2023-2024学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的三边长分别为2，a−1，4，则化简|a−3|+|a−7|的结果为( )
A. 2a−10B. 10−2aC. 4D. −4
3.在下列的计算中，正确的是( )
A. 2x+3y=5xyB. (a+2)(a−2)=a2+4
C. a2⋅ab=a3bD. (x−3)2=x2+6x+9
4.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. AM=CN
B. AB=CD
C. ∠M=∠N
D. ∠A=∠NCD
5.若4x2−kxy+9y2是完全平方式，则k的值是( )
A. ±6B. ±12C. ±36D. ±72
6.有一道分式化简题：2x+1+x+5x2−1，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学：2x+1+x+5x2−1=2(x+1)(x−1)+x+5(x+1)(x−1)=2+x+5x2−1=x+7x2−1，
乙同学：2x+1+x+5x2−1=2(x−1)(x+1)(x−1)+x+5(x+1)(x−1)=2x−2+x+5=3x+3
下列说法正确的是( )
A. 只有甲同学的解答过程正确B. 只有乙同学的解答过程正确
C. 两人的解答过程都正确D. 两人的解答过程都不正确
7.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
8.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论，①DE=BE；②点E是BC的中点；③∠AED=90°；④AD=AB+CD，正确的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
9.等腰三角形的两边a，b满足|a−7|+ 2b−6=0，则它的周长是( )
A. 12B. 15C. 17D. 19
10.如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有( )
A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处
11.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=( )
A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°
12.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
13.下列运算中，正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (2a)3=6a3D. (−a)2a=a3
14.如果m+n=1，那么代数式(2m+nm2−mn+1m)⋅(m2−n2)的值为( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
15.如图(1)所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把拿下的部分剪拼成一个矩形如图(2)所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
16.镇江市教育局为帮助全市贫困师生举行“一日捐”活动，甲、乙两校教师各捐款60000元，已知“…”，设乙学校教师有x人，则可得方程60000x−60000(1+20%)x=20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补( )
A. 乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
B. 甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
C. 甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
D. 乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
17.82019×(−0.125)2020= ______．
18.若某n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是______．
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是______．
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB=1：2
20.已知：b+1b=4，则b2+1b2= ______．
三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题16分)
(1)因式分解：
①x3y−xy3；
②(x−2)(x+1)−4；
(2)解方程：
①xx−3=x+1x−1；
②2x−1=4x2−1．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：a+1a2−2a+1÷(2+3−aa−1)，其中a=2．
23.(本小题10分)
(1)如图(1)，已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证：△ACE≌△BCE．
(2)如图(2)，已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
24.(本小题10分)
阅读材料：数学课上，老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2，对式子作如下变形：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1．
因为(x−2)2≥0，
所以(x−2)2+1≥1．
当x=2时，(x−2)2+1=1，
因此(x−2)2+1有最小值1，即x2−4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式x2+6x+12的最小值为______；
(2)求代数式−x2+2x+9的最大或最小值．
25.(本小题10分)
如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
26.(本小题12分)
综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
(1)如图1，若∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=55°，求证：△BAD≌△CAE；
(2)在(1)的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：(3)如图2，若∠CAB=∠EAD=120°，BD=4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：由三角形三边关系定理得4−2即3∴|a−3|+|a−7|=a−3+7−a=4．
故选：C．
据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3.【答案】C
