且不为零,设为,方程为,
与抛物线方程联立,得,
因为PA是该抛物线的切线,所以,即,
且A的纵坐标为：,代入抛物线方程中可得A的横坐标为：,
设直线PA存在斜率且不为零,设为,
同理可得：,且B的纵坐标为：,横坐标为,
显然、是方程的两个不等实根,所以,
因为,
所以,因此选项D正确;
由上可知：AB的斜率为,
直线AB的方程为：,即,
又,所以,
所以,即,
所以直线AB一定过,显然该点不是抛物线的焦点,因此选项B不正确,
由题意知,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为,,,
由得,所以,,
所以
,当且仅当时等号成立,故选项C正确;
故选：ACD.
13．答案：4
解析：设圆心O到直线的距离为d,因为,
所以.
故答案为：4.
14．答案：
解析：不妨取B为上顶点,如图所示：
则,设,则,
则,
整理得到,,
中,根据余弦定理：,
整理得到,即.
故答案为：.
15．答案：
解析：由椭圆的离心率为,可得
因为,所以,
又因为,因此的周长与的周长之比为,
因为的周长为,所以的周长为10,
由椭圆的定义,可得,
结合,解得,于是,
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．
16．答案：
解析：抛物线的焦点为,准线方程为：,
直线AB的方程为：,由消去y并整理得：,解得,,
依题意,点A的横坐标,点B的横坐标,
由抛物线定义得：.
故答案为：.
17．答案：（1）平均分约为66.8;第71百分位数为75;
（2）.
解析：（1）,
所以本次考试成绩的平均分约为66.8;
因为成绩在的频率为,
成绩在的频率为,
所以第71百分位数位于,
设其为x,则,
解得,所以第71百分位数为75;
（2）第5组的人数为：人,可记为A,B,C,D;
第6组的人数为：人,可记为a,b,c;
则从中任取2人,有,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,共21种情况,
其中至少有1人成绩优秀的情况有,,,,,,
,,,,,,,,共15种情况.
所以至少有1人成绩优秀的概率.
18．答案：（1）
（2）
（3）10
解析：（1）如图,
.
（2）
,
.
（3）
.
19．答案：（1）派甲参赛赢得比赛的概率更大
（2）
解析：（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”,
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”,
则表示“甲赢得比赛”,,
表示“乙赢得比赛“,
因为,所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设C表示“甲赢得比赛”,D表示“乙赢得比赛”,
,,
因此“两人中至少有一个赢得比赛”的概率为．
20．答案：（1）
（2）①或;②.
解析：（1）设圆心为,由题意可得,解得,
所以,圆的半径为,因此,圆C的标准方程为.
（2）①当时,圆心C到直线l的距离为,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时,圆心C到直线l的距离为,合乎题意,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即,
则,解得,此时,直线l的方程为.
综上所述,直线l的方程为或.
②当时,圆心C到直线l的距离最大,此时,取最小值,
因为,则,
此时,直线l的方程为,即.
21．答案：（1）证明见解析
（2）存在,点M为线段PD上靠近点P的三等分点,理由见解析
解析：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形,则,
因为平面PAD,平面PAD,所以,平面PAD,
因为平面BCM,平面平面,则,
因为平面PBC,平面PBC,因此,平面PBC.
（2）连接PE、CE、AC,
因为为等边三角形,E为AB的中点,则,
因为平面平面ABCD,平面平面,平面PAB,
所以,平面ABCD,
因为四边形ABCD是边长为2的菱形,则,
又因为,则为等边三角形,则,
以点E为坐标原点,EB、EC、EP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
设,其中,
设平面PBC的法向量为,,,
则,取,可得,
设平面BCM的法向量为,
,
则,
取,则,,所以,,
由题意可得,
整理可得,即,因为,解得,
故当点M为线段PD上靠近点P的三等分点时,二面角的正弦值为.
22．答案：（1）
（2）或
解析：（1）依题意得,焦点到准线的距离不大于3,所以,
设,由FM的中点坐标为,
得,解得,
因为在抛物线,所以
即,解得或（舍）,
所以抛物线C的方程为.
（2）如图所示,
根据题意直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为,
设,,AB,中点,
由,
,
,
所以,
则
所以,
又因为AB的中点到准线的距离等于,
所以当最小时,的中点到准线的距离最短.
因为,
当且仅当时,解得,则.
所以直线AB的方程为或.