2023-2024学年福建省莆田市第八中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第八中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，判断符号是否正确
【详解】由元素与集合的关系，有，故B选项错误，C选项正确；
由集合与集合的包含关系可知，，，AD选项错误.
故选：C.
2．一元二次不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】.
故选：A
3．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由解得或，
对于A，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于B，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于C，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于D，当成立时，一定有，但是成立时，不一定有成立，
所以是的一个充分不必要条件.
故选：D.
4．已知函数，则的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由一次函数和二次函数的性质，分别求在两段定义区间内的值域，取并集得的值域.
【详解】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，
在上单调递减，且，，，所以；
由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，
综上：函数的值域为.
故选：A.
5．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.
【详解】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，
所以，即，
故选:D．
6．若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得．
【详解】当时，，时，，时，，，
又是奇函数，所以时，，时，，且，
不等式或或，所以或，
综上．
故选：D．
7．设实数满足，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对函数化简，应用基本不等式求和的最小值.
【分析】因为，所以，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
8．定义在上的函数，若的图象关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则由题意将转化为，由已知可得为奇函数，从而可得为奇函数，进而得在上单调递增，然后利用函数的单调性可求得结果.
【详解】设，
因为，所以，
由，得，即，
因为的图象关于点对称，所以的图象关于对称，
所以为奇函数，即，
因为，
所以为奇函数，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，得，
即不等式的解集为.
故选：D
二、多选题
9．已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有8个B．
C．D．中的元素个数为5
【答案】CD
【分析】由题意可得，由集合的子集计算公式判断A；求出全集，判断B，D；由交集的定义求出判断C.
【详解】解：因为，所以，
因为中的元素个数为4，所以的子集有个，故A错误；
由，，得，所以，故B错误；
，故C正确；
由，得中的元素个数为5，故D正确.
故选：CD.
10．已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.
【详解】选项A，∵，
∴，，
∴，故A正确；
选项B，取，，满足，
但，故B错误；
选项C，∵，∴.
又∵，由成立，则
∴，则有，∴，故C正确；
选项D，∵，∴，
∴，故D正确；
故选：ACD.
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】设，则，可得，则，
对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对；
对于B选项，，则函数的值域为，B对；
对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数为非奇非偶函数，C错；
对于D选项，的单调增区间为，D对.
故选：ABD.
12．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，，已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．B．在上的值域是
C．在上是增函数D．
【答案】ABD
【分析】结合表示不超过的最大整数，依次判断各选项.
【详解】由得，故A正确；
，当时，，此时，，故B正确；
因为，所以在上不是增函数，故C错误；
因为恒成立，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．命题“”的否定为 .
【答案】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，
命题“”的否定为，
故答案为: .
14．已知函数，若，则x的值为 ．
【答案】或
【分析】对的范围进行讨论，列出方程，求解并验证即可.
【详解】当时，方程为，
解得；
当时，方程为，
解得或（舍）；
当时，方程为，
解得，不合题意，舍去，
综上知，x的值为或.
故答案为：或.
15．已知函数在区间上为增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数的性质分析运算.
【详解】由题意可知：函数开口向上，对称轴，
因为函数在区间上为增函数，则，
解得，所以的取值范围为.
故答案为：.
16．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，将，变形可得，利用“”的代换，应用基本不等式可求得的最小值为4，根据不等式有解可得，解得的取值范围即可．
【详解】因为两个正实数x，y满足，
两边同除以得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为4.
若不等式有解，则，
解得或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）或；.
【分析】（1）化简集合，，根据并集的定义求出；
（2）根据补集和交集的定义计算即可.
【详解】解：（1），
或.
则或；
（2）因为，所以，则.
【点睛】本题考查集合的化简与运算问题，属于基础题.
18．（1）设，，.试比较P与Q的大小；
（2）已知，证：.
【答案】（1），（2）证明见解析
【分析】（1）由作差法证明即可；
（2）由不等式的性质证明即可.
【详解】（1），
∵，∴，∴；
（2），∴，
，
又，
所以.
19．已知二次函数满足：，.
(1)求的解析式；
(2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据二次函数的单调性判断，然后利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）设，则，
整理得，
所以，解得，
所以.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设，
，
因为，所以，，则，
所以，即，
所以在上单调递减.
20．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
【答案】(1)
(2)设备占地面积为时，的值最小.
【分析】（1）由题意解不等式，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得.
要满足题意,则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可求出的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
设，则，
由为奇函数有
又时满足
故
（2）当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在上的增函数，
又因为，
所以，
故有
即
故.
22．设函数，其中.
(1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可；
（2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，
令，解得，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”，
①当时，，，
由，得，从而此时；
②当时，，，
由得，
从而；
③当时，，，
由，得，
从而；
④当时，，，
由得，
从而此时；
综上可得，的取值范围为.