【解析】解：A、2x与3y不是同类项不能合并，
B、应为(a+2)(a−2)=a2−4，故本选项错误；
C、a2⋅ab=a3b，正确；
D、应为(x−3)2=x2−6x+9，故本选项错误．
故选C．
根据平方差公式，单项式的乘法，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．
本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
4.【答案】A
【解析】解：A、添加条件AM=CN，仅满足SSA，不能判定两个三角形全等；
B、添加条件AB=CD，可用SAS判定△ABM≌△CDN；
C、添加条件∠M=∠N，可用ASA判定△ABM≌△CDN；
D、添加条件∠A=∠NCD，可用AAS判定△ABM≌△CDN．
故选：A．
根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项进行判定，然后选择不能判定全等的选项．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】B
【解析】解：∵4x2−kxy+9y2是完全平方式，
∴−kxy=±2×2x⋅3y，
解得k=±12．
故选：B．
依据完全平方公式，这里首末两项分别是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和2y的乘积的2倍．
本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
6.【答案】D
【解析】解：2x+1+x+5x2−1
=2(x−1)(x+1)(x−1)+x+5(x+1)(x−1)
=2x−2+x+5(x+1)(x−1)
=3x+3(x+1)(x−1)
3(x+1)(x+1)(x−1)
=3x−1，
∴两人的解答过程都不正确，
故选：D．
将分式2x+1+x+5x2−1化简，再比较甲乙两人的结果即可．
本题考查分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，列方程可求解．
【解答】
解：设所求多边形边数为n，
则(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：如图作EH⊥AD于H．
∵EA平分∠BAD，EB⊥BA，EH⊥AD，
∴BE=EH，
同法可证：EH=EC，
∴EB=EC，故②正确，故①错误，
∵∠B=∠EHA=90°，AE=AE，∠BAE=∠HAE，
∴△EAB≌△EAH(AAS)，
∴AH=AB，∠AEB=∠AEH，
同理可证：△EDH≌△EDC(AAS)，
∴DH=DC，∠DEH=∠DEC，
∴AD=AH+DH=AB+CD，∠AED=12(∠BEH+∠CEH)=90°，故③④正确，
故选：D．
如图作EH⊥AD于H.利用角平分线的性质定理，证明三角形全等即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9.【答案】C
【解析】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用非负数的性质求出a，b的值，分类讨论即可解决问题．
解：∵|a−7|+ 2b−6=0，
又∵|a−7|≥0， 2b−6≥0，
∴a=7，b=3．
当三边为7，7，3时，能构成三角形，周长为17．
当三边为3，3，7时，不构成三角形．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【解答】
解：如图，
满足条件的有：
(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；
(2)三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD−∠B，
∴∠A=60°，
故选：D．
根据三角形的外角的性质进行计算即可．
本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键
12.【答案】B
【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得x⊗(−2)=1x−(−2)2=1x−4，
即1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解．
故选：B．
13.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B不符合题意；
C、(2a)3=8a3，故C不符合题意；
D、(−a)2a=a3，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式=2m+n+m−nm(m−n)⋅(m+n)(m−n)
=3mm(m−n)⋅(m+n)(m−n)
=3(m+n)，
当m+n=1时，原式=3．
故选D．
15.【答案】A
【解析】解：由题可得：a2−b2=(a−b)(a+b)．
故选：A．
左图中阴影部分的面积=a2−b2，右图中矩形面积=(a+b)(a−b)，根据二者相等，即可解答．
此题主要考查了平方差公式的几何背景．解题的关键是运用阴影部分的面积相等得出关系式．
16.【答案】A
【解析】解：设乙学校教师有x人，那么当甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%时，甲校教师有(1+20%)x人．如果乙校教师比甲校教师人均多捐20元，
那么可列出方程60000x−60000(1+20%)x=20，
故选：A．
方程60000x−60000(1+20%)x=20中，60000x表示乙校教师人均捐款额，(1+20%)x表示甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%，则60000(1+20%)x表示甲校教师人均捐款额，所以方程表示的等量关系为：乙校教师比甲校教师人均多捐20元，由此得出题中用“…”表示的缺失的条件．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程的逆应用，根据所设未知数以及方程逆推缺少的条件．
17.【答案】18
【解析】解：82019×(−0.125)2020
=82019×(18)2019×18
=(8×18)2019×18
=12019×18
=1×18
=18．
故答案为：18．
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】6
【解析】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．
根据n边形的内角和为1260°，求出n边形的边数，即可得出，从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线．
解：∵n边形的内角和为1260°，
∴(n−2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴从一个顶点出发可引出对角线的条数是9−3=6．
故答案为：6．
19.【答案】5
【解析】解：根据作图过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ADC=90°−∠DAC=90°−30°=60°，故②正确；
