2022-2023学年河北省沧州市河间市英华学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省沧州市河间市英华学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果把分式xx+y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 缩小6倍D. 不变
3.已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为( )
A. 80°B. 20°C. 80°或20°D. 以上都不对
4.如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高BD的长为( )
A. 4
B. 225
C. 245
D. 5
6.已知m>n>0，在nm的分子分母同时加2，得分式n+2m+2，此分式的值在原分式的值上有所( )
A. 增大B. 不变C. 减小D. 无法比较
7.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时(即水平距离CD=6m)，踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是m．( )
A. 212B. 152C. 6D. 92
8.在3.14，33， 2，0.1⋅2⋅，227，π−3.145，−3216， 49中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠B=∠C−∠AB. a：b：c=3：4：5
C. c2+b2=a2D. ∠A：∠B：∠C=5：12：13
11.已知关于x的一元一次不等式组3(3−x)−1a的解集为x>2，且关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为( )
A. 2B. 5C. 6D. 9
12.若关于x的方程mx(x−2)(x−6)+2x−2=3x−6无解，则所有符合条件的m的和是( )
A. 1B. 2C. 6D. 7
13.如图，在长方体ABCD−EFGH盒子中，已知AB=4cm，BC=3cm，CG=5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为( )
A. (10−5 2)cm
B. 3cm
C. (10−4 2)cm
D. 5cm
14.已知1a+1b=3，1b+1c=4，1c+1a=5，则abcab+bc+ca=( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
15.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则B6B7的边长为( )
A. 6 3B. 12 3C. 32 3D. 64 3
16.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB=42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为( )
A. 18cmB. 24cmC. 18cm或28cmD. 18cm或24cm
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.已知关于x的方程
的解为正数，则m的取值范围是______．
18.如果一个数的平方根是2x+1和x−7，那么这个数是______．
19.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=20，则△PMN的周长为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
(1)计算：(π−3)0− 6× 3+| 2−1|．
(2)解分式方程：2x3x+3+2=xx+1．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：
，其中x2−x− 7=0．
22.(本小题8分)
为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的1.5倍；若由甲队先修建90天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为40万元，乙队每天的施工费用为52万元，工程预算的施工费用为6000万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
23.(本小题8分)
若一个正数的两个平方根分别是2m−1和2−m，n是8的立方根，c是 11的整数部分，求m+n+c的算术平方根．
24.(本小题8分)
阅读下列解题过程：1 5+ 4=1×( 5− 4)( 5+ 4)( 5− 4)= 5− 4，1 6+ 5=1×( 6− 5)( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5，请回答下列回题：
(1)观察上面的解答过程，请写出1 n+1+ n= ______ ；
(2)利用上面的解法，请化简：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 98+ 99+1 99+ 100．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒lcm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①Rt△ABC斜边AC上的高为______；
②当t=3时，PQ的长为______．
(2)当点Q在边BC.上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
26.(本小题8分)
阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h.点P(不与点A、B、C重合)到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=12h,h2=12h，因此得到：h1+h2=h．

