2022-2023学年河北省沧州市盐山县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省沧州市盐山县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省沧州市盐山县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子一定是二次根式的是(    )
A. −x−2 B. x C. a2+1 D. x2−2
2. 已知n是一个正整数， 45n是整数，则n的最小值是(    )
A. 3 B. 5 C. 15 D. 45
3. 下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是(    )
A. 6，15，17 B. 7，12，15 C. 13，15，20 D. 7，24，25
4. 如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．(    )


A. 10 B. 12 C. 13 D. 14
5. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB=6，AD=8，则EF的长度为(    )


A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 若一次函数y=(k−2)x+1的函数值y随x的增大而增大，则(    )
A. k<2 B. k>2 C. k>0 D. k<0
7. 在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+k与正比例函数y=kx的图象可能是(    )
A. B. C. D.
8. 一个多边形的内角和为720°，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？(    )
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 2条
9. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是(    )
A. ③→②→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ①→④→③→②
10. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x甲−=x丙−=13，x乙−=x丁−=15，s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
11. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为(    )

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
12. 一次函数y=6x+1的图象不经过(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
13. 若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为(    )
A. 1 B. 6 C. 1或6 D. 5或6
14. 下列命题中，不正确的是(    )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
15. 某销售公司有营销人员若干人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这些人某月的销售量如下表所示，已知这些营销人员该月销售的平均数为320.那么这些销售人员该月销售量的众数、中位数分别是(    )
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
x
5
3
2

A. 210，230 B. 210，210 C. 210，220 D. 250，230
16. 已知直线y=3x−6与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为(    )
A. y=−3x−6 B. y=3x+6 C. y=3x−6 D. y=−3x+6
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 已知： 18− 2=a 2− 2=b 2，则ab=______．
18. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为______m.
19. 如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为−4和1，则BC=______．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
计算：
(1)2 12−6 13+3 48；
(2)( 3−2)( 3+2)−( 3−1)2+5．
21. (本小题9.0分)
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

22. (本小题10.0分)
如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE=∠DCF：
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AC平分∠DAE，AB=4，BC=8，求△AEC的周长．

23. (本小题10.0分)
如图，直线y=12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B(0,2)的直线设为y=kx+b．
(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．

24. (本小题10.0分)
将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE=BE=2，求BF的长．

25. (本小题10.0分)
甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分).依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．
甲校成绩统计表
分数
7分
8分
9分
10分
人数
11
0

8
(1)在如图中，“7分”所在扇形的圆心角等于______°.

(2)请你将如图的统计图补充完整．

(3)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．
26. (本小题12.0分)
某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：根据二次根式的定义可得 a2+1中得被开方数无论x为何值都是非负数，
故选：C．
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式可得答案．
此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．

2.【答案】B 
【解析】解：由于45n=32×5n，
∴ 45n=3 5n，
由于 45n是整数，
∴n的最小值为5，
故选：B．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

3.【答案】D 
【解析】解：A、∵62+152≠172，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
B、∵72+122≠152，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
C、∵132+152≠202，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242=252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

4.【答案】C 
【解析】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，
根据勾股定理得：x2+(102)2=(x+1)2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13，
答：芦苇长13尺．
故选：C．
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
本题考查勾股定理的应用．