∵∠B=∠DAB=30°，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
如下图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠DAB=30°，
∴DH=12AD=12×1=1dm，
即点D到AB的距离是1dm，故④正确；
∵∠DAC=30°，∠C=90°，
∴AD=2CD，
∵DA=DB，
∴BD=2CD，
又∵S△DAC=12CD⋅AC，S△ABD=12BD⋅AC=CD⋅AC，
∴S△DAC：S△ABD=1：2，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故答案为：5．
根据作图过程可得AD是∠BAC的平分线，可以判断①；根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°，再根据直角三角形两个锐角互余求出∠ADC，可以判断②；根据∠B=∠DAB=30°，得出DA=DB，可以判断③；过点D作DH⊥AB于H，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得DH=1，可以判断④；证明BD=AD=2CD，根据三角形面积公式可以判断⑤，进而可得答案．
本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解决本题的关键是熟练掌握相关知识．
20.【答案】14
【解析】解：∵b+1b=4，
∴(b+1b)2=16，
∴b2+2+1b2=16，
∴b2+1b2=14，
故答案为：14．
根据完全平方公式，可以计算出所求式子的值．
本题考查分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
21.【答案】解：(1)①x3y−xy3
=xy(x2−y2)
=xy(x+y)(x−y)；
②(x−2)(x+1)−4
=x2+x−2x−2−4
=x2−x−6
=(x−3)(x+2)；
(2)①xx−3=x+1x−1，
方程两边都乘(x−3)(x−1)，得x(x−1)=(x−3)(x+1)，
x2−x=x2+x−3x−3，
x2−x−x2−x+3x=−3，
x=−3，
检验：当x=−3时，(x−3)(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=−3；
②2x−1=4x2−1，
2x−1=4(x+1)(x−1)，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得2(x+1)=4，
2x+2=4，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以x=1是增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)①先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
②整理后根据十字相乘法分解因式即可；
(2)①方程两边都乘(x−3)(x−1)得出x(x−1)=(x−3)(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可；
②方程两边都乘(x+1)(x−1)得出2(x+1)=4，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分解因式和解分式方程，能选择适当的方法分解因式是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
22.【答案】解：原式=a+1(a−1)2÷2a−2+3−aa−1
=a+1(a−1)2÷a+1a−1
=a+1(a−1)2×a−1a+1
=1a−1，
当a=2时，原式=12−1=1．
【解析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
先将分式进行化简，然后代入值即可求解．
23.【答案】(1)证明：在△ACE和△BCE中，
∵AC=BC∠1=∠2CE=CE，
∴△ACE≌△BCE(SAS)；
(2)AE=BE．
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵AD=CB∠3=∠4CF=DE，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE．
【解析】(1)根据SAS可得出答案；
(2)在CE上截取CF=DE，证明△ADE≌△BCF(SAS)，可得出AE=BF，∠AED=∠CFB，则可得出BE=BF.结论得证．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】3
【解析】解：(1)x2+6x+12
=(x+3)2+3，
当x=−3时，(x+3)2+3=3，
因此(x+3)2+3有最小值3，即代数式x2+6x+12的最小值为3；
故答案是：3．
(2)∵−x2+2x+9=−(x−1)2+10，
由于(x−1)2≥0，所以−(x−1)2≤0，
当x=1时，−(x−1)2=0，
则−x2+2x+9的最大值为10；
原式配方变形后，利用非负数的性质即可求出最值；
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
25.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，
依题意，得：7200(1+50%)x−3200x=40，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=60，3200x=80，7200(1+50%)x=120．
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，3200x，7200(1+50%)x中即可得出结论．
26.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED，
∴∠EAD=∠CAB，
∴∠EAC=∠DAB，
∵AE=AD，AC=AB，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC=∠ACB=55°，
∴∠BAC=180°−110°=70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO=∠ECO，
∵∠EOC=∠AOB，
∴∠CEO=∠BAO=70°，
即∠BEC=70°．
(3)解：如图2中，
∵∠CAB=∠EAD=120°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠BAD=∠ACE，BD=EC=4，
同法可证∠BEC=∠BAC=120°，
∴∠FEC=60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F=90°，
∴∠FCE=30°，
∴EF=12EC=2．
【解析】(1)根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
(2)利用全等三角形的性质解决问题即可．
(3)同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7200
乙
3200