2022-2023学年河南省开封市祥符区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省开封市祥符区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在这组数3.1415926, 5,39,227,0.15115111511115⋅⋅⋅(两个5之间依次多一个1)中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A. a=1，b=2，c= 3B. a2−c2=b2
C. ∠A=2∠B=3∠CD. ∠A−∠B=∠C
3.下列计算正确的是( )
A. 4=±2B. (−3)2=−3C. (− 3)2=3D. ( −3)2=−3
4.某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表：
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是( )
A. 85和85B. 85.5和85C. 85和82.5D. 85.5和80
5.已知点(−6,y1)，(3,y2)都在直线y=−2x+5上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y16.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=22°，那么∠2的度数是( )
A. 23°B. 22°C. 38°D. 33°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC=3，BC=4，则CD的长为( )
A. 2.4
B. 2.5
C. 4.8
D. 5
8.如图，函数y=ax+b和y=−13x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组−ax+y=bx+3y=0的解是( )
A. x=3y=−1B. x=−3y=−1C. x=−3y=1D. x=−6y=1
9.端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元.设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是( )
A. x+y=6036x+24y=1680B. x+y=6024x+36y=1680
C. 36x+24y=60x+y=1680D. 24x+36y=60x+y=1680
10.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系(其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子).下列叙述正确的是( )
A. 赛跑中，兔子共休息了50分钟
B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C. 比赛过程中，兔子的平均速度比乌龟的平均速度快
D. 乌龟追上兔子用了20分钟
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简： 8− 2=______．
12.当k>0时，一次函数y=kx+19的图象不经过第______ 象限．
13.若方程x−y=−1的一个解与方程组x−2y=k2x−y=1的解相同，则k的值为______．
14.如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是______cm．
15.已知直线y=−34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算
(1)(1− 2)0+|2− 5|+(−1)2022；
(2)(3 18+15 50−4 12)÷ 32．
17.(本小题9分)
阅读下列计算过程，回答问题：
解方程组：2x−4y=−13①4x+3y②
解：①×2，得4x−8y=−13，③……第1步
②−③，得−5y=20，y=−4，……第2步
把y=−4代入①，得2x=−16−13,x=−292，……第3步
∴该方程组的解是x=−292y=−4……第4步
(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第______ 步(填序号)，第二次出错在第______ 步(填序号)，以上解法采用了______ 消元法．
(2)写出这个方程组的正确解答过程．
18.(本小题8分)
已知：如图，∠EAC是△ABC的一个外角．请从①AB=AC，②AD平分∠EAC，③AD//BC中任选两个当条件，第三个当结论构成一个命题．如果该命题是真命题，请你证明；如果该命题是假命题，请说明理由．
19.(本小题12分)
某校学生会向全校2000名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______ 人，图1中m的值是______ ．
(2)补全图2的统计图．
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A(−1,3)，B(2,0)，C(−3,−1)．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(不写画法)；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是______ ；
(3)若P是y轴上的动点，则PA+PC的最小值为______ ．
21.(本小题8分)
如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)
22.(本小题12分)
某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和2个B品牌的计算器共需122元．
(1)求这两种品牌计算器的单价；
(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
(3)当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
(1)求点C的坐标．
(2)若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是以OC为腰的等腰三角形时点P的坐标．
(3)在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在3.1415926, 5,39,227,0.15115111511115⋅⋅⋅(两个5之间依次多一个1)中，
无理数有 5,39,0.15115111511115⋅⋅⋅(相邻两个5之间依次多一个1)共3个．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
C、设∠A=x°，则∠B=(x2)°，∠C=(x3)°，
则x+x2+x3=180，
∴x=108011，
即∠A=(108011)°，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A−∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：C．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A. 4=2，故该选项不正确，不符合题意；
