2023-2024学年江西重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4}，A={x|x2−3x+2=0}，则∁UA=( )
A. {1}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}
2.已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定是( )
A. ∀n∈N，n2<2nB. ∃n∈N，n2≤2n
C. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n
3.已知p：“x−1= x−1”，q：“x=2”，则p是q的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若P= a+ a+5，Q= a+2+ a+3(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )
A. P>QB. P=QC. P5.若不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−13≤x≤2}，则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. {x|−3C. {x|x<−3或x>12}D. {x|x<−12或x>3}
6.某校高一6班有学生50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中A活动参与的人数有30人，B活动参与的人数有25人，由于个人原因有5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为( )
A. 40B. 35C. 30D. 25
7.“a>b”成立的一个充分不必要条件是( )
A. 1a<1bB. a3>b3
C. a3+ab2>a2b+b3D. ac2>bc2
8.已知x>0，y>0，且x+y+xy=8，若不等式x+y≥m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. {m|−4≤m≤1}B. {m|−1≤m≤4}
C. {m|m≤−4或m≥1}D. {m|m≤−1或m≥4}
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 空集是任何集合的真子集
B. 集合{a,b}共有4个子集
C. 集合{x|x=3n+1,n∈Z}={x|x=3n−2,n∈Z}
D. 集合{x|x=1+a2,a∈N*}={x|x=a2−4a+5,a∈N*}
10.图中阴影部分所表示的集合是( )
A. N∩∁UM
B. M∩∁UN
C. [∁U(M∩N)]∩N
D. (∁UM)∩(∁UN)
11.若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A. mn的最大值为18B. 1m+1n的最小值为4 2
C. mm+1+nn+2的最大值为25D. 4m2+n2的最小值为12
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中不正确的是( )
A. abc<0B. b2−4ac<0C. (a+c)2b
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知命题p：∀x∈R，x2+2x+a≥0，若命题p的否定为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
14.已知集合M={a2,a+1,−3}，P={a−3,2a−1,a2+1}，M∩P={−3}，则a= ______ ．
15.已知集合A={x|x2+ax+1=0}，B={x|x2+(a−1)x+2=0}，若A、B中至少有一个非空，则实数a的取值范围是______ ．
16.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={(x,y)||x|≤1，|y|≤1，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A，(x2,y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知全集U=R，集合A={x|3k−1(1)当k=−2时，求A∪B，A∩(∁UB)；
(2)若“x∈B”是“x∈A”成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围．
18.(本小题12.0分)
(1)已知−1≤x+y≤2，2≤x−y≤4，求x−3y的取值范围；
(2)已知x>3，求y=x2−10x+30x−3的最小值．
19.(本小题12.0分)
已知函数y=(a+1)x2−(a+1)x+1(a∈R)．
(1)若关于x的不等式y≥0的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式y≤0的解集是P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P⋂Q=⌀，求实数a的取值范围．
20.(本小题12.0分)
“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系式可近似地表示为y=12x2−300x+125000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
(2)该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
21.(本小题12.0分)
已知二次函数的图像经过点(0,−5)和(6,−5)，且函数在x∈R上的最大值为4．
(1)求函数的解析式；
(2)当t≤x≤t+2时，函数的最大值为m，最小值为n，且m−n=2，求t的值．
22.(本小题12.0分)
已知a、b、c>0，且a2+b2+c2=1.求证：
(1)(1−a2)(1−b2)(1−c2)≥8a2b2c2；
(2)a+b+c≤ 3；
(3)1a+1b+1c≥3 3．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，
又全集U={1,2,3,4}，所以∁UA={3,4}．
故选：C．
