2022-2023学年河北省唐山市滦州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省唐山市滦州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，不是一次函数的是( )
A. y=7xB. y=25xC. y=12−3xD. y=−x+4
2.函数y= x+2中自变量x的取值范围是( )
A. x≥2B. x≥−2C. x<2D. x<−2
3.某食品加工厂有5条生产线，每条生产线一天能出产品20箱．质检员将对某日产品进行抽检，下列抽检方案中，最适宜的是( )
A. 在该日的100箱产品中随机抽取1箱B. 抽取该日每条生产线的最后1箱产品
C. 在该日每条生产线的产品中随机抽取1箱D. 抽取其中一条生产线该日的20箱产品
4.如图，在平行四边形ABCD中，如果∠D=135°，那么∠A的度数是( )
A. 35°B. 45°C. 135°D. 145°
5.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,9)，且y的值随x值的增大而减小，则m=( )
A. 3B. −3C. 9D. −9
6.在平面直角坐标系中，点B(2,−3)到x轴的距离为( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
7.如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D1落在直线BC上，则旋转的最小角度是( )
A. 108°
B. 72°
C. 54°
D. 36°
8.某鞋店在一周内同一款不同尺码品牌鞋的销量情况如图所示，若尺码不同的每双鞋的利润相同，则下一周该鞋店应多进鞋的尺码是( )
A. 22.5B. 23C. 23.5D. 24
9.一次函数y=2x−1与y=x+1的图象交点坐标为( )
A. (−2,3)B. (2,−3)C. (2,3)D. (−2,−3)
10.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.将直线y=x−2向上平移3个单位长度后得到直线y=kx+b，下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. y随x的增大而减小
B. 与y轴交于点(0,−1)
C. 经过第二、三、四象限
D. 若关于x的不等式kx+b>0，则x>−1
12.已知点A(2,0)、点B(−12,0)、点C(0,1)，以A，B，C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
13.如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码(7,7)，(8,5)，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码(2,7)，(3,4)，则最后输出口令为( )
A. 垂直
B. 平行
C. 素养
D. 相交
14.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.四边形ABEF的周长为40，则CD的长是( )
A. 40B. 20C. 10D. 都不对
15.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( )
A. 20 kg
B. 25 kg
C. 28 kg
D. 30 kg
16.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A. (12)n−1B. (14)nC. (12)nD. (14)n−1
二、填空题：本题共4小题，共10分。
17.某学校初、高六个年级共有2000名学生，为了了解其视力情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是______．
18.已知点P(4,2a+10)，若点P在x轴上，则a= ______
19.如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为______ ．
20.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A(0,4)，B(3,0).则直线AC的函数表达式为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
已知A(−1,0)，C(1,4)，点B在x轴正半轴上，且AB=4．
(1)在如图所示的直角坐标系中画出△ABC；
(2)若将△ABC平移后点A的对应点A′的坐标为(−3,2)，则点C的对应点C′的坐标为______ ；
(3)若在y轴上存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为12，求点P的坐标．
22.(本小题7分)
某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
(1)本次调查随机抽取了______名学生；表中m=______，整数n=______；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校有3000名学生，请你估计该校掌握
垃圾分类
知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
23.(本小题8分)
已知：如图，▱ABCD中，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE交CD于点O．
(1)求证：CO=DO；
(2)取AB中点F，连接CF，△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由．
24.(本小题8分)
琪琪在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表：
(1)第一次琪琪用550元购进A，B两款玩偶共30个，A、B两款玩偶各购进______ 个.