5.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，BC=AD，AD//BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，
∴AB=AF=6，DC=DE=6，
∴EF=AF+DE−AD=6+6−AD=4．
故选：A．
先证明AB=AE=6，DC=DF，再根据EF=AF+DE−AD即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的性质，对于y=kx+b，当k>0时，函数值y随x的增大而增大；当k<0时，函数值y随x的增大而减小．根据一次函数的性质解答即可．
【解答】
解：由题意，得
k−2>0，
解得k>2．
故选：B．  
7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系、正比例函数的图象与系数的关系．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】
解：A.正比例函数y=kx与一次函数y=kx+k的自变量系数都是k，则两直线相互平行．故本选项不符合题意；
B.正比例函数图象经过第一、三象限，则k>0，则一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项不符合题意；
C.正比例函数图象经过第二、四象限，则k<0，则一次函数y=kx+k的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项不符合题意；
D.正比例函数图象经过第二、四象限，则k<0，则一次函数y=kx+k的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项符合题意．
故选：D．  
8.【答案】A 
【解析】解：设多边形的边数x，则180(x−2)=720，
解得：x=6，
x−3=3，
故答案为：A．
先根据多边形的内角和公式求出边数，再求解．
本题考查了多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD，
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，
故选：B．
根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵x−甲=x−丙=13，x乙−=x丁−=15，
∴x−甲=x−丙 ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3，
∴s甲2=s丁2 ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
∴麦苗又高又整齐的是丁．
故选：D．
根据x−甲=x−丙 =13，x乙−=x丁−=15，可得乙、丁的麦苗比甲、丙要高，再由s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3，可得甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，即可求解．
本题考查了方差和平均数的知识，掌握方差越小，越稳定是关键．

11.【答案】A 
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE=12(BC+CD)=9，
∵BD=12，
∴OD=12BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故选：A．
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．

12.【答案】D 
【解析】解：∵一次函数y=6x+1中k=6>0，b=1>0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选：D．
先判断出一次函数y=6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，函数图象经过一、三象限，当b>0时，函数图象与y轴正半轴相交．

13.【答案】C 
【解析】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，
∴x=1或6，
故选：C．
根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题．
本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】B 
【解析】解：A、正确．平行四边形的对角线互相平分．
B、错误．应该是矩形的对角线相等且互相平分．
C、正确．菱形的对角线互相垂直且平分．
D、正确．正方形的对角线相等且互相垂直平分．
故选：B．
根据特殊四边形的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．

15.【答案】B 
【解析】解：∵这些营销人员该月销售的平均数为320，
∴1800×1+510×1+250x+210×5+150×3+120×21+1+x+5+3+2=320，
解得：x=3，
∴数据210出现了5次最多为众数，210处在第8位为中位数，
所以本题这组数据的中位数是210，众数是210．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题主要考查了平均数、众数、中位数，掌握平均数、众数、中位数的定义是关键．

16.【答案】D 
【解析】解：在y=3x−6中，令y=0得x=2，令x=0得y=−6，
∴直线y=3x−6与x轴交点为(2,0)，与y轴交点为(0,−6)，
∵(2,0)，(0,−6)关于x轴对称的对称点坐标为(2,0)，(0,6)，
∴直线l过(2,0)，(0,6)，
设直线l解析式为y=kx+b，
∴2k+b=0b=6，
解得k=−3b=6，
∴直线l解析式为y=−3x+6，
故选：D．
求出直线y=3x−6与x轴交点为(2,0)，与y轴交点为(0,−6)，可得直线l过(2,0)，(0,6)，再用待定系数法可得答案．
本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握待定系数法．

17.【答案】6 
【解析】解：
∵ 18=3 2
∴ 18− 2=3 2− 2=2 2
又∵ 18− 2=a 2− 2=b 2
∴a=3，b=2，
则ab=3×2=6．
故答案为：6．
直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

18.【答案】100 
【解析】解：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB是△CMN的中位线，
∴AB=12MN=100m，
故答案为：100．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

19.【答案】5 
【解析】解：∵菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为−4和1，则AB=1−(−4)=5，
∴AB=BC=5．
故答案为：5．
根据数轴上A，B在数轴上对应的数分别为−4和1，得出AB的长度，再根据BC=AB即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及数轴上点的距离求法，求出AB的长度以及利用菱形的性质是解决问题的关键．

20.【答案】解：(1)原式=4 3−2 3+12 3
=(4−2+12) 3
=14 3；
(2)原式=3−4−(3+1−2 3)+5
=−1−4+2 3+5
=2 3． 
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