首先求出集合A，再根据补集的定义计算可得．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题p：∃n∈N，n2>2n的否定为：∀n∈N，n2≤2n．
故选：C．
由题意直接写出存在量词命题的否定即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对于p，令t= x−1≥0，可得t2=t，
即t(t−1)=0，故t=1或t=0，
解得x=1或x=2，故p是q的必要不充分条件．
故选：A．
先求得p中对应x的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案．
此题考查了方程的解法，考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵P= a+ a+5，Q= a+2+ a+3(a≥0)，
∴P>0，Q>0，
∴P2=2a+5+2 a(a+5)=2a+5+2 a2+5a，
Q2=2a+5+2 (a+2)(a+3)=2a+5+2 a2+5a+6，
∵a2+5a∴ a2+5a< a2+5a+6，
∴P2∴P故选：C．
将P、Q两边平方，即可得到P2本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−13≤x≤2}，
所以−13和2为方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，
所以−13+2=−ba−13×2=ca，即b=−53a，c=−23a，
所以不等式cx2+bx+a<0，可化为不等式−23ax2−53ax+a<0，
即2x2+5x−3<0，即(2x−1)(x+3)<0，解得−3所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|−3故选：A．
由题意得−13和2是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，利用根与系数的关系得出a、b、c的关系，把不等式cx2+bx+a<0化简求解即可．
本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：依题意参加A、B两项活动的有30+25+5−50=10人，
则仅参与一个活动的人数为30+25−10×2=35人．
故选：B．
首先求出参加A、B两项活动的人数，即可求出仅参与一个活动的人数．
本题考查集合的运算，集合的实际应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，由1a<1b，可知a>b>0或b>0>a，故不是充分条件，所以A错误；
对于B，a3>b3等价于a>b，所以是充要条件，不满足题意，故B错误；
对于C，a3+ab2>a2b+b3，即a2(a−b)+b2(a−b)>0，即(a−b)(a2+b2)>0，
可知a>b是a3+ab2>a2b+b3充要条件，不满足题意，故C错误，
对于D，由ac2>bc2，可得a>b，充分性成立，
当c=0时，由a>b推不出ac2>bc2，必要性不成立，满足题意．
故选：D．
根据题意，对各选项的条件逐项分析，找出其中的充分不必要条件，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的基本性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+y+xy=8，
所以8−(x+y)=xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y=2时等号成立，
所以x+y≥4或x+y≤−8(舍去)，
即(x+y)min=4，当且仅当x=y=2时取得，
因为不等式x+y≥m2−3m恒成立，所以m2−3m≤(x+y)min，
即m2−3m≤4，解得−1≤m≤4，即实数m的取值范围是{m|−1≤m≤4}．
故选：B．
首先利用基本不等式求出x+y的最小值，依题意m2−3m≤(x+y)min，即可得到关于m的一元二次不等式，解得即可．
本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A：空集是任何非空集合的真子集，故A错误；
对于B：集合{a,b}的子集有⌀，{a}，{b}，{a,b}共4个，故B正确，
对于C：集合{x|x=3n+1,n∈Z}={⋯,−8,−5,−2,1,4,7,10,13,⋯}，
集合{x|x=3n−2,n∈Z}={⋯,−8,−5,−2,1,4,7,10,13,⋯}，
所以{x|x=3n+1,n∈Z}={x|x=3n−2,n∈Z}，故C正确；
对于D：因为集合{x|x=1+a2,a∈N*}={2,5,10,17,26,⋯}，
即集合{x|x=1+a2,a∈N*}的最小元素为2，
而集合{x|x=a2−4a+5=(a−2)2+1,a∈N*}={1,2,5,10,17,26,⋯}，
即集合{x|x=a2−4a+5,a∈N*}的最小元素为1，
所以{x|x=1+a2,a∈N*}≠{x|x=a2−4a+5,a∈N*}，故D错误．
故选：BC．
根据空集的定义判断A，写出集合{a,b}的子集，即可判断B，利用列举法表示集合，即可判断C、D．
本题考查空集、子集的概念以及列举法相关知识，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：如图所示的韦恩图，
A选项：N∩CUM=②，故A正确；
B选项：M∩CUN=④，故B错；
C选项：[∁U(M∩N)]∩N=②，故C正确；
D选项：(∁UM)∩(∁UN)=CU(M∪N)=①，故D错．
故选：AC．
根据交并补的计算和韦恩图判断即可．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为实数m>0，n>0，所以2m+n=1≥2 2mn，即mn≤18，
当且仅当n=12m=14时取等号，所以mn的最大值为18，故A正确；
对于B：因为1m+1n=(2m+n)(1m+1n)=3+nm+2mn≥3+2 nm⋅2mn=3+2 2，
当且仅当nm=2mn，又因为2m+n=1，所以m=2− 22n= 2−1时取等号，故B错误；
对于C：因为2m+n=1，m>0，n>0，所以2(m+1)+(n+2)=5，
又mm+1+nn+2=m+1−1m+1+n+2−2n+2=2−(1m+1+2n+2)，
所以1m+1+2n+2=15[2(m+1)+(n+2)](1m+1+2n+2)
=15[4+n+2m+1+4(m+1)n+2]≥15(4+2 n+2m+1⋅4(m+1)n+2)=85，