(1)小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？若成立，借助图3证明你的猜想．
(2)进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明.(借助答题卡上的图4)
(3)延伸，当点P在直线AB，AC上时，借助图5，直接写出结论，不必证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：把分式xx+y中的x和y都扩大3倍，
3x3x+3y=3x3×(x+y)=xx+y，
所以分式的值不变．
故选：D．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
本题考查了分式的性质，掌握分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变是关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况进行讨论是解答此题的关键．
80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可．
【解答】
解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角=180°−80°−80°=20°．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：如图，延长AP交BC于D，
∵AP⊥CP，
∴∠APC=∠DPC=90°，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠DCP，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△DCP(ASA)，
∴AP=DP，S△ACP=S△DCP，
∵△ABP与△BDP等底同高，
∴SBDP=S△ABP，
∴△BPC的面积=12S△ABC=12，
故选：B．
延长AP交BC于D，根据ASA证明△ACP≌△DCP得出AP=DP，S△ACP=S△DCP，再由△ABP与△BDP等底同高，即可推出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确作出辅助线，证明△ACP≌△DCP是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB=EC=12CB=3，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2= 52−32=4，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BD=12⋅BC⋅AE=12×6×4=12，
∴12×5×BD=12，
解得BD=245．
故选：C．
过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
6.【答案】A
【解析】解：n+2m+2−nm
=m(n+2)m(m+2)−n(m+2)m(m+2)
=2(m−n)m(m+2)，
∵m>n>0，
∴m−n>0，m(m+2)>0，
∴2(m−n)m(m+2)>0，
∴n+2m+2−nm>0，
∴n+2m+2>nm．
故选：A．
先计算n+2m+2−nm=2(m−n)m(m+2)，根据m>n>0，得m−n>0，m(m+2)>0，可知2(m−n)m(m+2)>0，所以n+2m+2−nm>0，即可得出结论．
本题考查了分式的加减法，把满足条件的字母的值代入分式进行计算得到的值叫分式的值，也考查了分式值的大小．
7.【答案】B
【解析】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD=AB−BD=AB−(DE−BE)=x−(4−1)=(x−3)米，
DC=6m，AC=x米，
∴AB2+DC2=AC2，
根据题意列方程：x2=(x−3)2+62，
解得：x=152，
∴绳索AC的长是152．
故选：B．
设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：−3216=−6， 49=23，
无理数有33， 2，π−3.145，共有3个．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
9.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或DA=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADC=60°+40°=100°，
∴∠EDC=100°−40°=60°，故④错误，
故选：C．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=DE或DA=DE，当AE=DE时，∠BAD=60°，求出∠EDC=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A.∵∠B=∠C−∠A，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=9k2+16k2=25k2，c2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵c2+b2=a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=5：12：13，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C的度数是180°×135+12+13=78°<90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据三角形内角和定理和已知条件求出∠C的度数，即可判断选项A；先分别求两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C；根据三角形的内角和定理求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
11.【答案】C
【解析】解：∵不等式组3(3−x)−12，
∴a−2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为y=6a−1．
∵y=3是原分式方程的增根，
∴6a−1≠3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，
∴6a−1为正整数．
∴a=2，4，7．
∵a≤4，
∴a=2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4=6．
故选：C．
利用不等式组的解为x>2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：mx(x−2)(x−6)+2x−2=3x−6
去分母，得mx+2(x−6)=3(x−2)．
去括号，得mx+2x−12=3x−6．
移项，得mx+2x−3x=−6+12．
合并同类项，得(m−1)x=6．
∵关于x的方程mx(x−2)(x−6)+2x−2=3x−6无解，
∴m−1=0或6m−1=2或6m−1=6．
∴m=1或m=4或m=2．
∴所有符合条件的m的和为1+4+2=7．
故选：D．
通过去分母、去括号、移项、合并同类项，再根据分式方程无解求得m的值，从而解决此题．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法是解决本题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI= AC2+CG2，
而AC2=AB2+BC2=42+32=25，
∴GI= 25+52= 50=5 2，
∴GJ长度的最小值为(10−5 2)cm．
故选：A．
当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出GI的最大值是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：当1a+1b=3，1b+1c=4，1c+1a=5时，
abcab+bc+ca
=1ab+bc+caabc
=11c+1a+1b
=22(1a+1b+1c)
=21a+1b+1b+1c+1c+1a
=23+4+5
=212
=16．
故选：D．
对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的加减法，分式的值，解答的关键是对所求的式子进行转化，使其含有已知条件的形式．
15.【答案】C
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1/​/A2B2/​/A3B3，B1A2//B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A7B7=26B1A2=26=64，B6A7=12A7B7=32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7=90°，
∴B6B7= A7B72−B6A72= 642−322=32 3．
故选：C．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
16.【答案】C
【解析】解：设：BM=3x cm，则BN=4x cm，
∵∠A=∠B=90°，
(1)，当△ACM≌△BNM时，有BM=AM，BN=AC，
又AM+BM=42cm，
∴3x+3x=42，
∴x=7．
∴AC=BN=4x=28cm；
当△ACM≌△BMN时，有AM=BN，BM=AC，
又AM+BM=42cm，
∴4x+3x=42，
∴x=6，
∴AC=BM=18cm；
故选：C．
在PA⊥AB于A，QB⊥AB条件下，使△ACM与△BMN全等，需要分类讨论．
本题考查全等三角形及分类讨论思想，正确分类才不会漏解．
17.【答案】m>3且m≠9
【解析】解：去分母，得2x−m−(x−3)=−x，
解得：x=，
∵关于x的方程的解为正数，
∴x=>0且x≠3，
∴m>3且m≠9；
故答案为：m>3且m≠9．
根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，解不等式即可得答案．
此题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解为正数列出不等式是解题关键．
18.【答案】25
【解析】解：∵一个数的平方根是2x+1和x−7．
∴2x+1+x−7=0．
∴x=2．
∴2x+1=5，x−7=−5．
这个正数是：(±5)²=25．
故答案为：25．
利用平方根的性质，列方程求解
本题考查平方根和立方根，正确运用正数的平方根互为相反数是求解本题的关键．
19.【答案】20
【解析】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵P1P2=20，
∴△PMN的周长=20．
故答案为：20．
根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
20.【答案】解：(1)原式=1−3 2+ 2−1=−2 2；
(2)去分母，得2x+2(3x+3)=3x，
解得x=−65，
经检验，x=−65是原分式方程的根，
∴x=−65．
【解析】(1)先计算零指数幂，二次根式的乘法运算，去绝对值，再合并同类二次根式即可；
(2)将分式方程化为整式方程，求解后，检验即可得解．
本题考查二次根式的混合运算，解分式方程．熟练掌握相关运算法则，解分式方程的步骤，正确的计算是解题的关键．
21.【答案】解：原式=⋅
=⋅
=x2−x，
∵x2−x− 7=0，
∴x2−x= 7，
∴原式= 7．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2−a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】解：(1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程所需天数是1.5x天，
依题意得：901.5x+301.5x+30x=1，
解得x=110，
检验，当x=110时，1.5x=165≠0，
所以原方程的解为x=110．
所以1.5x=1.5×110=165(天)．
答：乙队单独完成这项工程需110天，甲队单独完成这项工程需165天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y110+y165=1，
解得y=66，
需要施工的费用：66×(40+52)=6072(万元)，
∵6072>6000，6072−6000=72(万元)，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算72万元．
【解析】(1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程所需天数是1.5x天，则乙队的效率为1x，甲队的效率为11.5x，由已知得乙队工作了30天，甲队一共工作了120天，列方程901.5x+301.5x+30x=1，解出即可，要注意检验；
(2)根据(1)中所求得出甲、乙单独完成需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，根据等量关系列出方程是解题的关键．
23.【答案】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m−1和2−m，
∴2m−1+2−m=0，
解得：m=−1，
∵n是8的立方根，
∴n=2，
∵9<11<16，
∴3< 11<4，
∴ 11的整数部分是3，
∴c=3，
∴m+n+c=−1+2+3=4，
∴m+n+c的算术平方根为2．
【解析】先利用平方根的意义可得2m−1+2−m=0，从而可得m=−1，再利用立方根的意义可得n=2，然后再估算出 11的值的范围，从而求出c=3，最后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
24.【答案】(1) n+1− n
(2)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 98+ 99+1 99+ 100，
= 2 −1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 99− 98+ 100− 99，
= 100−1，
=9．
【解析】解：(1)1 n+1+ n= n+1− n，
故答案为： n+1− n；
(2)见答案
【分析】
(1)分子、分母同乘以最简公分母 n+1− n，化简即可；
(2)把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．
此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．
25.【答案】4.8cm 61cm
【解析】解：(1)①在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC= AB2+BC2= 82+62=10(cm)，
∴Rt△ABC斜边AC上的高为6×810=4.8(cm)；
②当t=3时，则AP=3cm，BQ=2t=6cm，
∵AB=8cm，
∴BP=AB−AP=8−3=5(cm)，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ= BP2+BQ2= 52+62= 61(cm)，
即PQ的长为 61cm，
故答案为：①4.8cm；② 61cm；
(2)由题意可知AP=t cm，BQ=2t cm，
∵AB=8，
∴BP=AB−AP=8−t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8−t=2t，解得t=83，
∴出发83秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC−2t=16−2t，
∴CQ=AC−AQ=10−(16−2t)=2t−6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC于D，
则CD=12CQ=t−3，
在Rt△ABC中，S△ABC=12×AC×BD=12×BC×AB，
∴BD=245，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，
即62=(245)2+(t−3)2，
解得t=6.6或t=−0.6<0(舍去)；
②当CQ=BC=6时，则2t−6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=12AC=5，即2t−6=5，解得t=5.5；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
(1)①利用勾股定理可求解AC的长，进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；
②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
(2)用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
(3)用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
26.【答案】解：(1)h1+h2=h是成立，理由如下：
如图3，连接AP．

∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴12BC⋅AD=12AB⋅PE+12AC⋅PF，
∴12ah=12ah1+12ah2，
∴h1+h2=h；
(2)当点P在BC的延长线上，上述结论不成立；
应为：h1−h2=h．
证明：如图，连接AP．

设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴12BC⋅AD=12AB⋅PE−12AC⋅PF．
∴12ah=12ah1−12ah2．
∴h1−h2=h．
(3)如图，设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
当P在AB上时，12BC⋅AD=12BC⋅PH+12AC⋅PF，即h=h3+h2，

当P在AB的延长线上时，12BC⋅AD=12AC⋅PF−12BC⋅PH，即h=h2−h3，

当P在BA的延长线上时，同理可得，h=h3−h2，

当P在AC上时，同理可得，h=h1+h3，

当P在BC延长线上时，h=h1−h3，

当P在CA延长线上时，h=h3−h1，

综上所述，当P在AB上时，h=h3+h2；当P在AB的延长线上时，h=h2−h3；当P在BA的延长线上时，h=h3−h2；当P在AC上时，h=h1+h3；
当P在BC延长线上时，h=h1−h3；当P在CA延长线上时，h=h3−h1．
【解析】(1)根据S△ABC=S△ABP+S△APC，设等边三角形的边长AB=BC=CA=a.进而即可求解；
(2)根据题意画出图形，根据三角形的面积即可求解；
(3)分六种情况讨论，分别画出图形，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形面积公式，分类讨论是解题的关键．