21.【答案】解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AB2+CB2=AC2，
∵AB=3m，BC=4m，
∴AC=5m，
在△ACD中，AC=5cm，CD=12m，DA=13m，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
(2)∵S△ABC=12×3×4=6(m2)，S△ACD=12×5×12=30(m2)，
∴S四边形ABCD=6+30=36(m2)，
∴费用=36×80=2880(元)．
答：铺满这块空地共需花费2880元． 
【解析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
(1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2=AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°；
(2)分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．

22.【答案】解：(1)在矩形ABCD中，
AF//CE，AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠CAE=∠ACF，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∵AF//CE，
∴∠FAC=∠ACE，
∴∠CAE=∠ECA，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
∴BE=8−x，
在Rt△ABE中，
∴由勾股定理可知：x2=(8−x)2+42，
解得：x=5，
在Rt△ABC，
由勾股定理可知：AC2=42+82，
∴AC=4 5，
∴△ABC的周长为：5+5+4 5=10+4 5． 
【解析】(1)根据平行四边形的判定即可求出答案．
(2)先证明AE=CE，设AE=CE=x，BE=8−x，根据勾股定理分别求出AE与AC的长度后即可求出答案．
本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于基础题型．

23.【答案】解：(1)令y=0，则12x+1=0，
∴x=−2，
∴A(−2,0)．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′(2,0)．
(2)设直线A′B的函数表达式为y=kx+b，
∴2k+b=0b=2，
解得：k=−1b=2，
∴直线A′B对应的函数表达式为y=−x+2． 
【解析】(1)利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
(2)利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，关于y轴的对称点的坐标的特征，利用待定系数法是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADB=∠CDB，∠EHB=∠GHB，
∴∠ADB−∠EHB=∠CDB−∠GHB，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGED=GD，
∴△ADE≌△CDG(SAS)；

(2)解：过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD=AB=AE+EF=2+2=4，∠EBQ=∠CBD=45°，
∴∠QEB=45°=∠EBQ，
∴EQ=BQ，
∵BE=2，
∴2EQ2=22，
∴EQ=BQ= 2(负数舍去)，
在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE= AD2+AE2= 42+22=2 5，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF=DE=2 5，
∴QF= EF2−EQ2= (2 5)2−( 2)2=3 2，
∴BF=QF−QB=3 2− 2=2 2． 
【解析】(1)根据正方形和菱形的性质得出AD=CD，ED=GD，∠ADB=∠CDB，∠EHB=∠GHB，求出∠ADE=∠CDG，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
(2)过E作EQ⊥DF于Q，根据正方形的性质得出AD=AB=4，∠A=90°，∠ABD=45°，根据勾股定理求出DE和EQ，根据菱形的性质求出EF=DE，再根据勾股定理求出QF即可．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形和正方形的性质是解此题的关键．

25.【答案】解：(1)144
(2)补充图形如图：

(3)甲校9分的人数是：20−11−8=1(人)，
甲校的平均分为=120(7×11+8×0+9×1+10×8)=8.3(分)，
分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，
∴中位数=12(7+7)=7(分)；
由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好． 
【解析】
解：(1)根据扇形图中圆形角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角为：360°−90°−72°−54°=144°，
故答案为：144；
(2)根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数为：
5÷90360=20(人)，
即可得出8分的人数为：20−8−4−5=3(人)，统计图补充见答案;
(3)见答案
【分析】
(1)根据扇形图中圆形角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角；
(2)根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数，即可得出8分的人数；
(3)根据把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答，根据平均数求法得出甲的平均数．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数与中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  
26.【答案】解：(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，
由题意得：540x=600x+10，
解得：x=90，
当x=90时，x(x+10)≠0，
∴x=90是分式方程的根，
∴x+10=90+10=100(吨)，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
(2)①由题意得：购买B型机器人的台数为(30−m)台，
所以w=1.2m+2(30−m)=−0.8m+60；
②由题意得：90m+100(30−m)≥28301.2m+2(30−m)≤48，
解得：15≤m≤17，
∵−0.8<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w最小，此时w=−0.8×17+60=46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元． 
【解析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；
(2)①根据题意列出一次函数解析式即可；
②先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．