当且仅当n+2m+1=4(m+1)n+2且2m+n=1，即m=14，n=12时取等号，
所以mm+1+nn+2=2−(1m+1+2n+2)≤25，当且仅当m=14，n=12时取等号，故C正确；
对于D：因为2m+n=1，m>0，n>0，
所以1=(2m+n)2=4m2+n2+4mn=4m2+n2+2 4m2⋅ n2≤2(4m2+n2)，
所以4m2+n2≥12，当且仅当4m2=n22m+n=1，即m=14n=12时取等号，故D正确．
故选：ACD．
利用基本不等式一一计算可得．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：由图象可知，图象开口向下，对称轴位于区间(−1,0)，
图象与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，
所以a<0，c>0，Δ=b2−4ac>0，−1<−b2a<0，
故b<0，2a>b，abc>0，
如图可知，当x=−1时，y>0，当x=1时，y<0，
所以a−b+c>0，a+b+c<0，
所以(a−b+c)(a+b+c)<0，即(a+c)2−b2<0，
所以(a+c)2综上所述，AB错误，CD正确．
故选：AB．
利用二次函数图象开口方向，与x轴，y轴的交点，以及特殊点作出判断．
此题考查二次函数的图象性质，属于基础题．
13.【答案】{a|a<1}
【解析】解：命题p：∀x∈R，x2+2x+a≥0的否定为：∃x∈R，x2+2x+a<0，
因为命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R，x2+2x+a<0”为真命题，
所以Δ=22−4a>0，解得a<1，
即实数a的取值范围是{a|a<1}．
故答案为：{a|a<1}．
首先写出命题p的否定，依题意可得Δ>0，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：因为M∩P={−3}，
所以−3∈P，易知a2+1≠−3，
当a−3=−3时，a=0，此时M={0,1,−3}，P={−3,−1,1}，不合题意舍去；
当2a−1=−3时，a=−1，此时M={1,0,−3}，P={−4,−3,2}，满足题意，
所以a=−1．
故答案为：−1．
根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出a=−1符合题意．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15.【答案】{a|a≤1−2 2或a≥2}
【解析】解：若A={x|x2+ax+1=0}=⌀，则Δ=a2−4<0，解得−2若B={x|x2+(a−1)x+2=0}=⌀，则Δ1=(a−1)2−4×2<0，解得1−2 2若A、B均为空集，此时−2因为A、B中至少有一个非空，所以a≤1−2 2或a≥2，
即实数a的取值范围是{a|a≤1−2 2或a≥2}．
故答案为：{a|a≤1−2 2或a≥2}．
首先求出集合A、B为空集时参数的取值范围，从而求出A、B均为空集时a的取值范围，再求其对立面即可．
本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】21
【解析】解：∵A={(x,y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}={(0,1)，(0,−1)，(1,0)，(−1,0)，(0,0)}，
B={(x,y)||x|≤1，|y|≤1，x，y∈Z}={(−1,1)，(−1,0)，(−1,−1)，(0,1)，(0,0)，(0,−1)，(1,1)，(1,0)，(1,−1)}，
又A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A，(x2,y2)∈B}，
∴A⊕B={(−2,1)，(−2,0)，(−2,−1)，(−1,0)，(−1,1)，(−1,2)，(−1,−1)，(−1,−2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,−1)，(0,−2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,−1)，(1,−2)，(2,0)，(2,1)，(2,−1)}，
所以A⊕B中元素的共21个．
故答案为：21
首先用列举法表示集合A、B，从而得到A⊕B，即可得解．
本题考查集合新定义，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由x2−x−12≤0，即(x+3)(x−4)≤0，
解得−3≤x≤4，
所以B={x|x2−x−12≤0}={x|−3≤x≤4}，
当k=−2时A={x|−7所以A∪B={x|−74}，
所以A⋂(∁UB)={x|−7(2)若“x∈B”是“x∈A”成立的必要不充分条件，
则A⫋B，
当A=⌀时，3k−1≥k+3，解得k≥2，符合题意；
当A≠⌀时，3k−1综上所述，实数k的取值范围为{k|−23≤k≤1或k≥2}．
【解析】(1)首先解一元二次不等式求出集合B，再根据集合的运算法则计算可得；
(2)依题意可得AB，再分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论，分别求出参数的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)令x−3y=m(x+y)+n(x−y)，则m+n=1m−n=−3，解得m=−1n=2，
所以x−3y=−(x+y)+2(x−y)，
因为−1≤x+y≤2，2≤x−y≤4，
所以−2≤−(x+y)≤1，4≤2(x−y)≤8，
所以2≤−(x+y)+2(x−y)≤9，即2≤x−3y≤9，
所以x−3y的取值范围为[2,9]．
(2)因为x>3，所以x−3>0，
所以y=x2−10x+30x−3=(x−3)2−4(x−3)+9x−3
=(x−3)+9x−3−4≥2 (x−3)⋅9x−3−4=2，
当且仅当x−3=9x−3，即x=6时取等号，
所以y=x2−10x+30x−3的最小值为2．
【解析】(1)令x−3y=m(x+y)+n(x−y)，求出m、n的值，即可得到x−3y=−(x+y)+2(x−y)，再利用不等式的性质计算可得；
(2)由y=x2−10x+30x−3=(x−3)+9x−3−4，再利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题设y=(a+1)x2−(a+1)x+1≥0在x∈R恒成立，