(2)第二次琪琪进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.琪琪计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
25.(本小题9分)
星期天，小明和爸爸去公园，爸爸步行先走，小明在爸爸离开家一段时间后骑自行车去，两人按相同的路线前往公园，他们所走的路程y(米)和时间t(分)的关系如图所示．
(1)求小明所走的路程y(米)和时间t(分)的函数关系式；
(2)小明在出发多长时间时追上了爸爸？
(3)请直接写出当t为何值时，两人相距900米．
26.(本小题9分)
如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=9，点E、F均在矩形的边上，点P为点D关于直线EF的对称点．

(1)如图1，若点P在边AB上．
①当点E与点A重合时，∠DEF= ______ ；
②如图2，当点E在AB上，点F在DC上时，求证：四边形DEPF为菱形．
(2)已知，点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M，若AM=DE，直接写出线段AE的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
直接根据一次函数的定义进行判断．
本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数叫做一次函数．
【解答】
解：y=−x+4，y=25x，y=12−3x都是一次函数，而y=7x为反比例函数．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：依题意，得x+2≥0，
解得x≥−2，
故选：B．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
注意二次根式的被开方数是非负数．
3.【答案】C
【解析】解：在该日每条生产线的产品中随机抽取1箱，只有C选项符合题意．
故选：C．
通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，每条生产线都随机抽样容易抽出具有代表性的调查样本，由此选出答案即可．
本题考查了抽样调查的可靠性，理解随机抽查的可靠性的特点和目的是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠D=135°，
∴∠A=180°−135°=45°，
故选：B．
根据平行四边形邻角互补的性质即可解答．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练地掌握平行四边形邻角互补的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=mx的图象经过点A(m,9)，
∴9=m2，
∴m1=3，m2=−3．
又∵y的值随x值的增大而减小，
∴m<0，
∴m=−3．
故选：B．
由正比例函数y=mx的图象经过点A(m,9)，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，由y的值随x值的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m<0，进而可确定m的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点B(2,−3)到x轴的距离为3．
故选：D．
根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案．
本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离．
7.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=108°，
∴∠DCF=180°−∠BCD=180°−108°=72°，
∴新五边形的顶点D1落在直线BC上，则旋转的最小角度是72°，
故选：B．
依据正五边形的性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出旋转的角度．
本题主要考查了多边形，关键是掌握多边形的内角和公式的运用．
8.【答案】C
【解析】解：进货时23.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些，
原因是这组数据中的众数是23.5，故销售的鞋中23.5cm尺码型号的鞋卖的最好．
故答案为23.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些．
故选：C．
利用众数的意义得出答案．
此题主要考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
9.【答案】C
【解析】解：联立y=2x−1y=x+1解得：x=2y=3，
∴函数y=2x−1与y=x+1的图象的交点坐标为(2,3)．
故选：C．
联立两函数解析式，解方程组即可．
本题考查了两直线的交点的求解，联立两直线解析式解方程组即可，比较简单．
10.【答案】B
【解析】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12AD，
∵EF=1，
∴AD=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2，
故选：B．
由题意可知EF是△ADC的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出BD的长．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
11.【答案】D
【解析】解：将直线y=x−2向上平移3个单位长度后得到直线y=x−2+3=x+1，
A.直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
B.直线y=x+1与y轴交于(0,1)，错误；
C.直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
D.关于x的不等式kx+b>0，则直线y=x+1>0，解得x>−1，正确．
故选：D．
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出函数解析式，再逐一分析即可．
此题主要考查了一次函数图象的几何变换和性质，正确把握变换规律是解题关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题．
结合平面直角坐标系，根据平行四边形的边的性质解答即可．
【解答】
解：根据平行四边形的边的性质知，对边相等，对角线互相平分．
以AB为一边时，CD的长等于AB=2−(−12)=212，点D的坐标可以为(212,1)或(−212,1)；
以AB为对角线时，点在第四象限，坐标为(112,−1)．
所以另一个顶点的坐标可以为：(112,−1)或(212,1)或(−212,1)．
∴第四个顶点不可能在第三象限．
故选C．
13.【答案】D
【解析】解：输入数字密码(7,7)，(8,5)，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”，可得平移规律为：向左平移1个单位，向下平移2个单位，
所以输入数字密码(2,7)，(3,4)，则最后输出口令为是“相交”，
