2023-2024学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二上学期阶段质量检测（二）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二上学期阶段质量检测（二）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（ ）
A．1B．6C．0或6D．0
【答案】D
【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直，
所以直线斜率存在，
由经过点和，所以直线斜率为，
所以，解得：，
故选：D
2．已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】D
【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解.
【详解】因为可化为
则，半径，
因为可化为，
则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.
故选：D.
3．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
4．直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求出A，B点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出AB中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.
【详解】由题：
法一：根据圆的直径式方程可以得到：
以线段AB为直径的圆的方程为，即，
故选：B.
法二：AB中点为(2,1)，
故以线段AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为，
所以圆的方程为，展开化简得：，
故选：B.
5．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线焦点位置和渐近线方程，确定，的关系，从而求离心率的值.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，∴，
∴.
故选：B
6．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ）
A．，或B．，或
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.
【详解】设，直线过和，
当时，直线、直线与轴为成的三角形是，
不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.
设关于轴的对称点为，
当直线过两点时，，三角形是等腰三角形，
同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，
所以，此时直线的方程为
设直线与轴相交于点，如图所示，若，
则，所以直线，也即直线的斜率为，
对应方程为.
故选：A
7．设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】椭圆与双曲线共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点，得，，运用余弦定理求解即可.
【详解】
因为，
设椭圆与双曲线在第一象限的交点，
由抛物线和双曲线的定义得，，，
所以，，，
，
，
故选：B.
8．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围；
【详解】解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以
故选：A
二、多选题
9．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相切
B．圆截y轴所得的弦长为
C．点在圆外
D．圆上的点到直线的最小距离为
【答案】AC
【分析】由直线与圆的位置关系可以判断AB，由点与圆的位置关系可以判断C，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离的公式可判断D
【详解】因为，
所以，
则圆心，半径，
对于A：因为圆心到直线的距离为，故A正确；
对于B：圆截y轴所得的弦长为，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：因为圆心到直线的距离为，
则圆上点到直线的最小距离为，故D错误.
故选：AC.
10．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是2
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得，所以直线的斜率为，
对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，
故选项A不正确；
对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；
对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：设与直线平行的直线方程是，则，
可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；
故选：CD.
11．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
12．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的面积的最大值为
C．的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
【答案】BCD
【分析】由题意得是等边三角形，从而可求得，再根据通径可求得，即可求得椭圆方程，由当点位于上下顶点时，最大，结合余弦定理即可判断A；设，再根据即可判断B；根据数量积的坐标表示结合的范围，即可判断C；分别分析以三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断D.
【详解】解：由题意得是等边三角形，
所以的周长为，所以，
令，则，
则，所以，
所以椭圆，
对于A，当点位于上下顶点时，最大，
此时的最小为，
故A错误；
对于B，设，
则，
所以的面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，
则，所以，
又，
则，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，由A选项可知，最大时为锐角，
所以以点为直角顶点的不存在，
以点为直角顶点的分别有2个，
所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若，则 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算法则，以及空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故答案为：.
14．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ．
【答案】
【分析】求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
【详解】中点坐标为，即，
所以边上的中线所在的直线方程是：，
整理得：.
故答案为：
15．已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ．
【答案】/
【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可.
【详解】设点P的坐标为.
因为，所以，
整理得，即.
所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆.
所以轨迹形成的图形面积.
故答案为：
16．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是
【答案】28
【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知①，②，两式相加再结合已知即可求解.
【详解】解：由题意知：，故.
由双曲线的定义知①，②，
①＋②得：，所以，
所以的周长是.
故答案为：28.
【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.
四、解答题
17．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：平面AEC；
（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连BD，设BD∩AC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到．再利用线面平行的判定定理证明.

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解.
【详解】（1）如图所示：
连BD，设BD∩AC=O，连EO，
因为E是PD的中点，O为BD的中点，
所以．
又因为平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，．
设为平面AEC的一个法向量，
则，
令，则，
又为平面DAE的一个法向量，
由向量的夹角公式，可得
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.
18．在平面直角坐标系中，设圆的圆心在上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意，设圆心的坐标为，半径为，由分析可得，即可求出圆的方程；
（2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径，列式解方程即可得出答案.
【详解】（1）根据题意，圆的圆心在上，
设圆心的坐标为，半径为，
又因为圆与轴相切于点，则，
则圆的方程为 ；
（2）根据题意，分两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
到直线的距离为，直线与圆相切，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
若直线与圆相切，则有：，解可得：，
此时直线的方程为：，即.
则过点且与圆相切的直线方程为：或.
19．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
【答案】（1）圆 的圆心坐标为，
即抛物线的焦点为,……………………3分
∴ ∴抛物线方程为……………………6分
1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0
设，则，
……………………11分
∴
【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
20．已知双曲线的离心率为，点在上．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；；定点．
【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q.
【详解】解：（1）由题意，，解得，．
∴双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，设定点，
联立，得．
∴，且，解得且．
设，，
∴，，
∴，
．
∴
为常数，与无关，
∴，即，此时．
∴在轴上存在定点，使得为常数．
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.