显然a+1=0，即a=−1时y=1>0，满足在x∈R上恒成立；
由a+1>0Δ=(a+1)2−4(a+1)≤0⇒a+1>0a−3≤0⇒−1综上所述a的取值范围为[−1,3]．
(2)由题设y=f(x)=(a+1)x2−(a+1)x+1>0在x∈[0,1]上恒成立，
当a+1=0，即a=−1时y=1>0，满足在x∈[0,1]上恒成立；
当a+1≠0时，函数对称轴为x=12∈[0,1]，
当a+1>0，即a>−1时，只需Δ=(a+1)2−4(a+1)<0，即a<3，故−1当a+1<0，即a<−1时，只需f(1)=(a+1)−(a+1)+1=1>0，也满足题设；
综上，a的取值范围为(−∞,3)．
【解析】(1)由y≥0在x∈R恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式组求参数范围；
(2)问题化为y=f(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，讨论a+1符号，结合二次函数性质求参数范围．
本题考查的知识要点：二次函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意y=12x2−300x+125000(300≤x≤600)，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为yx=12x−300+125000x≥2 12x⋅125000x−300=200元，
当且仅当12x=125000x，即x=500时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低．
(2)设该企业每月的利润为P(x)，
则P(x)=100x−(12x2−300x+125000)=−12x2+400x−125000=−12(x−400)2−45000，
因为300≤x≤600，
所以当x=400时，函数P(x)取得最大值，即P(x)max=P(400)=−45000，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴45000元才能使该企业在该措施下不亏损．
【解析】(1)由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
(2)由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为二次函数的图像经过点(0,−5)和(6,−5)，所以函数的对称轴为x=0+62=3，
又函数在x∈R上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为(3,4)，开口向下，
设y=f(x)=a(x−3)2+4(a<0)，则−5=a(0−3)2+4，解得a=−1，
所以f(x)=−(x−3)2+4．
(2)由(1)可知f(x)=−(x−3)2+4，
函数在(−∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，
当t+2≤3，即t≤1时f(x)在[t,t+2]上单调递增，所以m=f(t+2)=−(t−1)2+4，
n=f(t)=−(t−3)2+4，
因为m−n=2，即−(t−1)2+4−[−(t−3)2+4]=2，解得t=32(舍去)；
当t+2>3t+1<3，即1所以m=f(3)=4，n=f(t)=−(t−3)2+4，
又m−n=2，所以4−[−(t−3)2+4]=2，解得t=3+ 2(舍去)或t=3− 2；
当t+1≥3t<3，即2≤t<3是f(x)在[t,3]上单调递增，在[3,t+2]上单调递减，且f(t)>f(t+2)，
所以m=f(3)=4，n=f(t+2)=−(t−1)2+4，
又m−n=2，所以4−[−(t−1)2+4]=2，解得t=1+ 2或t=1− 2(舍去)；
当t≥3时f(x)在[t,t+2]上单调递减，所以n=f(t+2)=−(t−1)2+4，
m=f(t)=−(t−3)2+4，
因为m−n=2，即−(t−3)2+4−[−(t−1)2+4]=2，解得t=52(舍去)；
综上可得t=3− 2或t=1+ 2．
【解析】(1)首先得到函数的对称轴，从而得到顶点坐标，设y=f(x)=a(x−3)2+4(a<0)，代入点的坐标，求出a的值，即可得解；
(2)首先得到函数的单调性，再分t+2≤3、t+2>3t+1<3、t+1≥3t<3、t≥3四种情况讨论，分别得到函数在区间[t,t+2]上的最大值与最小值，从而得到关于t的方程，解得即可．
本题考查函数的解析式的求法，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22.【答案】证明：(1)因为a2+b2+c2=1，所以1−a2=b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，取等号；
1−b2=a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号；1−c2=a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，取等号，
所以(1−a2)(1−b2)(1−c2)≥2bc⋅2ac⋅2ab=8a2b2c2，当且仅当a=b=c时，取等号．
所以(1−a2)(1−b2)(1−c2)≥8a2b2c2．
(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)=3，
当且仅当a=b=c= 33时，取等号，所以a+b+c≤ 3．
(3)因为1=a2+b2+c2≥33a2b2c2，当且仅当a=b=c= 33时，取等号，
所以abc≤13 3，所以1a+1b+1c≥331abc≥3 3，
当且仅当a=b=c= 33时，取等号，
所以1a+1b+1c≥3 3．
【解析】(1)根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可；
(2)根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可；
(3)根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可．
本题考查了利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．