故选：D．
根据输入数字密码(7,7)，(8,5)，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”，得出平移规律进而解答即可．
本题考查了点的坐标的平移，熟记左减右加，下减上加是解题的关键，是基础题，难度不大．
14.【答案】C
【解析】解：由作图可知AB=AF，∠BAE=∠FAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF/​/BC，AB=CD，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE．
∵AB=AF，
∴BE=AF．
又∵BE//AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
由于AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∵四边形ABEF的周长为40，
∴AB=10，
∴CD=10．
故选：C．
证明四边形ABEF是菱形，求出AB，可得结论．
本题考查作图−基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形ABEF是菱形．
15.【答案】A
【解析】解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意可知30k+b=30050k+b=900，
解得k=30b=−600，
所以函数关系式为y=30x−600，
当y=0时，即30x−600=0，所以x=20．
故选：A．
根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y=0时，x对应的值即可．
本题考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．正确求出函数解析式是解题的关键．
16.【答案】D
【解析】解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的(12)2×2−2=14；
第三个矩形的面积是(12)2×3−2=116；
…
故第n个矩形的面积为：(12)2n−2=(14)n−1．
故选：D．
易得第二个矩形的面积为(12)2，第三个矩形的面积为(12)4，依此类推，第n个矩形的面积为(12)2n−2．
本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
17.【答案】200
【解析】解：某学校初、高六个年级共有2000名学生，为了了解其视力情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是2000×10%=200．
故答案为：200．
一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
18.【答案】−5
【解析】解：∵点P(4,2a+10)在x轴上，∴2a+10=0，
解得：a=−5；
故答案为：−5．
利用x轴上点的纵坐标为0，进而得出a的值．
本题考查了坐标轴上点的坐标特征，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
19.【答案】2 2
【解析】解：连接O1B、O1C，如图：
∵四边形ABCD是正方形，O1是正方形的中心，
∴∠O1BF=∠O1CG=45°，BO1=CO1，∠BO1C=90°，
∴∠BO1F+∠FO1C=90°，
∵∠FO1C+∠CO1G=90°，
∴∠BO1F=∠CO1G，
在△O1BF和△O1CG中
∠BO1F=∠CO1GBO1=CO1∠O1BF=∠O1CG
∴△O1BF≌△O1CG(ASA)，
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S阴=S△CO1G+S△CO1F=S△BO1F+S△CO1F=S△BO1C=14S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S正方形，
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S阴影部分=14S正方形=2．
∴每个小正方形的面积为8，
∴小正方形的边长为 8=2 2；
故答案为：2 2．
首先根据正方形的性质可证得∠BO1F=∠CO1G，∠O1BF=∠O1CG，BO1=CO1，可证得△O1BF≌△O1CG(ASA)，可得O1、O2两个正方形阴影部分的面积是14S正方形，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S正方形，据此即可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，算术平方根的应用，证得每个阴影部分的面积为14S正方形是解决本题的关键．
20.【答案】y=−17x+4
【解析】解：如图，过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，作CH垂直于DM于H，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠DCB=∠DCH+∠BCH=90°，
∵∠HCB+∠BCN=90°，
∴∠DCH=∠BCN，
又∵∠DHC=∠CNB=90°，
∴△DHC≌△BNC(AAS)，
∴DH=BN，CH=CN，
同理可证△BNC≌△AOB(AAS)，
又∵A(0,4)，B(3,0)，
∴CH=CN=OB=3，DH=BN=OA=4，
∴C(7,3)；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将C(7,3)，A(0,4)代入，得7k+b=3b=4，
解得k=−17b=4，
∴直线AC的解析式为y=−17x+4．
故答案为：y=−17x+4．
过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM于H，根据AAS证△DHC≌△BNC，同理证△BNC≌△AOB，最后根据A点和B点坐标即可得出C点坐标；用待定系数法即可求出直线AC的解析式．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点是解题的关键．
21.【答案】(−1,6)
【解析】解：(1)∵A(−1,0)，点B在x轴正半轴上，且AB=4，
∴B(3,0)，
如图所示，△ABC即为所求；
(2)∵将△ABC平移后点A的对应点A′的坐标为(−3,2)，
∴平移方式为向下平移2个单位，向右平移2个单位，
∵C(1,4)，
∴点C的对应点C′的坐标为(−1,6)；
(3)设P(0,m)，则有12×4×|m|=12，
∴m=±6，
∴P(0,6)或(0,−6)．
(1)首先求出点B的坐标，然后画出△ABC即可；
(2)根据平移的性质求解即可；
(3)设P(0,m)，根据三角形面积公式列方程求解即可．
本题考查坐标与图形平移的性质、三角形的面积，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积．
22.【答案】解：(1)50；20；12；
(2)等级为“良好”的学生有：50−21−6−3=20(人)，
补全的条形统计图如下；
(3)3000×(42%+40%)
=3000×82%
=2460(人)，
即估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有2460人．
