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2023-2024学年福建省莆田第六中学高一上学期10月校本作业（月考）数学试题A含答案
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这是一份2023-2024学年福建省莆田第六中学高一上学期10月校本作业（月考）数学试题A含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.
【详解】集合，
解不等式可得集合，
所以.
故选：B
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.
故选：C
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】C
【分析】根据同一函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是；的定义域是，所以不是同一函数.
B选项，的定义域是；定义域是，所以不是同一函数.
C选项，解得，所以的定义域是，
，解得，所以的定义域是，
同时，所以是同一函数.
D选项，的定义域是；
，解得或，
所以的定义域是，所以不是同一函数.
故选：C
4．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.
【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.
故选：A．
5．关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立以及充分不必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，，解得，
当时，不等式不恒成立，
所以的取值范围是.
所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是.
故选：A
6．定义：表示不超过x的最大整数，如，则函数的值域为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得当，时，，分别求出取不同正整数时函数的值域，取并集得答案．
【详解】解：当，时，，；
当，时，，；
当，时，．
取并集得：函数的值域为．
故选．
【点睛】本题考查函数的值域及其求法，关键是对题意的理解，是中档题．
7．已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，对，且都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得.
故选：B
8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．“至少有一个，使成立”是全称量词命题
B．命题“”的否定是“”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【分析】根据全称量词命题的定义可判断A的正误，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，根据两个条件之间的推出关系可判断CD的正误.
【详解】对于A，“至少有一个，使成立”为特称命题（存在性量词命题），
故A错误.
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确.
对于C，当时， ，
故“”可以推出“”，“”可以推出“”，
故此时“”是“”的充要条件，故C错误.
对于D，“”能推出“”，
取，则，而不成立，故“”推不出“”，
故“”是“”的充分不必要条件，
故D正确.
故选：BD.
10．设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；
B：因为正实数a，b满足，
所以，当且仅当时，取等号，
即有最大值，因此本选项不正确；
C：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确；
D：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确，
故选：ACD
11．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】ABC
【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.
【详解】由开口向上且对称轴为，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，
∴的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以 ，
解得，故D正确,
故选:ABD．
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以；即函数的定义域为；
由，解得，
因此的定义域为.
故答案为：.
14．若对于任意实数都有，则 .
【答案】3
【解析】由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值．
【详解】解：对于任意实数都有，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．函数在区间上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．设、是正实数，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集，集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先化简集合，求出；根据，得到，再由交集的概念，即可得出结果；
（2）根据并集的结果，得到，由此可直接得出结果.
【详解】（1）因为，则，
当时，，所以；
（2）因为，则，
所以.
18．已知函数.
(1)在区间上的单调性并利用定义证明:
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）设，计算得到答案.
（2）根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）函数区间上单调递增，
设，则，
，，，故，
即，故函数区间上单调递增；
（2）函数区间上单调递增，
故，.
19．已知关于的一元二次不等式的解集为R．
(1)求函数的最小值；
(2)求关于的一元二次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由二次函数的性质可知，求出的取值范围，再结合基本不等式求解即可．
（2）原不等式可化为，再根据的取值范围确定与3得大小关系，进而求出不等式的解集．
【详解】（1）关于一元二次不等式的解集为，
，
解得，
，
，当且仅当，即时，等号成立，
函数的最小值为．
（2）不等式，可化为，
，，
不等式的解集为或．
20．某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.
（1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数.
（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
【答案】（1）；（2）台.
【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.
【详解】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元，
每批购入电脑的总价值为元，由题意可得，
解得，
若每批购入台，则需要进购批，
所以，；
（2）由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少.
【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数是定义在上的增函数，且满足，且.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）对取值2，可得结果.
（2）将不等式变形以及利用函数的单调性，可得，然后采用分离参数的方法，构造函数，根据函数的值域与的大小关系，可得结果.
【详解】（1）令，得:，
即.
（2）由，
所以，则，
因为函数是定义在上的增函数，
所以在时恒成立，
即在时恒成立，
令，
，，有最小值为0，
所以.
【点睛】本题考查抽象函数的应用，重点在于对的应用，难点在于对式子的变形和化简，属中档题.
22．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数；
请解答以下问题：
(1) 求闭函数符合条件②的区间；
(2) 判断函数是否为闭函数？并说明理由；
(3)若是闭函数，求实数的取值范围；
【答案】1) 2) 函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数3)
【详解】解：(1) 先证符合条件①：对于任意，且，有
，，故是上的减函数．由题可得：则，而，，又，，所求区间为
(2) 当在上单调递减，在上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数
（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：
有两个不等非负实根；
设为方程的二根， ，
解得：的取值范围．
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.
