2023-2024学年重庆市外国语学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市外国语学校高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，，三点共线，则（ ）
A．4B．-2C．1D．3
【答案】D
【分析】利用向量共线的坐标运算，求出即可.
【详解】若，，三点共线，
由，，则有，得，
解得，所以.
故选：D
2．两条平行直线和间的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据两直线平行求，再求平行线间的距离.
【详解】因为两直线平行，则，解得：，
所以两平行线分别为和，
.
故选：B
3．直线的倾斜角是（ ）
A．15°B．75°C．45°D．135°
【答案】D
【分析】根据直线的方程求出斜率，由斜率求出直线倾斜角.
【详解】由，
可得，
所以，
故直线的倾斜角为.
故选：D
4．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义结合离心率列式求解即可.
【详解】设椭圆的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
故选：C.
5．直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（ ）
A．0B．-2C．2或0D．-2或0
【答案】A
【分析】根据圆的方程及弦长，可以求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，又因为弦长，所以，
即，解得.
故选：A
6．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为1；丁：该圆经过点.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】假设乙、丙同学结论正确得出圆的方程，利用圆的方程检验甲、丁结论可得解.
【详解】假设乙、丙同学的结论正确，
则该圆的方程为，
代入点，方程不成立，此时甲结论错误，
代入点，方程成立，此时丁的结论正确.
故选：A
7．如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ）
A．直线直线
B．若，则平面
C．
D．若，则
【答案】C
【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到.
【详解】对于A，因为，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，所以，A正确，
对于B，连接，
由选项A知，
因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
所以，由于，
所以，
所以为直角三角形，即，因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以B正确，
对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以，所以，所以C错误，
对于D，设，，因为在菱形中，，
所以，
因为，
所以
，
所以，所以D正确，
故选：C
8．已知点，，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】D
【分析】求出点的轨迹，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答.
【详解】令点，则，于是，即点P的轨迹是直线：，圆的圆心，半径，而点Q在圆C上，则，
因此，令点C关于直线对称点，，则有，解得，，即，
因此，当且仅当点P，O，共线，且点O在线段上时取等号，
直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，所以当点P与重合时，，.
故选：D
二、多选题
9．已知直线：与：，下列选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．直线恒过点
D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式为
【答案】ACD
【分析】根据直线的平行与垂直判断AB，由直线系求出定点判断C，根据截距及直线方程的斜截式判断D.
【详解】因为，所以，解得或，代入直线方程检验，不重合，故A正确；
因为，则，解得，故B错误；
由可得，由解得,
所以直线恒过点，故C正确；
由：，令，可得，解得，
所以：，即，故D正确.
故选：ACD
10．已知不同直线，，不同平面，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则与b是异面直线
B．若，，则直线平行于平面内的无数条直线
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【分析】根据面面平行的定义判断A，根据线面平行的性质判断B，根据线面垂直的判定判断C，根据面面垂直的判定判断D.
【详解】若，，，则可能异面也可能平行，故A错误；
若，，则或，都有直线平行于平面内的无数条直线，故B正确；
若，，，不妨设，如图，

假设不成立，过直线上一点作于点，作于点，
由，，可知，，
这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直"矛盾，所以假设不正确，故，故C正确；
若，，，由面面垂直的判定定理，不能推C出，故D错误.
故选：BC
11．在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．与所成角的正切值的最大值是
C．以为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是
D．若为靠近的三等分点，则该长方体过，P，C的截面周长为
【答案】ACD
【分析】对于A，由长方体性质及线面平行判定证面、面，再由面面平行的判定和性质判断；对于B，由及异面直线夹角的定义得到与所成角即为（锐角），根据线面垂直的性质有，则即可确定其最大值；对于C，首先确定以为球心，5为半径的球面与面的轨迹，再判断球面与侧面的交线图形，即可求长度；于D，应用平面基本性质画出截面，结合长方体性质判定其为平行四边形，结合已知求边长即可判断.
【详解】由长方体性质知：，面，面，则面，
同理可证面，又，面，则面面，
又面，则平面，A对；
由，则与所成角即为（锐角），
由面，面，则，
所以，而，只需最大，即为4，
故与所成角的正切值的最大值是，B错；
以为球心，5为半径的球面与面的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以球面与侧面的交线是个圆弧，则交线长为，C对；
如图，延长交于，过作交于，连接，
结合长方体性质知：四边形为平行四边形，且为该长方体过，P，C的截面，
又为靠近的三等分点，则，故，
所以，，则的周长为，D对.
故选：ACD

12．已知的顶点P在圆C：上，顶点A，B在圆O：上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆C截得的弦长的最大值为
C．过P作圆O的切线，则切线长的最小值为
D．不存在这样的点P，使得为等边三角形
【答案】AC
【分析】首先设点到直线的距离为，利用几何图形得到不等关系，即可求解点到距离的最大值，即可判断A；
利用直线与圆的位置关系，结合弦长和切线长公式，即可判断BC；
利用为等边三角形，转化为判断是否存在点，满足，利用与圆有关的最值问题，即可判断D.
【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，
A.设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；
B.点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为，所以点到直线的距离的最大值为7，这是直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
C.如图，过点作圆的切线，连结，，，的最小值为，
所以的最小值为，故C正确；
D.若为等边三角形，则需，，
因为,所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，
又的最小值为4，所以，当且仅当四点共线时成立，
因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故D错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：本题考查点与圆，直线与圆，圆与圆，以及轨迹和最值的综合应用问题，D选项是本题的难点，需转化为判断点与点的轨迹的位置关系问题.