【解析】解：(1)本次调查随机抽取了学生：21÷42%=50(名)，
m=50×40%=20，
n%=6÷50×100%=12%，
∴n=12，
故答案为：50；20；12；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据等级为优秀的频数和频率可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级为良好的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠E，
∵CE=BC，
∴CE=AD，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△EOC(AAS)，
∴CO=DO；
(2)当CO=EO，∠COE=90°，四边形AOCF是正方形；
理由：∵CO=DO，
∴CO=12CD，
又∵F是AB的中点，
∴AF=12AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴AF=CO，AF//CO，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵△AOD≌△EOC，
∴AO=EO，
∵CO=EO，
∴AO=CO，
∴平行四边形AFCO是菱形，
∵∠COE=90°，
∴菱形AFCO是正方形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，求得∠DAE=∠E，等量代换得到CE=AD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，求得AF=CO，AF//CO，推出四边形AFCO是平行四边形，根据全等三角形的性质得到AO=EO，推出平行四边形AFCO是菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证得△AOD≌△EOC是解题的关键．
24.【答案】20，10
【解析】解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进(30−x)个，由题意得：
20x+15(30−x)=550，
解得：x=20，
30−20=10(个)．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个，
故答案为：20，10；
(2)设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进(30−a)个，获利y元，由题意得：
y=(28−20)a+(20−15)(30−a)=3a+150，
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴2a≤(30−a)，
∴a≤10，
∵y=3a+150，
∴k=3>0，
∴y随a的增大而增大．
∴a=10时，y最大=3×10+150=180(元)，
30−10=20(个)．
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是180元．
(1)根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
25.【答案】解：(1)设小明所走的路程y(米)和时间t(分)的函数关系式为y=kt+b，
将(10,0)，(30,3600)代入得：
10k+b=030k+b=3600，
解得k=180b=−1800，
∴小明所走的路程y(米)和时间t(分)的函数关系式为y=180t−1800；
(2)观察图象得：爸爸速度为360050=72(米/分)，小明的速度为180米/分，
∴72t=180t−180×10，
解得：t=503，
∴t−10=503−10=203，
答：小明在出发203分时追上了爸爸；
(3)相遇前两人相距900米，则，
72t−(180t−1800)=900，
解得：t=253；经检验不符合题意；
当相遇后，(180t−1800)−72t=900，
解得t=25，
∴当t为25时，两人相距900米．
【解析】(1)设小明所走的路程y(米)和时间t(分)的函数关系式为y=kt+b，将(10,0)，(30,3600)代入建立方程组即可得到答案；
(2)由图象求解：爸爸速度为360050=72(米/分)，再建立方程72t=180t−1800，再解方程可得答案；
(3)分两种情况：当小明在爸爸后面900米时，72t−(180t−1800)=900，当小明在爸爸前面900米时，(180t−1800)−72t=900，分别解方程可得答案．
本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
26.【答案】45°
【解析】(1)①解：如图1，当点P在边AB上，点E与点A重合时．
∵点P为点D关于直线EF的对称点，
∴∠DAF=∠PAF，
∵∠DAP=90°，
∴∠DEF=45°．
故答案为：45°；
②证明：当点E在AB上，点F在DC上时，如图2，
∵点P为点D关于直线EF的对称点，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC/​/AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE(ASA)，
∴DF=PE，
∵DF/​/PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴平行四边形DEPF为菱形；
(2)解：95或6311.理由如下：
当点P在直线AB的下方时，如图3，连接EM．
∵DE=EP=AM，EM=ME，
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)，
∴AE=MP．
设AE=x=MP，则AM=DE=9−x，则BM=x+3．
∵MP=EA=x，CP=CD=12，
∴MC=12−x．
∵BM2+CB2=CM2，
∴(x+3)2+92=(12−x)2，
解得x=95；
当点P在直线AB的上方时，如图4，
∵DE=EP=AM，∠EGP=∠MGA，∠EPG=∠MAG=90°，
∴△GAM≌△GPE(AAS)，
∴AE=MP．
设AE=x，则DE=9−x，AM=PE=DE=9−x，MP=AE=x，
可知MC=MP+PC=x+12，BC=9，BM=21−x，
∵BM2+CB2=CM2，
∴(21−x)2+92=(x+12)2，
解得x=6311．
综上所述，AE的长为95或6311．
(1)①画图，根据点P为点D关于直线EF的对称点，可得∠DAF=∠PAF.再根据∠DAP=90°，可得答案；
②根据对称性和矩形的性质证明△DOF≌△POE，再说明四边形DEPF是平行四边形，进而得出结论；
(2)当点P在直线AB的下方时，连接EM，证明Rt△EAM≌Rt△MPE，可得AE=MP，再设AE=x=MP，表示AM=DE，BM，进而得出MC，然后根据BM2+CB2=CM2，列出方程，求出解即可；当点P在直线AB的上方时，先证明△GAM≌△GPE，可知AE=MP，再设AE=x，表示DE，AM=PE=DE，MP=AE，进入得出MC，BM，然后根据BM2+CB2=CM2，列出方程，求出解即可．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的判定等，勾股定理是求线段长的常用方法，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
8
A款玩偶
B款玩偶
8
20
15
销售价/(元/个)
28
20