【详解】集合，
解不等式可得集合，
所以.
故选：B
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.
故选：C
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】C
【分析】根据同一函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是；的定义域是，所以不是同一函数.
B选项，的定义域是；定义域是，所以不是同一函数.
C选项，解得，所以的定义域是，
，解得，所以的定义域是，
同时，所以是同一函数.
D选项，的定义域是；
，解得或，
所以的定义域是，所以不是同一函数.
故选：C
4．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.
【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.
故选：A．
5．关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立以及充分不必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，，解得，
当时，不等式不恒成立，
所以的取值范围是.
所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是.
故选：A
6．定义：表示不超过x的最大整数，如，则函数的值域为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得当，时，，分别求出取不同正整数时函数的值域，取并集得答案．
【详解】解：当，时，，；
当，时，，；
当，时，．
取并集得：函数的值域为．
故选．
【点睛】本题考查函数的值域及其求法，关键是对题意的理解，是中档题．
7．已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，对，且都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得.
故选：B
8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．“至少有一个，使成立”是全称量词命题
B．命题“”的否定是“”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【分析】根据全称量词命题的定义可判断A的正误，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，根据两个条件之间的推出关系可判断CD的正误.
【详解】对于A，“至少有一个，使成立”为特称命题（存在性量词命题），
故A错误.
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确.
对于C，当时， ，
故“”可以推出“”，“”可以推出“”，
故此时“”是“”的充要条件，故C错误.
对于D，“”能推出“”，
取，则，而不成立，故“”推不出“”，
故“”是“”的充分不必要条件，
故D正确.
故选：BD.
10．设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；
B：因为正实数a，b满足，
所以，当且仅当时，取等号，
即有最大值，因此本选项不正确；
C：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确；
D：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确，
故选：ACD
11．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】ABC
【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.
【详解】由开口向上且对称轴为，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，
∴的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以 ，
解得，故D正确,
故选:ABD．
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以；即函数的定义域为；
由，解得，
因此的定义域为.
故答案为：.
14．若对于任意实数都有，则 .
【答案】3
【解析】由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值．
【详解】解：对于任意实数都有，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．函数在区间上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．设、是正实数，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集，集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先化简集合，求出；根据，得到，再由交集的概念，即可得出结果；
（2）根据并集的结果，得到，由此可直接得出结果.
【详解】（1）因为，则，
当时，，所以；
（2）因为，则，
所以.
18．已知函数.
(1)在区间上的单调性并利用定义证明:
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）设，计算得到答案.
（2）根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）函数区间上单调递增，
设，则，
，，，故，
即，故函数区间上单调递增；
（2）函数区间上单调递增，
故，.
19．已知关于的一元二次不等式的解集为R．
(1)求函数的最小值；
(2)求关于的一元二次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由二次函数的性质可知，求出的取值范围，再结合基本不等式求解即可．
（2）原不等式可化为，再根据的取值范围确定与3得大小关系，进而求出不等式的解集．
【详解】（1）关于一元二次不等式的解集为，
，
解得，
，
，当且仅当，即时，等号成立，
函数的最小值为．
（2）不等式，可化为，
，，
不等式的解集为或．
20．某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.
（1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数.
（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
【答案】（1）；（2）台.
【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.
【详解】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元，
每批购入电脑的总价值为元，由题意可得，
解得，
若每批购入台，则需要进购批，
所以，；
（2）由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少.
【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数是定义在上的增函数，且满足，且.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）对取值2，可得结果.
（2）将不等式变形以及利用函数的单调性，可得，然后采用分离参数的方法，构造函数，根据函数的值域与的大小关系，可得结果.
【详解】（1）令，得:，
即.
（2）由，
所以，则，
因为函数是定义在上的增函数，
所以在时恒成立，
即在时恒成立，
令，
，，有最小值为0，
所以.
【点睛】本题考查抽象函数的应用，重点在于对的应用，难点在于对式子的变形和化简，属中档题.
22．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数；
请解答以下问题：
(1) 求闭函数符合条件②的区间；
(2) 判断函数是否为闭函数？并说明理由；
(3)若是闭函数，求实数的取值范围；
【答案】1) 2) 函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数3)
【详解】解：(1) 先证符合条件①：对于任意，且，有
，，故是上的减函数．由题可得：则，而，，又，，所求区间为
(2) 当在上单调递减，在上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数
（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：
有两个不等非负实根；
设为方程的二根， ，
解得：的取值范围．
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