2023-2024学年福建省莆田市第九中学高一上学期期中检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第九中学高一上学期期中检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．
B．
C．R
D．或
【答案】D
【分析】化解集合，根据交集定义计算.
【详解】或，，
∴或.
故选：D.
2．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.
【详解】选项A函数的定义域为，而的定义域为，
故A错误；
选项B函数的定义域为，而的定义域为，
且，，故B正确；
选项C函数的定义域为，而的定义域为，
故C错误；
选项D函数的定义域为，而的定义域为，
但是，故解析式不一样，所以D错误；
故选：B.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，，
所以的定义域为，
又因为，即，
所以函数的定义域为，
故选：C
4．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到，，代入不等式，解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
，解得，
则不等式可化为，
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为：.
故选：A
5．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可.
【详解】解：令，即,解得,
所以，
当时，，
当或时，,
所以函数的最大值为3，
故选：．
6．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：B.
7．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A．2023B．C．2021D．
【答案】B
【分析】首先根据为偶函数和得到，再根据求解即可.
【详解】因为的定义域为R，且为偶函数，
所以，即，即.
所以.
又因为，即，所以.
因为，
所以
.
故选：B
8．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可
【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为
故选：D
二、多选题
9．已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为9
C．的最小值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，，运用均值不等式即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，，讨论最值即可.
【详解】，，当时，即时，可取等号，A错；
，当时，即时，可取等号，B对；
，当时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
10．若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ）
A．B．1C．3D．6
【答案】BCD
【分析】首先将问题转换为，恒成立，通过对是否等于0进行讨论求出符合题意的的取值范围即可得解.
【详解】由题意“，恒成立”是真命题，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，不等式变为了，当时，它不成立，不满足题意；
当时，若，恒成立，
则当且仅当，解得满足题意，
综上所述：符合题意的的取值范围为.
故选：BCD.
11．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BC
【分析】作出函数的图像，根据图像得出,,满足的条件和范围,从而得出答案.
【详解】函数，
画出的图象如下图所示：

不妨设，设，
则，、关于直线对称，
，
当时，，
所以满足，
则，
故的取值范围是.
故选：BC
12．已知是偶函数，对任意的都有，且当，且时，恒成立，则（ ）
A．B．直线是图像的对称轴
C．在上是增函数D．方程在上有个实根.
【答案】ABD
【分析】由是偶函数，即，从而判断选项；
由，可得的图象关于直线对称，再由函数的周期可判断选项；根据已知和周期即可判断选项；
由（5），函数的周期性和奇偶性即可判断选项．
【详解】对于，对任意的都有（3），令，则（3）（3）（3）
故（3），即，因为是偶函数，
即，（5），故正确；
对于，由可得，可知是函数的对称轴，又为偶函数，故也是的对称轴，故选项是正确的；
对于，由，，，且时，恒成立知在，为减函数，是函数的对称轴，则可得在，为增函数，由可得在，为减函数，在，是增函数，故不正确；
对于，已知（5），则（1），，，故正确．
故选：．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是熟练掌握周期与对称的相互转化，即“同号断周期，异号断对称，两个对称必有周期”
三、填空题
13．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值.
【详解】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4
14．已知，且，则 .
【答案】4
【分析】求出的解析式，再由求的值.
【详解】，所以，
由得.
故答案为：4
15．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的必要条件，可得的值，结合题目中的不等式以及单调性的定义，可得函数的单调性，解不等式，可得答案.
【详解】函数是定义在上的偶函数，，解得.
又，当时，，
函数在上单调递减，，
，解得，
故答案为：.
16．函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是 .
①既不是奇函数也不是偶函数；
②的最小正周期为4；
③在上单调递减；
④是的一个最大值；
⑤.
【答案】②③⑤
【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得，再结合前面的可得，，从而可得为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.
【详解】对于①②，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，所以，
因为为奇函数，所以，所以，
所以，所以，，
所以为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，
对于③，因为为奇函数，在上单调递增，所以在上递增，
因为的图象关于直线对称，所以在上递减，
因为的周期为4，所以在上单调递减，所以③正确，
对于④，因为的定义域为R，且为奇函数，所以，
因为在上递增，在上递减，的周期为4，所以在上递增，，所以在上的最大值为，
因为，所以不是的一个最大值，所以④错误，
对于⑤，因为，所以当时，得，当时，得，所以，
因为的周期为4，所以，所以⑤正确，
故答案为：②③⑤
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性、单调性、对称性和周期性的综合问题，解题的关键是由已知条件得到为奇函数，周期为4，再根据对称性研究一个周期上函数的性质，考查计算能力，属于较难题.
四、解答题
17．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
18．已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.
【详解】（1）由，得或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是偶函数，不满足题意，
所以，；
（2）因为的定义域为，单调减区间为，，
由，可得或或，
解得或，
所以实数的取值范围为或.
19．已知函数.
（1）求证：在上是增函数；
（2）若在上的最大值是最小值的2倍，求a的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据函数的解析式，利用单调增函数的定义即可证明；
（2）根据函数的单调性，求得在题设区间上的最大值和最小值，根据已知得到关于a的方程，求得a的值.
【详解】（1）因为，任取，，且，
则
=
因为，所以，，所以，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）由（1）可知，在上是增函数，
在上的最大值是最小值的2倍，
所以，即，
解得.
【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性和利用单调性求函数的最值，并根据最值的关系求参数的值,属基础题.
20．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
21．定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.
(1)求的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)当时，解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令可得；
（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性；
（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.
【详解】（1）令，则, 可得；
（2）在上单调递减，证明如下：
由已知，对于有成立，，
令，则，
所以，对有，故是奇函数，
任取且，则，由已知有，
又，得
所以在上是减函数；
（3）因为，
所以，
即，
因为在上是减函数，
所以， 即，又，
所以，
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为.
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决.
22．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(2)
(3)
【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；
（2）解不等式，即可得到结果；
（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．
【详解】（1）解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．