B. (−3)2=3，故该选项不正确，不符合题意；
C. (− 3)2=3，故该选项正确，符合题意；
D. ( −3)2=3，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的性质逐项分析判断即可即可求解．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：把这组数据从小到大排列，处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85；
在这一组数据中85出现的次数最多，则众数是85；
故选：A．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
本题考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5.【答案】A
【解析】解：∵点(−6,y1)，(3,y2)都在直线y=−2x+5上，
∴y1=17，y2=−1．
∵17>−1，
∴y1>y2．
故选：A．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1与y2的值，比较后即可得出结论(利用一次函数的性质解决亦可)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y1与y2的值是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，由题意得，AB/​/CD，∠CBE=45°，
∴∠ABC=∠1=22°，
∴∠2=∠CBE−∠ABC=23°，
故选：A．
根据平行线的性质得到∠ABC=22°，则∠2=∠CBE−∠ABC=23°．
本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=2.4，
故选：A．
由勾股定理得AB=5，再由三角形面积公式得S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，即可得出结论．
此题考查了勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当y=1时，y=−13x=1，
解得x=−3，则点P的坐标为(−3,1)，
所以关于x，y的二元一次方程组−ax+y=bx+3y=0中的解为x=−3y=1．
故选：C．
先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得：24x+36y=1680，
∵x+y=60，
∴x+y=6024x+36y=1680．
故选：B．
根据题意，由超市用1680元购进A，B两种商品，结合两种商品的单价可得到一个方程；再由A，B两种商品共60件得到另一个方程，联立即可得到答案．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到题目中的等量关系是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
赛跑中，兔子共休息了50−10=40(分钟)，故选项A不合题意，
乌龟在这次比赛中的平均速度是500÷50=10(米/分钟)，故选项B不合题意，
乌龟比兔子先到达60−50=10(分钟)，故选项C不合题意，
乌龟追上兔子用了20分钟，故选项D符合题意，
故选：D．
根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】 2
【解析】解：原式=2 2− 2
= 2．
故答案为： 2．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
12.【答案】四
【解析】解：∵k>0，19>0，
∴一次函数y=kx+3k的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：四．
结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx+3k的图象经过第一、二、三象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．
【解答】
解：联立得：x−y=−12x−y=1，
解得：x=2y=3，
代入方程得：2−6=k，
解得：k=−4，
故答案为：−4
14.【答案】15
【解析】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′=3+4+5=12cm，A′B=9cm，∠AA′B=90°，
∴AB= AA′2+A′B2= 122+92=15cm，
故答案为：15．
将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键．
15.【答案】(0,43)或(0,−12)
【解析】解：①若B′在x轴左半轴，过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=−34x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，
∴A(4,0)，B(0,3)，即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=3−n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5−4=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+12=(3−n)2，解得n=43，
∴点C的坐标为(0,43).
②若B′在x轴右半轴，如图，
则AB′=AB=5，
设OC=x，则CB′=CB=x+3，OB′=OA+AB′=4+5=9，
在Rt△OCB′中，OB′2+OC2=CB′2，即92+x2=(x+3)2，
解得：x=12，即可得此时点C的坐标为(0,−12)．
故答案为：(0,43)或(0,−12)．
分两种情况讨论，①当B′在x轴负半轴上时，过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为(4,0)，(0,3)，得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=4，则DB=5−4=1，BC=3−n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．②当B′在x轴正半轴上时，设OC=x，在Rt△OCB′中，利用勾股定理可求出x的值．
本题考查了翻折变换的性质及求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值，也考查了勾股定理的应用，难度较大．
16.【答案】解：(1)原式=1+ 5−2+1= 5；
(2)原式=(9 2+15×5 2−4× 22)÷4 2
=(9 2+ 2−2 2)÷4 2
=8 2÷4 2
=2．
【解析】(1)根据零次幂，化简绝对值，有理数的乘法进行计算即可求解；
(2)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，零次幂，化简绝对值，有理数的乘法，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