三、填空题
13．过平面外一点的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面所成的角是 ．
【答案】60°/
【分析】如图，根据线面角的定义可知是线段PA与平面所成角，解直角三角形即可.
【详解】如图，
连接AB，由，
知是线段PA与平面所成角，
在中，因为，
所以，，所以，
即线段PA与平面所成角为.
故答案为：.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，且，（为原点），则 .
【答案】
【分析】由题意可知，求得，和的值，设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，则点M为椭圆的上顶点或下顶点，可求的值.
【详解】由椭圆方程可知，，，，则，， ，
设，，有，
中，由余弦定理，有，
即，得，有，
由，解得：，
则点M为椭圆的上顶点或下顶点，有.
故答案为：
15．已知直线：，为坐标原点，若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当最小时， .
【答案】
【分析】由直线系方程求出定点，再由截距式可得，根据均值不等式等号成立的条件求解即可.
【详解】由可得，
由，解得，即直线过定点，
假设直线的截距式方程为，则，，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时直线的方程为，
所以得.
故答案为：
16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.根据祖暅原理，现在要用3D打印技术制造一个零件，其在高为h的水平截面的面积为，，则该零件的体积为 .
【答案】
【分析】该零件在高为的水平截面的面积为，，总与一个半径为，高为处的圆锥水平截面面积相等，由祖暅原理即可求解．
【详解】该零件在高为h的水平截面的面积为，
其体积总与一个半径为5，高为处的圆锥水平截面面积相等，
由祖暅原理，该零件的体积即为圆锥的体积.
故答案为：.
四、解答题
17．直线：，直线的一个方向向量为，直线：与已知直线垂直.
(1)求a，b的值；
(2)已知点，求点P到直线的距离及点P关于直线对称的点的坐标.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）确定的斜率为，根据直线垂直得到斜率，计算得到答案.
（2）利用公式计算距离，根据垂直得到直线方程，计算交点，再根据中点坐标公式计算得到答案.
【详解】（1）直线的一个方向向量为，所以的斜率为，所以，故.
直线：与已知直线垂直，则，故.
（2）点P到直线的距离，
设过点与直线垂直的直线方程为：，故，解得，
故直线方程为，
，解得，故该直线与直线的交点坐标为，
设对称点的坐标为，故，解得，
故对称点为.
18．在中，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，根据角的范围即可得解；
（2）化简条件根据分类讨论，分别根据正余弦定理求解即可.
【详解】（1）在中，.
所以，可得，即，
由，故，所以，即.
（2）由于，所以，
展开化简得，
若时，，则，，得，则，
所以.
若时，由正弦定理得，
又，解得，，
所以.
综上，.
五、未知
19．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，平面平面，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理求证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离即可.
【详解】（1），
，.
平面平面，且交线为，平面，
平面，
平面，.
连接，，如图，
因为四边形是边长为的菱形，，
所以为等边三角形.
又因为为的中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，则，
因为，所以，又由（1）知，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，，
又由，，，平面，平面，
所以平面，且，，
所以，即，
所以点到平面的距离为.
20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民按照“民用价”收费，高于的按照“商业价”收费，为保障有90%居民能享受“民用价”，请设置该标准.
(3)以每组数据中点值作为该组数据代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出.
【答案】(1)0.30
(2)
(3)2.25
【分析】（1）根据所有矩形面积和等于1，列方程可求出结果；
（2）根据百分位数的计算方法求解即可；
（3）设x与各数据的差的平方和为y，由题意可得，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在，，，，，，，中的频率分别为
0.08，，0.20，0.26，，0.06，0.04，0.02.
由，
解得.
（2）由（1）知，前六组的总频率为，
前七组的总频率为，
所以，
所以根据百分位数的计算方法有：，
解得.
（3）设x与各数据的差的平方和为y，
则
，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
故.
21．已知圆经过点和点，且圆心落在直线上，点是圆上的动点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为8，求的最小值；
(3)若，，当最大或最小时，求的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆的标准方程，结合题意，得出圆心和半径，进而得解；
（2）由弦长为8，得圆心在直线上，代入得，再结合基本不等式的乘1法即可求；
（3）由最大或最小，判断出此时直线与圆相切，即求切线长.
【详解】（1）因为圆心落在直线上，所以设圆心为，半径为，
又圆经过点和点，
则，半径，
解得，所以圆的标准方程为：
（2）弦长为，即直线过圆心，
则，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）如图最大或最小时，此时过点的直线与圆相切，
，
则.
22．如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，.点E，F，G分别为线段，，的中点.
(1)求证：.
(2)若，为线段上一点（不含端点），求二面角正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用勾股定理的逆定理，线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角余弦的函数关系并求出其范围，再利用同角公式求出正弦值的范围即可.
【详解】（1）在中，由，，，得，则，
在中，由，，，得，则，
而平面，于是平面，又平面，则，
而G，F分别为，中点，即有，又，则.
又平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）由（1）知，直线两两垂直，以原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，
，由，得，令，而，则，
设平面法向量，，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，得，
设二面角为，则，
令，则，
因此，，
所以二面角的正弦值的取值范围为.