17.【答案】1 2 加减
【解析】解：(1)解方程组：2x−4y=−13①4x+3y②，
解：①×2，得4x−8y=−26，③……第1步，
②−③，得11y=33，y=3，……第2步，
把y=3代入①，得2x=12−13,x=−12，……第3步，
∴该方程组的解是x=−12y=3……第4步，
故第1、2步错误，采用加减消元法．
故答案为：1，2，加减；
(2)解：2x−4y=−13①4x+3y②，
①×2，得4x−8y=−26③，
②−③，得11y=33，y=3，
把y=3代入①，得2x=12−13,x=−12，
∴该方程组的解是x=−12y=3．
(1)根据二元一次方程的解法可得到第1、2两步是错误的；
(2)利用加减消元法解方程可得到方程的解．
本题考查了二元一次方程的解法：加减消元法，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
18.【答案】解：选①②当条件，③当结论，真命题(其它的组合也是真命题，答案不唯一)；
以条件：①②，结论：③为例证明：
证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD//BC．
【解析】任选两个作为条件，一个作为结论进行证明即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是选取适当的条件和结论，难度不大．
19.【答案】50 32
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为4÷8%=50人，m%=1650×100%=32%，
∴m=32；
故答案为：50，32
(2)捐款为15元的人数：50−4−16−10−8=12，
补全统计图如图：
(3)2000×32%=640(人)，
答：估计该校本次活动捐款金额为20元以上的学生人数为720人．
(1)由捐款为5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；
(2)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数，用2000乘以32%即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】9 4 2
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)S△ABC=5×4−12×2×4−12×3×3−12×5×1=9，
故答案为：9．
(3)连接AC1交y轴于点P，
PA+PC的最小值为AC1= 42+42=4 2，
故答案为：4 2．
(1)根据轴对称的性质找到A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1，顺次连接即可求解；
(2)根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
(3)连接AC1交y轴于点P，根据轴对称的性质可得AC1即为所求，根据勾股定理即可求解．
本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键．
21.【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴AB= BC2−AC2=15(米)，
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD=17−1×7=10(米)，
∴AD= CD2−AC2= 100−64=6(米)，
∴BD=AB−AD=15−6=9(米)，
答：船向岸边移动了9米．
【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22.【答案】解：(1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，2a+3b=1563a+b=122，
解得：a=30b=32，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
(2)A品牌：y1=30x⋅0.8=24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，
②当x>5时，y2=5×32+32×(x−5)×0.7=22.4x+48，
综上所述：
y1=24x，
y2=32x,(0≤x≤5)22.4x+48,(x>5)；
(3)当x=50时，y1=24×50=1200元；y2=22.4×50+48=1168元，
所以，购买超过50个的计算器时，B品牌的计算器更合算．
【解析】(1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；
(2)A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；
(3)把x=50代入两种品牌计算器的解析式求解即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，(1)读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，(2)B品牌计算器难点在于要分情况讨论，(3)把x=50代入两种品牌计算器的解析式求解是解题的关键．
23.【答案】解：(1)联立y=−x+6y=x，
解得x=3y=3，
∴点C的坐标是(3,3)；
(2)设点P的坐标为(m,0)，
∴OP2=m2，PC2=(m−3)2+32，OC2=32+32=18，
当OC=OP时，则m2=18，
解得m=±3 2，
∴点P的坐标为(3 2,0)或(−3 2,0)；
当OC=PC时，则(m−3)2+32=18，
解得m=6或m=0(舍去)，
∴点P的坐标为(6,0)；
综上所述，点P的坐标为(3 2,0)或(−3 2,0)或(6,0)；
(3)在直线AB上存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍；理由如下：
当y=0时，−x+6=0，
解得：x=6，
∴点A坐标为(6,0)，
∴OA=6，
∴S△AOC=12OA⋅yC=12×3×6=9；
①当M在x轴下方时，
∵S△MOC=2S△AOC，
∴S△MOA=S△AOC
∴12×(−yM)×6=9，
解得yM=−3，
当y=−3时，−3=−x+6，
解得：x=9，
∴点M为(9,−3)；
②当M在x轴上方时，
∵S△MOC=2S△AOC，
∴S△MOA=3S△AOC，
∴12×yM×6=27，
解得yM=9，
当y=9时，9=−x+6，
解得：x=−3，
∴点M为(−3,9)；
综上所述，M的坐标为(9,−3)或(−3,9)．
【解析】(1)联立两直线解析式求出x、y的值即可得到答案；
(2)设点P的坐标为(m,0)，利用勾股定理求出OP2=m2，PC2=(m−3)2+32，OC2=32+32=18，再分当OC=OP时，则
当OC=PC时，两种情况建立方程求解即可；
(3)先求出点A的坐标，进而求出 S△AOC=9，再分①当M在x轴下方时，②当M在x轴上方时，两种情况分别求出S△MOA和S△AOC的关系，由此建立方程求解即可．
本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义，求两直线的交点等等，灵活运用所学的知识是解题的关键．分数
50
85
90
95
人数
3
4
2
1